抛物线焦点弦性质

1、抛物线的焦点弦 【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直 线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物 线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，女口2001年的高考题就出现两个题目。 【问题探究】 【探究1】求弦长|AB|。 ABAF|BF（xi号）（X2#）xiX2p。 【结论1】AB x1 x2 p。 【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB| ？ （1）当时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径 2 AB 2p结论得证; 当时，设直线L的方程为: (x少an，即: x y cot -，代入抛 2 物线方

2、程得：y22 py COt p2 0，由韦达定理yi y2 2 p ,yi y 2pcot ， 由弦长公式得 AB ,1 cot2 【结论 【探究 2 sin 【结论 【探究 yi y2 【结论 yi 目22p(1 cot2 ) 2p .2 。 sin 若直线I的倾斜角为，则弦长AB 过焦点的所有弦中，何时最短？ . 2p _ i 1 2P sin 过焦点的弦中通径长最小。 从刚才的解题过程中我们能否发现了 AB的最小值为 2 p ， Xi 2 yi x 2p 2 y2 2p x1x2 4】丫皿 2 p ； (2)xix2= 4 2p .2 。 sin 2p。 A、B两点的坐标关系? 2 2

3、(yiy2)p 。 4P24 【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？ 设M为AB的中点，过A点作准线的垂线 AA i,过B点作准线的垂线 BB i,过M点作准线的 垂线MM i，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知： MM i aa1 lBBi竺_竺，所以二者相切。 2 2 2 【探究6】连接 AiF、Bi F 贝U AiF、 Bi F有什么关系？ AAi AF, AAiF AFAi AAi /OFAAiF AiFO AiFO AiFA 同理 Bi F0 BiFB AiFBi 90 AiF Bi F。 【结论 6】AiF BiF。 【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 【

4、探究7】刚才我们证得 AiFBi为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形? 由“探究5”知Mi在以AB为直径的圆上 AM i BMi。 由“探究6”知 AiFBi为直角三角形，Mi是斜边Ai Bi的中点, Ai M i M i FM i FAiM i Ai F AAiFAFAi， AAiFFAiM AAi M i 90 ， AFAiAiFMi 90 ， MiF AB。 【结论 7】AM i BM i，MiF AB。 进而可得如下结论：以 AiBi为直径的圆与直线 AB相切。 【探究8】点A、0、Bi的位置关系？ 因为 koA y1 2 2p ,koB1 y22y2 ，而 y1 y2 2 p，

5、 X y1 y1 pp 2p 2 所以 k 2p 2y2 k 所以三点共线。 koA 2 0B1， p p y2 【结论8】点A、0、Bi三点共线。 【类似结论】 （1）B、0、Ai三点共线； （2）设直线A0与抛物线的准线的交点为 （3）设直线B0与抛物线的准线的交点为 Bi,贝U BBi平行于X轴；（2001年高考题） Ai,贝U AAi平行于X轴。 【探究9】FA ?, FB 【结论9】FA xi X2 由抛物线的定义得：|FA AF 4. BF 5. Kae k be 0; 6. 当一时AE BE ,当一时AE不垂直于BE。 2 2 【课后反思】 i、设计意图： 本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、 类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力，同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的 位置关系，努力寻找学生