初中数学九大几何模型解题思路

1、v1.0可编辑可修改九大几何模型、手拉手模型旋转型全等(1)等边三角形D4【条件】： OABHA OCD均为等边三角形;【结论】：厶OA3A OBD/ AEB=60 :OE平分/(2 )等腰直角三角形AED【条件】： OABHA OCD均为等腰直角三角形;【结论】： OACA OBD/ AEB=90 :OE平分/ AEDCDE(3 )顶角相等的两任意等腰三角形【条件】： OABHA OCD匀为等腰三角形;且/ CODM AOB【结论】：厶OA3A OBD / AEB=M AOB OE平分/ AED:、模型二：手拉手模型(1 )一般情况【条件】：CD/ AB,将厶OCD旋转至右图的位置【结论】：

2、右图中 OC3A OABnA OASA OBD【条件】：CD/ AB, / AOB=90将厶OCD旋转至右图的位置【结论】：右图中 OC3A OABnA OACA OBD延长 AC交BD于点E,必有/ BECN BOA AC OD OBtan / ocd bd丄AC2连接AD BC,必有AD2 BC2 AB三、模型三、对角互补模型BCD : SABCD(1) 全等型-90 【条件】：/ AOB=/ DCE=90 : 0C平分/AOB【结论】： CD=CE OD+OE=2 OC ScE2oc2证明提示:作垂直,如图 2,证明 CDMA CEN图2SOCDSAOCE过点C作CF丄0C如图3,证明

3、ODA FEC当/ DCE的一边交A0的延长线于 D时(如图4):以上三个结论：CD=CE OE-OD=；2 0C SAOCESOCD(2) 全等型-120【条件】：/ AOB=N DCE=120 :。平分/ AOBF3I 结论 CD=CE OD+OE=OC Sg s Ss 计。C2证明提示：可参考“全等型 -90。”证法一；如右下图：在 OB上取一点F,使OF=OC证明 OCF为等边三角形。9(3) 全等型-任意角a【条件】：/ AOB=2i,/DCE=180-2a;CD=CE【结论】：OC平分/ AOBOD+OE=2OCcos a; DCEOCDOCEOC2 sin a cos a当/ D

4、CE的一边交AO的延长线于 D时(如右下图)：原结论变成：；可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结:常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线; 初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; 注意0C平分/ AOB寸，/ CDEN CED2 COAK COE如何引导四、模型四：角含半角模型90(1)角含半角模型 90 -1【条件】：正方形ABCD/ EAF=45;【结论】：EF=DF+BE厶CEF的周长为正方形 ABCD周长的一半;也可以这样：(3)角含半角模型 90-3【条件】：Rt ABC/ DAE=45 ;【结论】：BD2

5、CE2 DE2 (如图1)v1.0可编辑可修改若/ DAE旋转到 ABC外部时，结论 BD 2 CE2 DE2仍然成立（如图2）AAAD18/ DAC=/ EAF=45,/ DAH=/ CAE 又 I / ACB玄 ADB=45 ;DAAHACAE AHEA ADC AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型(1 )倍长中线类模型-1【条件】：矩形ABCDBD=BEDF=EF【结论】：AF丄CF模型提取：有平行线 AD/ BE平行线间线段有中点 DF=EF可以构造“ 8”字全等厶ADFA HEF。(2 )倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形 ABCDBC=2ABAM=DMCEL AB;【结

6、论】：/ EMD=M MEA辅助线：有平行 AB/ CD 有中点 AM=DM延长 EM构造 AMEA DMF连接 CM构造模型六：相似三角形360 旋转模型(1)相似三角形(等腰直角)360。旋转模型-倍长中线法【条件】：厶ADE ABC均为等腰直角三角形； EF=CF；【结论】：DF=BF；DFL BF辅助线：延长 DF到点G,使FG=DF连接CG BG BD,证明 BDG为等腰直角三角形;突破点： ABDA CBG难点：证明/ BAO=/ BCG(3)任意相似直角三角形360。旋转模型-补全法【条件】：厶 OABA ODC / OABM ODC=90 : BE=CE【结论】：AE=DE/

7、AED=2/ ABO辅助线:延长 BA到G,使AG=AB延长 CD到点H使DH=CD补全 OGB OCH构造旋转模H型。转化 AE与DE到CG与BH 难点在转化/ AED(4) 任意相似直角三角形360。旋转模型-倍长法【条件】：厶 OABA ODC / OAB=/ ODC=90 : BE=CE【结论】：AE=DE/ AED=2/ ABO辅助线：延长 DE至M,使ME=DE将结论的两个条件转化为证明厶AMDo ABQ此为难点,模型七：最短路程模型(1 )最短路程模型一(将军饮马类)总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题,最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决;特点：动点在直线上；起点，终点

8、固定11I 2（2 ）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：0C平分/ AOBM为0B上一定点；P为0C上一动点； Q为0B上一动点;【问题】：求MP+PQI小时，P、Q的位置辅助线：将作 Q关于0C对称点Q,转化PQ =PQ过点M作MHL OA则MP+PQ=MP+PQ MH垂线段最短）(3 )最短路程模型二(点到直线类2)【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n),.5【冋题】：n为何值时，PB -PA最小5；5求解方法：x轴上取C(2,0),使sin / OAC ;过B作BD丄AC交y轴于点E,即为51所求； tan / EBO=tan/ OAC ,2(4 )最短路程模型三(旋

9、转类最值模型)【条件】：线段OA=4 OB=2OB绕点O在平面内360旋转;【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边最大值：OA+OB最小值：OA-OB【条件】：线段0A=4 OB=2以点0为圆心，OB 0C为半径作圆;点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【条件】：Rt OBC / OBC=30 ;0C=20A=1;点P为BC上动点（可与端点重合）厶OBC绕点0旋转【结论】：PA最大值为OA+OB= 2 3 ; PA的最小值为-OB OA 312如下图，圆的最小半径为 O到BC垂线段

10、长。v1.0可编辑可修改模型八：二倍角模型【条件】：在厶ABC中，/ B=2/ C;BA 、 CA 、辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A，连接AA、则BA=AA =CA （注意这个结论）AC20此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。C模型九：相似三角形模型（1 ）相似三角形模型-基本型平行类：DE/BC;字型字型 A字型结论：ADABAEDE注意对应边要对应）v1.0可编辑可修改B斜交型C B 双垂型 C(2 )相似三角形模型-斜交型【条件】：如右图，/ AEDN ACB=90 ;【结论】：AEX AB=AC AD【条件】：如右图，/ ACEN ABC2【结论】：AC=AEX AB第四个图还存在射影定理:AEX EC=BC AC;2 2BC=BEX BA CE=AEX BE;图(1)(3)相似三角形模型-一线三等角型【条件】：(1)图：/ ABCN ACE=/ CDE=90 ;(2) 图：/ ABCh ACE=/ CDE=60 ;(3) 图：/ ABCN ACE=/ CDE=45 ;【结论】： AB3A CDE