专题11：三角运算及三角不等式

1、竞赛讲座11 三角运算及三角不等关系 三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等 的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形） ，有时表现为计算求值、 有时表 现为推理证明。由于三角公式很多， 并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与 简单性。 三角运算 一三角运算的常规思考 三角运算主权涉及 3个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。 大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题， 从角、函数名称、运算方式这 3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条 件与结论的差异入手，并向

2、着消除差异的方向前进，常能成功。 例1 已知,都是钝角，且sin 12 ,cos( 13 3 ，求 sin 5 例2设 为锐角，且 sin2sin2sin（），求证: 二.三角变换与方程 数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值 或未知值就成为一个方程。 例3.已知 sin cos sin cos b (a2 a b2 4)，求 sin( ),cos( ) o .三角变换与构造法 通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题 4 cos 的值。 5 2 例5 .求cos 5 例6 .求值：cos210 cos2 50sin 40 si

3、n 80 例7 .已知：A1 cos 1 A2 cos 2 An cos n 0 An cos( n 1)0 A1 cos( 1 1)A2 cos( 2 1) 求证：对任意 R，恒有 A cos( 1 )A2 cos( 2) An cos( n )0 o 例8求满足等式 15 12cosx . 7 4 3sinx 4的锐角x。 四三角法 引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。 例9已知a b 0，求证: 2ab a b ab 例10.在厶ABC中，P为形内一点, PD、PE、PF为P到三边BC、CA、AB的距 离，求证：PA PB PC 2(PD PE PF) 例11.求函数y4

4、15 3x的值域。 三角不等关系 这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。 这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。 一三角不等式的证明 证明三角不等式注意 3点： (1) 三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。 (2) 三角不等式又有自己的特点一一含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性(或 极值)，正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。 (3 )三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之 处，需要加倍注意。 例13.已知0 ，证明：2 si n2 Ctg 2，并讨论等号成

5、立的条件。 例14.已知 (0,)，能否以 sin , sin , sin( 2 )的值为边长，构成三角形。 例15 在 ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，求证: aA bB cC a b c 例12.若0 ，求证：sin 1 sin 2 】sin 3 0 2 3 例16.在锐角 ABC中，求证 (1) si nA si nB sinC cosA cosB cosC ; (2) tgAtgBtgC 二三角最值的求解 例 17求函数 f(x) a si n2x bsi nxcosx x cos2 x 的最大值、最小值(a c, b 0) 例18.求ybtgx的最小值，其中a b 0 |

6、cosx | 例19求函数y 3sinx 1的最值。 sin x 2 例20.设x y z ，且x y z ，求乘积cosxsin y cosz的最大值和最小值。 12 2 习题 cos20 cos35cos 20 2- cos2 x cos2(x cos2(x )= 3若x | cos2 x sinx m 0 ，求m的取值范围。 ABC 4.在 ABC中，sinsin sin的最大值为 2 2 2 5设 xi,X2,Xn为 n 个实数，则coscosx?cosXnsin 捲 sin X2sinx*M 时, 则M的最小值为。 2 2 sin x cos x 亠 6函数f(x)2的值域为。 1 cos x 1 sin x 7对任意实数 A, B,C，求 sin2Acos2B sin2 Bcos2C sin2 Ceos