圆锥曲线中的最值与定值(20201012113606)

1、15-1 的最值与定值 基础热身 1.过抛物线y=axa0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF与F0的长分别是p、q,贝片+*等于（） 14 A. 2。C 4qD. 解析：抛物线方程为/=、，则F（0, ）, 设 PS1，力）、0（兀2，歹2）， 则卩=力+忑=力+石 设PQ的方程为y=kx+ 由 4化简得 2（g+Qy+嵩=0, y=ax2, .,_丄丄兰 -1 刃+力兀+；?刃力一而 1+疋 J_+1=p+q p q pq力力+31+旳）+詁/爭 a 答案：c r =25問（为参数）上的各点到直线x+2y边 0的最大距离是（） 3 A.V10 B. 210 C. 310 D

2、.a/10 解析：用点到直线的距离公式，当0=耳时，取最大值. 答案：A 2 2 3.已知Fi、竹为椭圆C：1的两个焦点，P为 椭圆上的动点，则F1PF2面积的最大值为2,则椭圆的离心率 e%() 解析：当P为椭圆短轴端点时FPF2面积取最大值加，贝IJ m=4,幺=专 答案:C 2 2 2 2 4.设连结双曲线手一話=1与器一缶T的四个顶点所组成 的凹四边形的面积为S,连结四个焦点所组成的凹四边形的面 C 积为S2，则=的最大值为 解析：两双曲线是共轨的, 故 S2=2c2. 四个焦点在以原点为圆心, C为半径的圆上, 又据双曲线的顶点坐标及对称性得Sx=2ab, Si lab ab ab

3、1 答案：I 疑难精讲1 圆锥曲线中最值的求法有两种：几何法：利用 图形性质来解决；代数法：建立目标函数，再求目标函数的最 值.求函数最值常用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单 调性，根据函数式求最值时，特别要注意变量的取值范围. 2确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程 或不等式，因此，要树立用方程和不等式的解题思路.与圆锥曲 线有关的参数范围问题的讨论有两种方法：不等式（组）求解 法；函数值域求解法. 3. 通过参数0简明地表示曲线上任一点的坐标，将椭圆的 计算问题转化为三角的计算问题，从而利用三角函数的有界性及 其众多的变形公式来帮助求解. 4. 对于定值、定点问题可以利用

4、特殊数或位置得出定值或 定点，从而转化为证明问题. 互动探究 题型1定点问题 例1在平面直角坐标系xOy中,直线I与抛物线y2=4x相交 于不同的两点A、B. (1) 如果直线Z过抛物线的焦点，求页繭的值； (2) 如果OA OB=-4,证明直线/必过一定点，并求出该定 点. 【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为（1,0）,直线I不与y 轴垂直，所以设/： x=ty+l,代入抛物线方程y2=4x,消去兀， 得于一4莎一4=0,设点4的坐标为（兀1，%）,点B的坐标为（兀2, 丁2），则 y +2=4/, 丁1丁2= 4OAOB=XiX2+w2 = （yi +1）（22+ 1）+y 1212+1

5、+2）+1 +力歹2= 4产+4尸+1 4= 3. 设/： x=ty+b,代入抛物线方程/=4x,消去%,得/ 4砂4b=0.设点A的坐标为01，力），点B的坐标为（花，力）， 则 y + y2=4f, W2= 4b.因为OA-OB=XX2W2 = （切 + b）（ty2 + b）+y i2 = I% + bt（y + 乃）+戾+y = 一 4b“+4Z? + Z?24Z? b1一4b.所以 b2_4b =一4, 所以戻一4b+4=0，所以b = 2,所以直线/过定点（2,0） 题型2利用圆锥曲线的定义与平面几何知识求最值 例2已知M（3,乎），抛物线C： y2=2x上的动点P,若P 到M的距

6、离为P到抛物线准线/的距离为2，求1+2的 最小值及此时戶的坐标. 【解析】由已知M在C开口的外部，如图. d2 = PF（F 为 C 的焦点），因此，dx+d2 = PM + PFFM 25 =石（当F、P、M共线时有最小值），此时P的坐标是（2,2） 题型3最值问题及范围问题 例3如图所示， 上一点， 直线I过点 P且与抛物线C交于另一点Q. (1) 若直线/与过点F的切线垂直，求线段PQ中点M的轨 迹方程； (2) 若直线/不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点匚 IQ71 IV71 试求器+蒿的取值范围. 【解析】 设Pg刃）、Qg乃）、为），依题意 兀1工0,力0,旳 由=护. 得

7、y =x 过点P的切线的斜率P切=兀1， 直线/的斜率k = y=丄， k切无1 直线I的方程为y1%1 = +兀一兀1） 2 联立消去 得X+%卅一2=0. TM为PQ的中点, X +%21 消去兀1，得沟=球+点+1(兀0工0) :PQ中点M的轨迹方程为y=x+2-l(x0). (2)设直线 /： y=kx-b,依题意 kHO, bHO，则 T(O, b) 分别过P、Q作PP丄xft, QQr丄兀轴，垂足分别为P、 Qr，则 -l-=I P Qr Q 1川两 SP 1 1521 IP 1571 , 15711071 .1071 Ibl . Ibl 2 由 2 消去 x,得 y22伙2+b)

8、y+Z?2=0. y = kx+b 则p+罕瑚+） yiy2=b .1571 , ST 1,1FT斤 丽+瓯赵+区）227盲2书=2. *!乃可取一扮不相等的正数. .1571 | IS71弘師/士卄屮冃, 氏丙+居a的取值氾围是（2, + ）. 错解辨析 例5已知在抛物线加：x2=2y,离点4(0, )距离最近的 点是抛物线加的顶点，求参数a的值. 【错解】设P% y0)m： x2=2y,则P(土莎,沟)其中 沟三0. |加=边为+仇a)2, PA2 ?o2(a 1)旳+。2=为一( l)2+2a 1. 即加是以沟为自玉量开口石上的二次函数. 当为=。一1(对称轴)时，审2有最小值2a-i.

9、又由题设抛 物线加的顶点(0,0)到4(0, a)距离最短,且y()=a 120. 故当 时,在 a = l 处,有IE4lmin=21 = 1. 【错因】 本解法在探求PA2=yl-2(a-l)y0+a2的最小值 时，使用了二次函数的最值条件对称轴y0=a-l.但对二次函数 PA2=yl-2(a-l)y0+a2的结构、参数Q的范围及在定义域沟上0 上求最值认知不到位只考查了。三1的情况而疏漏了 al的讨 论，而且对沟三0在沟=0时，总有IB4lmin=hl的条件没有给予足 够重视，致使。的取值丢失了无穷多解. 联想二次函数B42=yb-2(a-l)y0+a2在定义域yoO上求 最值的理论，对实变量参数Q进行分类研究.先考查对称轴沟 =1三0处斎的最值；然后考查 XI时，沟=0处加的最 小值042=/,从而求出参数。的取值范围. 【正解】 设Pg 为)丘加x=2y,则P(2yo, yo)CVoO) B42 =()2 + 0q)2= 2(d1)沟+/, 朋2是y在0, +s)上的开口向上的二次函数.故分类讨论 如下： 当在yo=ci 1三0(对