打印一份离散型随机变量典型题

1、离散型随机变量典型题1有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号x，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为y，记.二xy o（ 1）求.的分布列；（2 ）求E 和D o解：（1） 可能取的值为0、1、2、4 o（2分）且卩（5，卩（T）订，P（諾，卩（一亡 （6分）所求的分布列为：匕 0124（8 分）5 P-9121(2)由(1)可知，999h51E =0122 ,41=19999( 11 分)D红(0 -1)2 X59(1 -1)2x1 +(2 _1)2 x? +(4_1)2=兰9999(14分）2.（本题满分14分）甲

2、与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为E ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为 n.（1）分别求E和n的期望；（2）规定；若E n，则甲获胜，若E n ,则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率 解 E的可能取值为0, 1, 2, 3则E的分布列为E0123P13318888 I1 3313则 E E = 0123 -88882n的可能取值为0, 1, 2则n的分布列为5 / 11111424P(E n )=(8 48441 3所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。2 163. 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.(1) 求该题

3、被乙独立解出的概率；(2) 求解出该题的人数的数学期望和方差.解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P-乙为P2.( 2分)则 P( A)=Pi=0.6,P(B)=P2P(A B) =1 - P(A B) =1 一(1 一 R)(1 一 P2) = RP2 - RP2 =0.92.0.6 P2 -0.6P2 -0.92则 0.4P2 =0.32即 P2 =0.8(7分)(2)P( =0) = P(A) P(B) =0.4 0.2=0.08P( =1) = P(A)P(B) P(A)P(B) = 0.6 0.2 0.4 0.8 =0.44P( =2) = P(A

4、) P(B) =0.6 0.8=0.48的概率分布为:012P0.080.440.48E = 0 0.081 0.442 0.48 = 0.440.96 = 1.4D = (0 -1.4)2 0.08(1 -1.4)2 0.44(2 1.4)2 0.48二 0.15680.07040.1728 =0.4或利用 D 二 E( 2) -(E )2 =2.36 -1.96 =0.4(12分)4. 口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3,第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为 .(I)为何值时，其

5、发生的概率最大？说明理由;(n)求随机变量的期望E 。解(I)依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6因为P( =2)斗2 ；8264(=3)2 32188264(=4)2322 3 221(=6)8264(=5)=82642248264 所以，当=4时，其发生的概率21P (=4)- 一最大8分918 211264415(n) E =234 -56 -12分646464646445.(本小题满分12 分)A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子(x、y、z 0,且 x+y+z=6),B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜

6、，异色时为B胜(1 )用x、y、z表示B胜的概率；(2)当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？ 解：(1)显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：x 1PS)在 2，P(A2)13，p(a3)A!:“A、B均取红球”；A2： “A、B均取白球”：A3： “A、B均取黄球”3x+2y+z d、 . 3x+2y+z P(A)= P(A) P(A2)P(A3), P(B) =1 -3636(2)由(1 )知 P(A)二 3x 2y z，又x y z = 6, x _ 0, y _ 0, z _ 036十曰3x + 2y+z 12+xz 1.-门口 亠仆亠口仏于是P(A),当x=6

7、, y=z=0，即A在相中只放6363621个红球时，获胜概率最大，其值为26 某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知2每位考生测试合格的概率都是-,3(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率;若5人中恰有r人合格的概率为 旦，求r的值;243记测试合格的人数为，求的期望和方差。解：(1)体育教师不坐后排记为事件A,贝 V P(A)二 cyC62 1(2)每位考生测试合格的概率P，测试不合格的概率为1 -P =-3 3r r则 B(r) =C5 P (1 _P)5 -T80243r rr,2、r,1、5_rC_28035，即

8、 C5 (-) (3)C/2r = 80 , r =3h2-B(5,)3u210KE =5, D3 37袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止(I)当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；(n)当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。解(I)当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不故随机变量的概率分布列为:12345p111115.555.5再放回，所以的可能取值为1，2，3, 4，5，易知P( =1)1C5c1P( =2)=CC5= 5,p(5c1=3)= CC5cC；c1P( =4)占C5c3c1 1C

9、；c3 c；= ；,P( =5)=5c1cE =1 12 1 3 14 15 1 =3,D=(1 3)2(23)2 1 (33)2 -5555555555555555212122222八(4 -3)(5 -3)(21012 )=2. .6分555(n)当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量 是取球次数，因为每次取出的黑球4 1仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，P( =kH(-)kJ ,k =1,2J|BH5 5n123nP154 15 5(4)2 1(护1所求概率分布为AA丄=5,D 二E 2(E )2 k2一52 = 20.5k55&如图，一辆车要直行通过某十字路口，这时前方刚好由绿灯转

10、为红灯.该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车直行的概率为2 一 1，左转行驶的概率.该路口红绿灯转换间隔均为 1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出33停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求：(1) 前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率为多少？(2) 该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)(1)今心(4分)(3) 假设每次由红灯转为绿灯的瞬间，所有排队等候的车辆都同时向前行驶，求该车在这 十字路口候车 时间的数学期望。7 / 11停车蜒(2) C：(3)4 C：(|)3(3)滲(8分)(3

11、)设该车在十字路口停车等候时间为 t，则时间t的分布列为时间t(min)13概率P161127271611 49则停车时间的数学期望为1 16 3二竺min.(13分)2727 279 某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为11，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验2(I)第一小组做了 5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子)，求他们的实验至少有3次成功的概率；(n)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子)，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次求这一小组所做的种子发芽

12、实验次数的分布列和期望。解：(I)至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：啄1)2 十 c；d)4(1-)gdlo.s 4,2 2 2 2 2(n)依题意有：- .12345P111丄丄248161661 1 1 1 1 31+2嫌 冷一汇 4T 卄疋一 =4-2 481 61 61 610从分别写有1, 2,3, 4,5,6,7,8,9的九张卡片中，任意抽取两张，计算：(I)卡片上的数字都是奇数的概率；(n)当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中成功次数的数学期望。(n)次试验成功的概率为P=C3 曽。3 =3，从而 E B.J5,1故产1E- =n p

13、=15疋_ =5。9 / 1111 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中 6题，乙能答对其中的 8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。(I)求甲答对试题数的概率分布及数学期望。0123p1P 311 :301026(n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：(I)依题意，甲答对试题数的概率分布如下:4分甲答对试题数的数学期望:21 3119E&：=0123 -301026 5(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为则 P(A)二 C6C4 C660 2080C3。120_120C - Cs56 56112141201201

14、59分(文6分)甲、乙两人考试均不合格的概率为:214111P(AB) =P(A) P(B) =(1)(1):一153 15 45甲、乙两人至少一个合格的概率为44p =1 _p(AB)=14545理文均12分12. 出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 1。3(I)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率;II)求这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率。解：(1 )这位司机在第一、第二个交通岗都未遇到红灯，第三个交通岗遇到了红灯所以卩=(1_)(1_丄)133327(II)这位司机在途中恰好遇到三次红灯的概率为13分2人，会

15、跳舞的有P( 0)吒13 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算E .解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7-x)人，那么只会一项的人数是(7-2 x )人.(I)T P( 0) =P( 一 1)=1P( =0)誌，匕3二 P( =0) 3分10即争3 氐10(7 _2x)(6 _2x) _ 3(7_x)(6_x) -10 x=2. 5 分故文娱队共有5人. 7分P( T)二c2 c4c245，P( =2)=1011分（II）的概率分布列为匕012P34

16、110510.341八-E 0. 12=1. 13 分1051014. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数a1a2a|a10，其中A的12各位数字中，a1 =1，ak（k =2,3,丨1（ ,10）出现0的概率为，出现1的概率为一，例如：3 3A = 1001110001，其中 a a a a a 0， a a5 a ag 1 ，记S =印 a? a3 |l（。当启动仪器一次时，（1 ）求S = 3的概率；（2）求S = 5，且有3个1连排在一起其余无任 2个1连排在一起的概率。2 2 2 1 7 16解：（1）p=c；（2）2（1）7 弓；3 33（2）P =应 5 A2）（

17、-）4（1）-640 （注：分三类 1110- ； 110- ； 10-）33315. 如图A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的最大信息量分别为1、1、2、2、3、4,现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量； 、设选取的三条网线由 A到B可通过的信息总量为 x，当x 6时，才能保证信息畅通， 求线路信息畅通的概率； 求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望。亠2_解：14=123 = 6P(x = 6)i+c2 CC624=223=7P(x 二 7)cl c； 1C：；1 34=2 2 4= 8.P(x=8)C； 13：2 3 4 =9 P(x=9)C； 1C6310.p(x _

18、6) = p(x =6) p(x = 7) p(x = 8) p(x = 9)1131153=+ + + =4420102043即线路信息畅通的概率为，6分4C 1 1 2=4. p(x =4)3C6101 1 3=12 2=5 P(x = 5)320x456789P13113110204420101 c1CT-信息总量x分布列1+8 汇一3+9汉丄= 6.5410442010二线段同过信息量的数学期望为6.5 13分16.某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.(1) 求一轮练习中运动员甲的投篮次数E

19、的分布列，并求出E的期望EE位有效数字)；(2) 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.解：(1) E的可能取值为1, 2, 3, 4,旦命中即停(结果保留两E =1 时，P ( E =1) =0.7E =2 时,E =3 时,E =4 时,P(E =2) =0.7(1-0.7)=0.21;2P ( E =3) =0.7(1-0.7)=0.06334P ( E =4) =0.7(1-0.7)+(1-0.7)=0.027. E的分布为E1234P0.70.210.0630.02718 / 11 EE =1X 0.7+ X 2 X 0.21+3 X 0.063+4 X 0.027=1.4(2)P

20、( E 3)=P( E =3)+P( E =4)=0.063+0027=0.0917、1甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为一，乙射击一次命中10环的210环的次数为E ,且E的数学期望 EE概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中4=,表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.3(1) 求s的值及的分布列，(2) 求的数学期望.4解：(1)依题意知 E s B(2 , s)，故 EE =2s=,32 s=.3的取值可以是甲、乙两人命中甲、乙两人命中甲、乙两人命中0,1 , 2.10环的次数均为10环的次数均为10环的次数均为 p( =0)=36 I 1 139 一 360次的

21、概率是1次的概率是2次的概率是(2)2 (3)2(1 112 2 2(1 1)(2 )=-2 2 3 31_ 36，1)(2 11 2)/23 33392、 139，甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是丄36-.1 - 3/V1 -X1-2 1 - 2/V /V2 -X2 - 3/V1 -Xp( =2)=36 1=36，10分13536- p(=1)=1 一 p(=0) - p(=2)=1 -36故的分布列是E =01 丄 236236918. 位学生每天骑自行车上学 ，从他家到学校有 相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为 为丄.2n012pr14分5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是 p ,其余3个交通岗遇到红灯的概率均(1)若p =2,求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率3(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过,求p的取值范围.18解：(1)记该学生在第i个交通岗遇到红灯 A、(i二1,2，5),2 111P(AA2 A3)、巧)(匕)宀.答：该学生在第三