必修二立体几何较难题汇总情况

1、1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、GH,则四面体EFGH勺表面积与四的表面积的比值是B) 16 C) D)A如图，连接AF、AG并延长与BC CD相交于M N,由于F、G分别是三角形的重心，所以M N分别是BC CD的中点，且 AF: AM=AG AN=2 3,所以 FG MN=2 3,又 MN BD=1 2,所以 FG BD=1 3,即两个四面体的相似比是1 : 3,所以两个四面体的表面积的比是1: 9;故选C.如图，平面a/平面B/平面丫，两条直线I, ni分别与平面a, 3, 丫相交于点A, B, C和点 D, E, F.已矢口 AC二 15cm, DE二 5cm, AB： B

2、O 1 : 3,求 AB, BC, EF 的长设平面 allB , Ca , B DB 直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS二 18, BS二9, CD二34, 则 CS=08/3 或 68与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个 七个你可以把它想象成一个三棱锥四个顶点各对应一个有四个，两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个总共有七个如图，在四棱锥P-ABCD屮，平面PADL平面ABCD AB/ DC PAD是等边三角形,已知 BD=2AD=8 AB二2DC二 J。设M是PC上的一点，证明：平面1BD_平面PAD,匸二一 ,Bbj-(2)求四棱锥P-ABCD的体积解：(1)证

3、明：在-二二中，由于一.匸所以 -.- 故 xL.又平面丹0丄平面，平面平面二AD ,J ”，平面.I，-二所以夕二一平面”又C平面i 故平面-U I平面(2)过作：-丄.交： 于Q由于平面门 严面，所以匸匚亠平面匕因此匸匚为四棱锥的咼，又是边长为4的等边三角形p(9 二 2x4 =23因此：在底面四边形加中，丄一，边二“所以四边形炉是梯形，4x3 L在二一一匚三中，斜边-丄：边上的高为，此即为梯形刃的高，4退婕眉L 24所以四边形1-二的面积为八n必严卜24X2少皿 故.在长方体 ABCDAiBGD 屮，AE二BC二2, AA二 1,则 BG 与平面 BBDD所成角的正弦值为26 B.315

4、.ToC.D.5(2008福建)如图,(15)如图，二面角二ri -的大小是60 ,线段A 8二* BI,AB与I所成的角为30。则AB与平面：所成的角的正弦值是19.(本小题满分12分)1如图，直三棱柱ABC- ABC中，AC二BC丄AA, D是棱AA的中点，DC丄BD。2(1)证明：DC丄BCD(2 )求二面角A-BD- C的大小。【解析】（1）在Rt.DAC中，AD =AC ,得:.ADC =45 ,同理:.ADC, =45 二.CDC, =90 ,得：DC DC 。又 DC 丄 BD DC BD =D ,所以DC平面BCD。而BC二平面BCD,所以DC! _ BC。（2）解法一：（几何

5、法）由 DC BC, CG _ BC 二 BC _ 面 ACCd=BC _ AC o取Ab的中点0,连接CQ , 0D o因为 AC,二BQ,所以 CQ _ A3 ,因为面ABQ, _面A,BD,所以CQ _面A,BD,从而CQ _ BD ,又DC丄BD所以BD丄面DCQ,因为0D u平面DCQ,所以BD丄0D。由BD _0D , BC丄DC,所以.Ci DO为二面角A BD-C的平面角。设 AA, =2a , AC 二 BC 二且，贝 U CQ 迪21 在直角 GOD , CQ 0D , C】0GD ,-2所以.GDO =30 o因此二面角几- BD -G的大小为30 。7/A*(2007)

6、2.(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形屮,体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的屮点，能得出AB/面MNP的图形的序号是() A.、B.、C.、答案：B3、(吉林省吉林市 2012届上期末丿三棱锥P ABC的高P0=8 AC二BC二3 / ACB=30 , M N分别在BC和P0,且CM=x PN二2CM试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系(X, (0, 3)()答案：AABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点，在DM上取一点G, 过G和AP作平面交平面BDMT GH求证:AP / GH.B平面a过正方形

7、ABCDAiBCD的三个顶点氏D, Ai, a与底面ABiCD的交线为L,贝9 L 与BD的位置关系？如图，正方形ABCL正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE, BD 各有一点P,Q,且 AP=DQ 求证：PQ/ 面 BCE4下列各图是正方体或正四面体，P, Q, 共面的一个图是（）R, S分别是所在棱的中点，贝U四个点不A空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个 数是多少1、若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线

8、面平行的判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线a II直线b, a不在平面a内，b在平面a内。用反证法证明aliao 假设直线a与平面a不平行，则由于a不在平面a内，有a与a相交，设ana二A。 则点A不在直线b上，否则an b=A与a I b矛盾。过点A在平面a内作直线c II b,由且I b得a I Co而A a,且A c,即卩a. n c=A,这与a II c相矛 盾。于是假设错误，故原命题正确。（反证法）例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选

9、出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值.AB解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC BC, DBi, AD,它们所在直线两两都是异面直线又若有5条或5条以 上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10, 与正方体只有8个顶点矛盾故K的最大值是4.练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、 6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少8汇7解答两端点都为顶点的共线三点组共有乞丄=28个；两端点都为面的中心共线2三点组共有色二3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有 丄18个，且2 2没有别的类型的共线三点组，所以总共有28 349个.例题

10、3在单位正方体ABCDABCD的面对角线AB上存在一点P使得APfDP最短，求 AF+DP的最小值.解答 将等腰直角三角形AAB沿AB折起至AAB,使三角形AAB与四边形ABCD共面， 联结AD】,则A Di的长即为AP+ D】P的最小值,所以,AD 二 l2 l22 1 1 C0S135 22练习3已知单位正方体ABCDAiBiCD的对棱胡、D上有两个动点E、F, BE二DF二丸2值.1解答当，二丄时,2（0V人兰1） 设EF与AB所成的角为a，与BC所成的角为B，求且+P的最小-TT不难证明：二f （）是单调减函数因此：的2最小值为一.2例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的

11、六条棱都相切，若正四面 体的棱长为/则这个球的体积是 分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球 与 各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内 切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有:C运3二一兀a24练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的 半径即为正高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三故只要求出正四面体的高度即可.所以,R sa, r 6a 412例二十三、（

12、1991年全国联赛一试）设正三棱锥P-ABC的高为PQ M为P0的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分 的体积比.分析：取BC的中点D,连接PD交AM于G,设所 作的平行于BC的平面交平面PBC于EF,由直线 与平面平行的性质定理得：EF/ BC,连接AE, AF,则平面AEF为合乎要求的截面.作 OH/ PG 交 AG 于点 H,贝 U: OH=PG 匹二PD 二 pG CD/ gg=i 旦二 1 VEF PG PGPG OH AO 2故.Vpef二詮二BC哙；于是：連収 V心 FBC：1A _PBC例5己知正三梭傩SABC的高SO =3,底面边长为氐过

13、点A向它所 对的侧面SBC作垂线，垂足为OS在A0上取一点巴使讓二&求经过点卩 仇平行于底面的栽面的面积，（1989,全国髙中联赛）解：如图5 因为S是正三棱锥，所以点0 J&A ABC的童心H*连结A0并 延氏交BC于 D,因为点D 是的中点 丄平面SAIJ,而 A a 丄所以ACT 在平面SAD 上从而，点 CT必在DS上*于足,AD 二 6x二 3/3, 0Z = yAn=/3,+ (/3)2 =02Z7 =孕r从而夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径为（年一 1）二说明（】）本例能够解决 的关键是将四个球的球心提炼岀了一个正四面体，从而我们可以将有 关计算转移到该正四

14、面体内进 行*（2）正四面体的外接球半径是内切球半径的M倍，它们分别是高 的四分之三与四分 之一*（2012重庆）9设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1, -、2和a,且长为a的棱 与长为J的棱异面，贝U a的取值范围是（A ）A. （0, J2）（o,、3） C. （1 八 2） D（1 八 3）（2010全国）（6）直三棱柱ABC-ABG中，若BAC=90, AB = AC = AA,则异面 直线BA与AG所成的角等于（C ）（A） 30 （B） 45 （C） 60 （D） 90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC - AB.G的性质、异面直线所成的角、异面直线所成

15、的角的求法.【解析】延长CA到D,使得AD二AC,贝U ADACi为平行四边形，.DAB就是异AB、BQ都相交;AB BiCi都平行.片DBiGA.B CD 面直线BA与MG所成的角，又三角形儿仍为等边三角形，DAB=60过正方体ABCDABiCD 的顶点A作直线a,使a与棱AE, AD, A /所在直线所成的角都相等，这样的直线a 可以作（D ）A） 1条B ）2条C ）3条D ）4条（2010重庆）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（D ）（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个 11如图，M是正方体ABCD - ABiCiDi的棱DDi的中点，给出下列命题 过M点有且只有一条直线与直线AB、BiCi都相交; 过M点有且只有一条直线与直线AB、BG都垂直; 过M点有且只有一个平面与直线 过M点有且只有一个平面与直线 其中真命题是:3、如图:在正方体ABCD -