数学建模医院投入产出

1、陕西医院投入产出效率评估摘 要随着人民群众健康保健需求的日益增长，为了实现效益的最大化，一些医院投入大量资金，增加病床、扩建医院。但这是否能够提高医院的整体效率仍然是一个问题。因此需要建立数学模型客观评价、分析医院的效率和运行特征，给出不同规模下医院的投入产出预测模型和最优投入产出分配方案，为政府相关部门制定医疗资源分配政策提供参考。 对于问题一，首先运用聚类分析法借助SPSS软件根据相关系数这一指标对具有相同量纲的投入值进行分类，剔除错误数据。随后建立DEA的CCR效率评价模型，利用MAXDEA软件求解出每个医院每年对应的效率值，最后将四年效率值进行平均求值，得出每个医院总的效率值。对于问题

2、二，在问题一的基础上，借助RTS系数得出在CCR模型中所有最优解的情况进而判断DMU所处的状态，即,说明该DMU处于IRS状态；，说明该DMU处于DRS状态；，说明该DMU处于CRS状态。同时利用投导向入包络模型直接求解出上规模弹性和下规模弹性。根据的散点图分析得出医院的运行特征。对于问题三，在问题一和问题二的基础上，以规模效益将医院分为收益递增、收益不变、收益递减三类。利用近4年各项投入的平均增长率预测下一年的各项投入，同时利用SPSS软件对产出建立逐步回归模型。在各类医院中选取具有代表性的医院进行投入产出预测。最后，评价模型的优缺点，并对模型作出进一步改进与推广，指出DEA模型中的不足之处

3、，以及DEA模型在其他领域的应用。关键字: DEA SPSS软件 逐步回归 RTS系数 CCR效率评价模型一、问题重述随着人民群众健康保健需求的日益增长，医院作为从事医疗服务的独立经济实体，在满足社会对医疗保健事业的需求中获得经营效益的同时，也要促进自身的发展。因此医院必须按照社会对医疗保健事业的需求变化，有计划地安排和投入自身的人力资源和物质资源。但是盲目的扩容增建不一定会提高医院的整体效率，有时甚至会起到相反的作用，增大政府对公立医院总体投入负担、浪费宝贵的社会资源。故在某种程度上能客观评价、分析医院的现状，不仅能为医院的管理层制定相关经营策略提供循证依据，也能够为政府相关部门制定医疗资源

4、分配政策提供参考。问题一，结合附件给定的700余家较大医院1997-2000年的投入产出数据，通过对相关投入产出指标进行分析，建立医院的效率评价模型，并对附件中所涉医院的工作效率进行评估。根据附件中数据及问题一中给出的效率评价模型，对陕西省700余家医院进行规模分类，并在其基础上分析不同规模下医院的运行特征。在问题一和问题二的基础上，建立不同规模下医院的投入产出预测模型，并给出医院发展的最优投入产出方案，辅助行政决策部门进行财政调配。同时，试从不同规模医院中各选取一个，给出具体的投入产出方案。二、模型假设1 题中所给数据为可信数据2 其他医疗人员指除医师，护士外的其他工作人员3 假设医院可以接

5、收所有患者三、符号约定符号 代表含义DMU 决策单元 第j个DMU对第i种输入的投入量， 第j个DMU对第r种输出的投入量， 第i种输入的一种度量 第r 种输出的一种度量 产出 投入比 线性组合系数四、模型的分析、建立与求解4.1问题一4.1.1问题一分析在19972000年700余家医院的投入产出数据中，剔除错误数据，根据各个医院近几年发展的情况补充不完整的数据。汇总每年各个医院的投入产出数据，鉴于数据信息量的庞大，运用SPSS将投入量进行聚类，使具有相同量纲的数据可以叠加，减少数据类别，运用CCR模型，根据效率=分别求解出每一年对应的效率值。将每个医院四年的所有效率值加起来平均即可得出各个

6、医院的效率值。最后进行大小比较对每个医院的效率值进行评估。4.1.2问题一模型建立：聚类分析 ： 聚类分析即就是根据事物的相似程度进行分类。首先定义一个度量事物相似程度的指标，这个指标称为聚类统计量，然后按照相似程度的大小，把对象逐一归类，关系密切的聚集到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位里，直到所有的对象都归类完毕，把不同类型都一一划分出来，形成一个亲戚关系谱系图。谱系图直观地显示分类对象的差异和联系。假设有n样品，每个样品观测了p个指标，用表示第i个样品的第j个指标，则有表1所列数据阵。表1 样本数据库样品指标 均值 对变量进行分类的方法称为R型聚类法，所有的聚类统计量称为

7、相似系数。在此问题中，采用相关系数这一相似系数，如下：记变量：， 则可以用两变量的相关系数作为它们的相似系数。 利用系统聚类法由粗到细的指出多种分类情况，最后的系统聚类结果由一个谱系图展示出来。具体的基本步骤如下： 设样品集为S，则（1） 计算n个样品两两之间的距离,记为矩阵D；（2） 首先构造n个类，每一个类中只包含一个样品，每一个类的平台高度均为零；（3） 合并距离最近的两类为新类，并且以这两类间的聚合指数作为谱系图中的平台高度；（4） 计算新类与当前类的距离，若类的个数已经等于1，转入下一个步骤；否则，回到步骤3；（5） 画谱系图；（6） 决定类的个数和类。多指标评价的DEA模型CCR设

8、有n个决策单元，每个决策单元都有m种“输入”（表示该决策单元对“资源”的耗费），以及s种“输出”（表示该决策单元消耗了“资源”之后，表明“成效”的数量），由图1给出。其中 1 m 1 2 j n 第j个DMU对第i种输入的投入量，第j个DMU对第r种输出的投入量，第i种输入的一种度量第r 种输出的一种度量i1,2，m； j1,2，n; r1,2，s,为已知数据，可以由题目附件得到；v=和u=为变量。对于第j个决策单元有相应的效率评价指数：， j1，2，我们总可以适当地选取权系数v和u，使得满足：，2， 现在，对第个决策单元进行相对效率评价：以权系数v和u为变量；以第个决策单元的效率指数为目标；

9、以所有的决策单元的效率为约束，即，2，于是构成了评价的最优化模型：其中，v,有表示对于r =1，2,，s，0,并且存在有。根据公式计算产出投入比： （411）4.1.3 问题一的模型求解：运用SPSS软件根据相关系数这一指标对投入值进行分类，得到如下所示的树状图：图1 平均联接的树状图 根据上述树状图所得的数据分类，对相关系数接近的数据进行加和，利用上述公式一计算出各个公司每年的效率值，最后将每个公司四年的效率取平均值，得到公司整个的效率值。（见附录表1）4.2问题二4.2.1问题二的分析： 根据生产技术的收益要先后经历规模收益递增、规模收益不变和规模收益递减三个阶段，我们通过RTS的判断方法

10、得出在CCR模型中所有最优解的情况，进而判断DMU所处的状态。DMU规模收益状态的判断方法：（1）在CCR 模型中的所有最优解中，,则说明该DMU处于IRS状态。（2）如果在CCR模型的所有最优解中，则说明该DMU处于DRS状态。（3）在CCR模型的所有最优解中，只要其中一个解，则说明该DMU处于CRS状态。4.2.2模型建立与求解在实际求解时，求解DEA模型的最优解并非易事，确定以上条件并不需要求解所有最优解。在实际计算中，只需要在求解CCR模型之后，再额外求解两个模型，分别获得的最大值和最小值即可。以投入导向的模型为例，求解最大值（最小值）的线性规划为：max(min)s.t. ， ， i

11、 =1，2，；j （421）在上述规划式中，如果max,则说明在所有最优解中均小于1；如果min均大于1。规模弹性：规模弹性就是对规模收益状态的量化，各项投入指标的等比例变动会引起各项产出指标的等比例变动，规模弹性是指产出指标的等比例变动的比例与投入指标等比例变动的比例之比值。用公式表示为：E通过投导向入包络模型直接求解规模弹性： 通过投入导向模型计算规模弹性的原理与利用产出导向模型求解得原理相似，区别在于，通过投入导向模型，是先等比例微量增加（或减少）产出，然后求解投入增加（或减少）的比例。计算步骤简述如下：1） 求解模型（2），计算所有DMU目标值。mins.t. =i=1，2， （422

12、） 投影点的投入和产出向量分别记为： 然后，在DEA模型的数据中，用目标值替换原始数据值。2） 计算上方的规模弹性。求解模型（423），获得在产出微量等比例（）增加后，投入增加的比。mins.t.；j=1，2，n上方的规模弹性为= （423） 3） 求解模型（424），获得在产出微量等比例减少之后，投入减少的比例。max s.t.；j=1，2，n下方的规模弹性为：= （424）根据CCR模型运用公式1，解出每一年各个公司的值，根据之间的关系为划分指标，即 =1为同一规模的公司， 1为同一规模的公司， 1为同一规模的公司。得到其散点图如下图所示：图2 散点图同样。由公式（2）、（3）、（4）可以

13、求出其上方规模弹性和下方规模弹性， 由上述所求结果可以得出：对700余家医院将其规模可以分为三类，即收益递增（IRS）、规模收益不变（CRS）和规模收益递减（DRS）三种规模。通过图表分析，处于规模收益递减和规模收益不变的医院占据大多数，仅有少数医院处于规模收益递增状态。 4.3问题三 4.3.1问题分析根据问题一和问题二建立效益规模分类，利用年平均增长率，逐步回归分析法确立回归方程，同时给出下一年投入产出预测方案。 4.3.2问题三模型建立采用多元线性回归分析，对收益递增型、收益递减型、收益不变型这三种规模的住院人数、门诊病房、出院病人数进行回归分析，得到线性回归方程，便于投入产出的预测。多

14、元线性回归：多个自变量和一个因变量的关系多元线性回归一般模型：Y （431）Y：因变量，：自变量，：是未知参数，称为回归系数：随机因素的影响，通常假定服从期望值为零方差为的正态分布。将n组观测数据代入（431）式，可得到样本回归模型：矩阵形式：Y=X其中：Y= ， X= ， ， （1）解释变量 是确定性变量，不是随机变量，且要求矩阵X中列不相关,样本容量个数应大于解释变量的个数。（2）随机误差项具有零均值和同方差，即Ei1,2，n cov（，）= i , j=1，2，（3）正态分布的假设条件：N（0，），i=1，2，参数估计： 使得估计值与观测值y之间的残差在所有样本上达到最小。求，,使得=m

15、in由多元函数求极值点的方法可求得回归系数的最小二乘估计值为：未知参数的一个无偏估计为：=显著性t检验：1） 提出假设：=0 ；：0（i=1，2，p）2） t检验的计算公式 3） 给定显著性水平，确定临界值(np)4） 若(np)，则拒绝，接受备择假设，即总体回归系数0。下图是多元线性回归变量的定义表：表2 多元线性回归变量定义表变量类别变量名称定义变量名称定义变量名称定义因变量住院病人数出院病人数门诊治疗数Y3自变量可变投1其他可变投1其他可变投1-其他可变投2保养维护可变投2保养维护可变投2-保养维护可变投3基础维护可变投3基础维护可变投3-基础维护可变投4设备周边补给可变投4设备周边补给

16、可变投4-设备周边补给可变投5设备可变投5设备可变投5-设备可变投6药品可变投6药品可变投6-药品准固投1其他医疗人员数准固投1其他医疗人员数准固投1-其他医疗人员数准固投2动能消耗准固投2动能消耗准固投2-动能消耗准固投3学术培养准固投3学术培养准固投3-学术培养准固投4病床数准固投4病床数 准固投4-病床数准固投5护士数准固投5护士数准固投5-护士数准固投6医师数准固投6医师数准固投6医师数准固投7办公消耗准固投7办公消耗准固投7-办公消耗4.3.3模型的求解 以下是对收益递增型的住院病人数，出院病人数，门诊治疗，给的回归分析：住院病人数：通过逐步回归法对变量进行筛选，对选入的变量进行F检

17、验和t检验进行剔除，计算回归预测方程的回归系数R方，R方为0.597，说明拟合效果较好。具体计算在SPSS统计软件上进行，具体结果见表由系数写回归方程：=24088.293+724.5220.593+12345.322+1093.612+491.179 （432）表三 各类系数相关性住院病人数住院病人数与其他相关性Person1.000可变投1-其他0.031可变投2-保养维护0.705可变投3-基础维护0.478可变投4-设备周边补给0.705可变投5-设备0.664可变投6-药品0.689准固投1-其他医疗人员数0.210准固投2-动能消耗0.640准固投3-学术培养0.076准固投4-病

18、床数0.689准固投5-护士数0.690准固投6-医师数0.693准固投7-办公消耗0.640准固投1-其他医疗人员数0.385准固投2-动能消耗0.385准固投3-学术培养0.385准固投4-病床数0.385准固投5-护士数0.385准固投6-医师数0.385准固投7-办公消耗0.385由“相关性”表Pearson系数可以看出：住院病人与可变投1其他、准固投3学术培养、准固投1其他医疗人员数等不显著相关，与其他解释变量均成正相关。表四 模型汇总g模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差更改统计量R 方更改F 更改df1df2Sig. F 更改1.000.773f.597.59138848.0

19、24.0044.1061.000378.000.043拟合优度检验：由“调整R方”系数可以看出，模拟拟合优度较好，多元线性回归方程可以解释住院病人数变化性的59.1%。表五 Anovag模型平方和df均方FSig.回归残差总计8.457E1161.409E1193.391.000f5.705E113781.509E91.416E12384回归方程检验：sig=0.000.05,说明参数不可用，应该舍弃。出院病人数：表七 各类系数相关性出院病人数相关性Pearson出院病人数1.000可变投1-其他0.028可变投2-保养维护0.048可变投3-基础维护0.062可变投4-设备周边补给0.055

20、可变投5-设备0.069可变投6-药品0.089准固投1-其他医疗人员数0.011准固投2-动能消耗0.076准固投3-学术培养0.023准固投4-病床数0.101准固投5-护士数0.126准固投6-医师数0.156准固投7-办公消耗0.046由“相关性”表Pearson系数可以看出：住院病人与可变投1其他、可变投3基础维护、准固投1其他医疗人员数等不显著相关，与其他解释变量均成正相关。表八 模型汇总g模型RR 方调整 R 方标准估计的误差更改统计量R 方更改F 更改df1df2Sig. F 更改30.275c0760.683412.858.0197.7351381.006由“调整R方”系数可

21、以看出，模型拟合优度较好。多元线性回归方程可以解释出院病人数变异性的68。表九 Anovag模型平方和df均方FSig.回归3.624E831.208E810.372.000残差4.438E9381.04总计4.800E9384回归方程检验：sig=0.000.01说明：用四个自变量构成的多元线性回归方程解释出院病人数是有统计学意义的。表十 系数模型非标准化系数标准系数tSig.相关性B标准 误差试用版零阶偏部分(常量)2427.591246.8069.836.000准固投6-医师数190.80037.867.5115.039.000.156.250.248可变投2-保养维护-174.5185

22、9.614-.302-2.927.004.048-.148-.144可变投3-基础维护-164.29259.072-.168-2.781.006-.062-.141-.137回归系数检验：偏回归系数的t检验是在回归方程有统计学意义的前提下，检验某个总体偏回系数等于0的假设，以判断是否相应的那个自变量对回归确实有贡献。由系数写出回归方程： 190.591 （433）门诊治疗数：表十一 各类系数相关性门诊治疗数Pearson 相关性门诊治疗数1.000可变投1-其他0.019可变投2-保养维护0.863可变投3-基础维护0.547可变投4-设备周边补给0.805可变投5-设备0.779可变投6-药

23、品0.869准固投1-其他医疗人员数0.221准固投2-动能消耗0.730准固投3-学术培养0.084准固投4-病床数0.916准固投5-护士数0.769准固投6-医师数0.794准固投7-办公消耗0.770由“相关性”表Pearson系数可以看出：住院病人与可变投1保养维护等不显著相关，与其他解释变量均成正相关表十二 模型汇总模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差30.955c0.9130.91211350.624拟合优度检验：由“调整R方”系数可以看出，模型拟合优度较好。多元线性回归方程可以解释门诊治疗数变异性的91.2。表十三 Anovagf模型平方和df均方FSig.回归5.119E

24、1131.706E111324.4830.000c残差4.909E103811.288E8总计5.610E11384回归方程检验：sig=0.000.01，说明：用三个变量构成的多元线性回归方程解释门诊治疗数是有意义的。表十四 系数a模型非标准化系数标准系数tSig.相关性B标准 误差试用版零阶偏部分(常量)-10589.1561225.509-8.641.000准固投4-病床数227.6348.820.71525.807.000.916.798.391可变投1-其他-.468.036-.205-13.132.000-.019-.558-.199可变投2-保养维护1832.164170.263

25、.29410.761.000.863.483.163回归系数检验：偏回归系数的t检验是在回归方程有统计学意义的前提下，检验某个总体偏回系数等于0的假设，以判断是否相应的那个自变量对回归确实有贡献。此表数据可以看出，接受“可变投1其他”为0的假设。由系数写出回归方程： 0.156 （434） 同理可得，效益不变型、效益递减型的回归方程如下所示。效益不变型： =5854.487 （435）=3172.744 （436）.088 (437)效益递减型：19691.65880.7726381.6269.32990.274 （） 1774.276 （）依据19972000年的医院各项投入年平均增长率得出

26、三类代表医院的2001年各项投入指标（见附录表二、表三、表四），依据上述所得回归方程得出三类代表医院的2001年预测产出值如下表十五。表15 2001年各代表医院产出预测表医院规模效益分类代表医院代码2000住院病人数2000出院病人数2000门诊治疗数2001住院病人数2001出院病人数2001门诊治疗数递增型3645117531244958746282722379不变性480121162367659047247524757递减型26912072五、模型的优缺点模型的优点： 问题一与问题二中采用的是DEA模型中的CCR模型，改模型方法可行性好，所需指标少，且评价结果不受指标计量单位的影响，使

27、医院评价简单易行；评价模型中的权重系数是通过最优化计算得到的，避免了人为设定的主观影响；它不仅能计算各医院的相对效率的得分，而且还能为非DEA有效，效率值低的医院指出哪些方面投入过剩或产出不足，使管理者在调整医院规模，改善医院效率时有据可依。 问题三中采用的是多变量线性回归模型，通过多组数据，将多个因变量和自变量整合在一起，可快速、直观分析出三者之间的线性关系，进而医院的预测投入产出分配，与此同时，还能观测出各因素之间的拟合程度高低。模型的缺点：但同时DEA模型的评价结果受指标和数据准确性影响很大，二者直接关系到评价结论的科学性与准确性，因此，在选择指标时需要格外严谨。线性回归分析有时可能会忽

28、略了交互效应和非线性的因果关系。六、模型的进一步改进与推广模型改进：传统DEA模型各指标权重完全由模型计算得到(客观赋权)，不能反映评价者对评价指标的主观偏好。权数的产生不受人为主观因素的影响非常公正且公平；缺点是：如果权数的刻意选择将可能造成该DMU为相对有效率因此其效率未必来自自身效率而是来自于权数的选择。采用的方法是引入权重向量来约束v、u的取值，以体现决策者对不同投入(产出)项目的偏好程度。而权向量可以用层次分析法(AHP)得到，最终得到修正后的DEAHP模型。同时也定义了新的整体效率、规模效率。而且产生新的效率值并非之前的相对效率，而是绝对效率，更加直观，也方便比较。模型推广：该效率

29、模型还可用于研究企业运营的效率评价，分析垃圾中转站的运营效率，评价能源的利用效率，以及考察城市土地利用效率等。七、参考文献1 韩中庚. 数学建模方法及其应用M .上海：上海科学技术出版社，1982.2 姜启元，谢金星，叶俊.数学模型M.3版.北京：高等教育出版社，2003.3 运筹学教材编写组.运筹学M.北京：清华大学出版社，1990.4 王玉英主编.数学建模及其软件实现M.北京：清华大学出版社，2015.5 赵喜林，李德宜主编.应用数理统计与SPSS操作M.武汉：武汉大学出版社，2014.6 余建英，何旭宏.数据统计分析与SPSS应用M.b北京：人民邮电出版社，2003.7 成刚.数据包络分

30、析方法与MaxDEA软件M.北京：知识产权出版社，2014.8 袁志发.多元统计分析M.北京：科学出版社，2006.9 陈学顺论我国大医院的适度规模发展J中国医院，2008，(1)：19-2110 宋桂荣医院效率评价方法的研究J.中国医院统计，2007，14(2)：137-14511 庄宁，孟庆跃利用DEA方法评价我国34家医院的技术效率J.中国卫生经济，20009(19)：49-5112 林子华，郝模，朱乃苏.医疗机构规模经济效益分析J.中国卫生经济，1991，10(1)：565913 严春香，董时富武汉市医院投入产出效率分析J.医学与社会，2005，18(7)：55-5814 王涵，马燕，

31、李斌.数据包络分析在哈尔滨市三级医院效率评价中的应用J.中国医院统计，2006，13(4)：289-292八、附 录表一： 医院总体效益医院代码均值110.10.0.0.0.0.110.0.0.0.0.0.765380.0.10.947210.0.0.0.0.0.0.110.0.110.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.1110.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.10.10.0.10.755030.0.110.0.0.10.0.10.0.0.0.0.0.0.0.0.10.0.8934210.0.0.0.10.0.0.0.10.0.0.0.0.0.0.0.0.718220

32、.0.0.0.0.0.895310.0.0.0.0.0.0.0.0.0.88697110.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.899740.0.0.846170.0.0.10.0.0.表二 效益递减型代表医院各项投入预测表医院代码各项投入指标1997199819992000近4年平均增长率2001预测投入可变投1-其他42.228550.507649.036546.0843-5%43.916 可变投2-保养维护29.1222.86735.74249.19812%55.106可变投3-基础维护34363222-17%18.157可变投4-设备周边补给11211010597-5%92.205可变投5-设备15