一元二次方程总复习

1、九年级数学（上）第二章：一元二次方程一、中考要求：1.经历由具体问题抽象岀一元二次方程的过程， 进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的 一个有效数学模型.2 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能 根据具体问题的实际意义检验结果的合理性， 进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和 能力.3. 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数 字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转 化等数学思想.4. 经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程， 发展估算意识和能力.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：2009、2010年部分省市课标中考涉及的知识点如

2、下表：序号所考知识点比率1一元二次方程的解法4%2一元二次方程的应用47%（二）中考热点：本章多考查一元二次方程的解法及应用，另外 本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集 和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题 和解决问题的能力以及创新实践能力根据已知方 程编写实际问题的应用题也是中考热点.三、中考命题趋势及复习对策本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型，题型有填空、选择、解答中考对数学思 想方法的考查一方程的应用将进一步提高，对方程 的应用将会加大力度，一大批具有较强的时代气 息、格调清新、设计自然，紧密联系日常实际生活 的应用题将会不断涌现.针对中考命题趋势，在复习时应掌

3、握解方程的 方法，还应在方程的实际应用上多下功夫，加大力 度，多观察日常生活中的实际问题 （I）考点突破 考点1 :一元二次方程的解法一、考点讲解：1 .一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的 最高次数是2,且系数不为0 ,这样的方程叫一 元二次方 程.一般形式：ax2 + bx+c=0（a工0）。 注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应 首先将方程化为一般形式。2一元二次方程的解法：直接开平方法：对形如（x+m） 2=n （ n0）的方程 两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的 方法。配方法：用配方法解一元二次方程：ax2 + bx+c=0（k工0）的一般步骤是：化为一般形式； 移项，

4、将常数项移到方程的右边；化二次 项系数为1,即方程两边同除以二次项系数； 配方，即方程两边都加上一次项系数的一半 的平方；化原方程为（x+m） 2=n的形式；如果 n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如 果nw 0,则原方程无解.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程 的解的方法它是通过配方推导岀来的一元2二次方程的求根公式是 x bb 4ac （b22a4ac 0）。步骤：把方程转化为一般形式； 确定a，b，c的值；求出b2 4ac的值，当 b2 4ac 0时代入求根公式。因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方 程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若 ab=0,则a=0或b=0。步骤

5、是：将方程右边化 为0;将方程左边分解为两个一次因式的乘 积；令每个因式等于0,得到两个一元一次方 程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原 一元二次方程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。3 .一元二次方程的 注意事项：在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a工0因当a=0时，不含有二次项，即不是一 元二次方程.如关于x的方程（m 4） x2+2mx+1=0中，当m= 2时就是一元一次方程 了.应用求根公式解一元二次方程时应注意：先 化方程为一般形式再确定 a, b, c的值；若 b2 4a1B. k 1 且 k工0C. k v 1D. kv 1 且 k工 09、已知一元二次

6、方程 x2 +2x 8=0的一根是2，则另一个根是.10、（2009泰安）若关于x的方程x2 + （ 2k+1）x+2 k2=0有实数根，则k的取值范围是 11、解方程： 2（2x 3）232;（2）3 y（y 1）2（y 1）;（3） 3（4x2 9） （2x 3）=0;（4） x 2 6x+8=0数式的值，女口 x12 x； （x1 x2）2 2x1x24、关于x的一元二次方程（m 1）x2 x m2 2m2l12、（2009 鄂州）关于 x 的方程 kx +（k+2）x+=04有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数 和等于0若存在求出k的

7、值；不存在说明理由。考点2 : 一元二次方程的应用一、考点讲解：1.构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、 勾股定理等；有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的 基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常 见的等量关系是a（1 x） 2=b,其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。 注意：所得解中，增长率不 为负，降低率不超过1。经济利润问题：总利润=（单件销售额-单件成 本）x销售数量；或者，总利润 =总销售额一总 成本。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸， 根据条件设岀未知数后，要想办法把图中变化 的线

8、段用未知数表示岀来，再根据题目中的等 量关系列岀方程。2 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意 恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅， 特别要对方程的解注意检验，根据实际做岀正 确取舍，以保证结论的准确性.二、经典考题剖析：【考题1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备 利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为 130平方米的花圃（如图1 -2- 1），打算一面利 用长为15米的仓库墙面，三面利用长为 33米的 旧围栏，求花圃的长和宽.解：设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为33 2x米，依题意得x33 2x1302x2 33x1300二 x110X2132又丁当x110时,33

9、2x13当 X2 13 时，33 2x 20 15x 13不合题意，舍去. x 10x2答：花圃的长为13米，宽为10米.【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件， 我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房 面积由现在的人均约为10平方米提高到平方米， 若每年的增长率相同，则年增长率为（）% C. 11%解：设年增长率为x，根据题意得10（1+x ） 2=， 解得X1=，X2 =因为增长率不为负，所以x=。故选Do【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下， 若每千克涨价1元，日销售量

10、将减少 20千克， 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克水果应涨价 x元，依题意，得（500 -2 0 x） （ 10+x）=6000.整理，得 x2- 15x + 50=0.解 这个方程，X1=5, x2=10.要使顾客得到实惠，应 取x=5 .答：每千克应涨价 5元.点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨 价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实 惠”来取舍根的情况.【考题4】如图，在 ABC中，/ B=90， AB=5, BC=7,点P从A点开始沿 AB边向点B点以1cm/s 的速度移动，点 Q从B点开始沿BC边向点C以 2cm/

11、s的速度移动.（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发， 经过几秒钟， PBC的面积等于4（2）如果点P、Q分别从A B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5解：（1）设经过x秒钟， PBQ的面积等于4，则由题意得 AP=x, BP=5- x，BQ=2x,11由一 BP- BQ=4 得一 （5-x） 2x=4,22解得，Xi=1, X2=4.当x=4时，BQ=2x=8 7=BC不符合题意。故 x=1AC边上前进，经几秒钟，使 PCQ的面积等于2cm。2 2 2 2 2 2(2)由 BP +BQ =5 得(5 -x)+( 2x)=5 ,解得X1=O (不合题意),X2=2.所以2秒后，PQ

12、的长度等于5。三、针对性训练：(分钟)(答案：)1小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾 活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了 2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售岀 20件，每件盈利 40元。 为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适 当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快 减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降 价4元，那么平均每天就可多售岀8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200元，那么 每件童装应降价多少3在宽为20米、长为

13、32米的矩形地面上，修筑 同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为 耕地，要使耕地面积为540米2,道路的宽应为 多少T20mIP/V732m4. 小红的妈妈前年存了 5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税(利息税 为利息的20%，共取得5145元.求这种储蓄的 年利率.(精确到%5. 如图 12-3， ABC中，/ B=90，点 P 从 A 点 开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点 Q从 B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。(1)如果P、Q分别从A B同时出发，经几秒 钟，使 ABQ的面积等于8cm(2)如果P、Q分别从A B同时出发，并且 P到 B后

14、又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在1解：依题意，得：(6-x ) 2x=82解这个方程得：X1=2, X2=4即经过2s，点P到距离B点4cm处，点Q到距离 B点4cm处；经过4s,点P到距离B点2cm处， 点Q到距离B点8cm处。故本小题有两解。(2)设经过x秒，点P移动到BC上，且有CP=(14-x )cm,点 Q 移动到 CA上,且命名 CQ= 2x-8 ) cm,过 Q 作 QDL CB于 D。/ CQDTA CABQD AB，即 QD=6(2x 8)。2x 8 AC10依题意，得：1 (14-x ) 6(2x 8)=,2 10解这个方程得：X1=7, X2=11经过7s,点P在B

15、C距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使Sa pcc=经过11s，点P在BC距离C点3cm处，点Q在 CA上距离 C点14cm处，/ 140,点Q已超出 CA范围，此解不存在。故本题只有一解。 (11)2010年新课标中考题一网打尽【回顾1】(2010、绍兴，4分)钟老师出示了小黑 板上的题目(如图1-2 - 2)后，小敏回答：“方 程有一根为1 ”，小聪回答：“方程有一根为2 ”.则 你认为()A只有小敏回答正确 B 只有小聪回答正确C .两人回答都正确D .两人回答都不正确【回顾2】（2010、河北，2分）解一元二次方程 x2 -X 12=0，结果正确的是（）A . x 1=

16、4, x2=3 B . Xi=4, x2= 3C. x 1= 4, x2= 3 D . xi=4, X2=3【回顾3】（2010、安徽，4分）方程x（x 3） （x 3）解是（）A . X1=1B. X1=0, x 2= 3C . X1=1, X2=3D . X1=1, x 2= 3【回顾4】（2010、杭州，3分）若t是一元二次方程ax2 + bx+c=0（a工0）的根，则判别式厶=b2 4ac和完全平方式M=（2a+b）2的关系是（）A . =M B . MC. M D .大小关系不能确定【回顾5】（2010、湖州，3分）方程x2（x 1）0的根是（）A . 0 B . 1 C . 0,

17、1 D . 0, 1【回顾6】（2010、湖州，3分）已知一元二次方程x2 2x 7=0的两个根为 X1, X2，则X1 + X12的值 为（）A . 2 B . 2 C . 7 D . 7【回顾7】（2010、温州）已知X1、X2是方程x2 3x1 1+ 1 = 0的两个实数根，则 I 的值是（）X1 X21A 3B、 3C 3 D、1【回顾8】（2010、温州）用换元法解方程（X2 + X）2+ （x2 + x） = 6时，如果设x2I x =y，那么原方程可变形为（）2 2A、y + y 6 = 0B、y y 6= 0C、y y + 6 = 0D 、y + y + 6= 0【回顾9】（2

18、010、嘉峪关，3分）方程X2 5x=0的 根是（）A . 0 B . 0, 5 C . 5, 5 D . 5【回顾10】（2010、嘉峪关，3分）若关于x的方程x2+ 2x+ k=0有实数根，则（）A . k 1, B . k 1 C . k 1【回顾11】（2010、金华）如果一元二次方程x2 4x12 = 0的两个根是X1,X2，那么X1 + X2等于（）A. 4 B. 4 C. 2 D. 2【回顾12】（2010、金华）用换元法解方程（x 2 x） X2 x = 6时，设X2 x = y,那么原方程可化 为（）22A. y I y 6= 0B. yI y + 6= 022C. y y

19、6= 0D. y y+ 6= 0【回顾13】（2010、衢州）设X1 ,X2是方程2x2+3x-2=0的两个根，则X1+X2的值是（）A . -3 B . 3 C【回顾14】（2010、衢州）方程x3-x=0的解是（）A . 0, 1 B . 1, -1C. 0, -1 D . 0, 1, 1【回顾15】（2010、嘉峪关）用换元法解方程（二）2 竺 4 0时，若设_=y，则原方程_X 1 X 1X+1【回顾16】（2010、杭州，4分）两个数的和为 6,差（注意不是积）为 8，以这两个数为根的一元二次方程是【回顾17】（2010、江西）方程X2 x=0的解是【回顾18】（2010、，内江）等

20、腰 ABC中，BC=8AB、BC的长是关于 x的方程x2 10x+m= 0的两 根，贝U m的值是.【回顾19】（2010、南充）关于x的一元二次方程 ax2 +2x+仁0的两个根同号，则 a的取值范围是【回顾【回顾0.【回顾【回顾20】（2010、衢州）解方程：?2x2 -9x+5=x-321】(2010、金华）解方程:x3 2x2 3x =22】23】+5(x l【回顾【回顾【回顾方程24】25】26】(2010、(2010、)+2=0.(2010、(2010、(2010、湖州）自贡）重庆）武汉）丽水）(k 1)x6的另一根和k的值.解方程组:y=x+1 x2+y2=5解方程:解方程:解方

21、程:已知关于2 (x 1) 2x2 2x 2=02x +5x+3=0x的一元二次0的一个根是2,求方程【回顾27】（2010、嘉峪关,7分）已知关于x的一元二次方程（k 4）x2 3x k2 3k 4 0的一个根为0，求k的值.【回顾28】（2010、河南）要到玻璃店配一块面积为1 . 21卅的正方形玻璃，那么该玻璃边长为【回顾29】（2010、南昌，3分）如图1 2 3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对 角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为厘米. 011）2011年中考题预测（80 分 60 分钟）（257）一、基础经典题（44分）（一）选

22、择题（每题4分，共28分）【备考1】如果在1是方程x2+mx 1=0的一个根,那么m的值为（）A . 2 B . 3 C.1D . 2【备考2】方程2x（x 3）5(x3）的解是（）5A. x 3 B.xC.X1253,X22 D.x 3【备考3】若n是方程x2mxn 0的根，n工0,贝 U m+n等 于（）A . 7 B . 6 C.1D. 1【备考4】关于x的方程x2mx n 0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A . m= 0, n = 0B.m=0, n 工 0C . m 0, n = 0D.m工0, n工0【备考5】以5 2 6和5+2 6为根的一元二次方程是()2A

23、. x 10X 10 B .2X10X 10C . x210X 10 D .2X10X 10【备考6】已知X1, X2是方程x2X 3=0的两根，那么X12+X22的值是（）A . 1 B . 5 C .749D、亍【备考7】关于x的方程142X2(m 3)x m 0有两个不相等的实根，那么 m的最大整数是（）A . 2 B1 C . 0 D . I（二）填空题（每题4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程 x2 + 3x+1=0的两个根 为X1, X2，那么（1 + X1）（1 + X2）的值等于 .【备考9】已知一个一元二次方程 x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是【备考11】关于x的方程（k 1）x23（k2）x2k 42