与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30,0 O的半径为1,贝U PB的长为 1.图 Z12- 1经典母题答图6 / 7【解析】如答图，连结0C. PC 为 O O 的切线，/ PC0 = 90,在 RtA0CP 中0C= 1,Z P= 30,OP = 2OC = 2, PB = OP-0B = 2- 1 = 1.【思想方法】（1）已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.【中考变形】2017天津已知AB是O 0的

2、直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D.（1）如图Z12-2，求/ T和/CDB的大小；（2）如图，当BE= BC时，求/ CD0的大小.A图 Z12-2解：（1）如答图，连结AC, AT是。O的切线，AB是。O的直径, AT丄AB,即/ TAB= 90,vZ ABT= 50,aZ T= 90/ABT= 40由AB 是 O O的直径，得Z ACB = 90Z CAB= 90 Z ABC= 40,：Z CDB =Z CAB = 40;中考变形答图如答图，连结AD ,在厶 BCE 中，BE= BC,Z EBC = 50中考变形答图

3、 Z BCE=Z BEC= 65,：Z BAD = Z BCD = 65 vOA= OD ,/ ODA =Z OAD= 65,vZ ADC=Z ABC= 50, Z CDO=Z ODA Z ADC = 65 50= 15【中考预测】2017宿迁如图Z12 3, AB与O O相切于点B, BC为O O的弦，OC丄OA, OA与BC相交于点P.求证：AP = AB;图 Z12 3中考预测答图解: (1)证明：v OC= OB,：/ OCB=Z OBC,v AB是OO的切线， OB丄AB, Z OBA= 90,：Z ABP+Z OBC = 90,V OCX AO,：/ AOC = 90,/ OCB+

4、 / CPO= 90,v/ APB=/ CPO,APB= / ABP,： AP= AB;如答图，作 OH丄BC于H.在RtAOAB中，V OB= 4, AB= 3,：OA= 32 + 42= 5,v AP = AB = 3,:PO = 2.在 RtAPOC 中，PC= OC2+ OP2= 2 5,1 1V2PC OH = 2OC OP, OH = OP OC =症PC:OH = PC = 5 ,:CH = OC2- OH2=誉,16/5 v OH 丄 BC,： CH = BH , : BC = 2CH,:BP= BC-PC = 普2俣導类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如

5、图Z12-4, A是。O外一点，AO的延长线交。O于点C,点B在圆R上，且AB= BC,/ A= 30,求证：直线 AB是O O的切线.图 Z12-4证明：如答图，连结OB,VOB = OC, AB= BC,/ A= 30:/ OBC= / C= / A= 30,:/ AOB=/ C+/ OBC = 60 .v/ ABO= 180- (/ AOB+/ A)= 180 (60+ 30) = 90,:AB丄OB,又v OB为O O半径，：AB是O O的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法 “作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”【中考变形】1. 2016黄石如图Z12-5,0O的直径为AB,

6、点C在圆周上（异于A, B）, AD丄CD.(1)若 BC = 3, AB = 5,求 AC 的值;若AC是/ DAB的平分线，求证：直线图 Z12-5B中考变形1答图CD是O O的切线.n解：（1）； AB是OO直径，C在OO 上,Z ACB= 90,又 t BC = 3, AB = 5,二由勾股定理，得AC = 4;证明：如答图，连结0C, AC是/ DAB的平分线,/ DAC= / BAC,又 TAD 丄 DC ,aZ ADC =Z ACB= 90 ADCsAACB,aZ DCA =/CBA,又 T 0A= OC，Z OAC= / OCA,TZ OAC+Z OBC= 90,.Z OCA+

7、Z ACD= Z OCD = 90,直线CD是O 0的切线.2. 2017 南充如图 Z12 6,在 RtAACB 中，Z ACB = 90,以 AC 为直径作O O交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.（1）求证：DE是O O的切线;若CF = 2, DF = 4,求O O直径的长.图 Z12-6中考变形2答图【解析】 连结0D，欲证DE是O O的切线，需证0D丄DE，即需证/ ODE =90，而/ACB = 90,连结CD，根据“等边对等角”可知/ODE=/OCE =90 ，从而得证；(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如

8、答图，连结 OD，CD. AC 是 O O 的直径，/ ADC = 90 ./ BDC= 90 .又 t E 为 BC 的中点，1 DE = 2BC = CE，aZ EDC=/ ECD.t OD = OC，aZ ODC =/ OCD. / EDC+ / ODC =/ ECD + Z OCD = / ACB= 90 . / ODE= 90,二 DE 是OO 的切线；(2)设OO 的半径为 x.在 RtAODF 中，OD2+ DF2 = OF2，即 x2 + 42= (x+ 2)2，解得 x= 3. O O 的直径为 6.【中考预测】如图Z12-7, AB是O O的直径，点 C，D在O O上，Z

9、A= 2Z BCD，点E 在AB的延长线上，Z AED=Z ABC.(1)求证：DE与O O相切；若BF = 2，DF = 10，求O O的半径.解：(1)证明：如答图，连结 OD.t AB是O O的直径， Z ACB= 90， Z A+ Z ABC = 90，tZ BOD= 2Z BCD，Z A= 2Z BCD，/ BOD= / A,vZ AED=/ABC,：/ BOD + Z AED = 90,/ODE= 90, 即 卩 OD 丄 DE，二 DE 与O O 相切；如答图，连结BD,过点D作DH丄BF于点H.v DE 与 OO 相切，/ ACD+Z BCD =Z ODB + Z BDE =

10、90 vZ ACD=Z OBD, Z OBD =Z ODB, ：Z BDE =Z BCD , vZ AED=Z ABC , ：Z AFC =Z DBF ,vZ AFC= Z DFB , ： ACF与厶FDB都是等腰三角形, FH = BH = 1BF = 1，二 HD = DF2-FH2= 3 ,在 RtAODH 中,OH2+ DH2= OD2 ,即(OD 1)2+ 32 = OD2, OD = 5.即OO的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明(2)FAOEF.1.如图8 , CD是O0的切线,切点为A,AB是O 0的直径.E,FO0上的点,C (1)求证：Z DAE= Z FDE/A B.若

11、EF/CD,求证: AEF是等腰三角形2.如图7 O 0的半径为1,过点A(2 , 0)的直线切 O 0于点B,交y轴于点C.(1) 求线段AB的长；(2) 求以直线AC为图象的一次函数的解析式.3、在厶ABC中，AB=AC ,内切圆 O与边BC、AC、AB分别切8 / 7A(1)求证:BF=CE ;(2)若/ C=30 , CE 二 2、3 ,求 AC.A0A4.如图 10 ,在O O 中，Z ACB= Z BDC=60 , AC=2,3cm ,己(1 )求/ BAC的度数；(2)求O O的周长5已知：如图，AB是O O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F 交O O 于 E,连结 DE、BE

12、,且Z C= Z BED .(1)(2)6. 如图，(1)求证：求证：AC是O O的切线；若 OA=10 , AD=16 ,求 AC 的长.MP切OO于点M ,直线PO交OO于点A、B ,弦MO / BC.DBCA图0AC / M(2补充)连结CM,当四边形BCMO为菱形时.求Z P的度数 或反过来问：当 P =30时，判断四边形BCM啲形状，并说明理由.7. 如图，在 ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点MCMBBABM O若/ MAC= / ABC .MCEAB 二 AC, BC 交 OO 于AE是角平分线, 交AB于点F ,AC交OO于点EABM平分BBC交AE于点EM ,FB恰为OO的直径.B D C12.如图，AB是O O的直径，C是弧BD的中点，CE丄AB,垂足为E, BD交C 于点F .EM71O EJBAG点N .(1) 求证MN是OO的切线；(2) 若BAC=120 AB =2，求图中阴影部分的面积.8如图， ABC内接于半圆，AB是直径，过 A作直线MN ,(1) 求证：MN是半圆的切线；(2) 设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G, 过D作DE丄AB于E,交AC于F .求证：FD = FG .9. 如图，半圆的直径 AB =10，点C在半圆上，BC =6 .(