专题3平面向量与三角函数结合

1、精品资源专题3平面向量与三角函数结合考点动向：向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与三角有关知识的结合。这些题实际上是以向量为载体考查三角函数的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大。向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对 双基的考查。这类题目常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、 向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，还会继续出现向量与三角函数结合的题目

2、。方法范例例1、(2005年，天津卷) 在直角坐标系xoy中，已知点 a (0, 1)和点b (3, 4),若 点c在/ aob勺平分线上且| oc| = 2 ,则 oc =。分析题设中已知向量的模，设oc = (2cos0,2sin 0 ),结合角平分线和反三角形函数等知识求sin 0 , cose ,进一步得到结果。答案解：设oc=(2cos&2sin日)，则日的终边在第2象限，即sin6 。且cos日0 ,由 cos26 =2cos2h -1 ,得41 3二 4arctanarctan2 1232 232 .3 二2cos 1-1 cos 一 2444-arctan- =1 -sin a

3、rctan- =1 - 一 3.35故 cos2 b= , sin2 0 =,得 cos0 = 一一,sin 日=-=,10101010所以 oc=(2cose,2sin 日 j-i笨 u.加3加 1l布布八55 j例2、(2005年，山东卷) 已知向量 m =(cos,sin日)和n =(v2_sinei,cosl )日三俨,2n卜的值.7 .i 8,2 一 口 m + n =,求 cos.十52 8分析本题是以向量的模为背景， 利用模，结合三角函数恒等变换、 化简求值等有关知 识进行求解。答案解：1 m +n = (cos sin8 + 72,cos 日 +sin 日cos二-sin 。2

4、 (cos? sin )2 = . 4 2、2(cos二-sin),4 十 4cosmfcosfp二 c 2 户 二 coslo+ =2cos (+)1,4 2 85 二二二 9 二:二一,一:二.8288由已知m+n =述，得cosi+工=工，又 54 2523 二、16. 八cos (十)=,，日 w (n，2n ).2 825代j )八 广日，冗,cos + f0,. . cos 一十282 8j冗例 3 (2006 年全国n) 已知向量，a = (sin 仇1), b = (1,cose), - e -.22(1)若2_1求日；(11)求a+b的最大值.分析(i)利用向量垂直的等价条件

5、，进行向量数量积的运算，求 日；(n)先求 出向量a + b,再进行求a+b ,后利用三角函数性质求最大值。l 五、答案解：(i)因为 a _l b ,所以 a b =(sin6,1 ) (1,cos9 )= v2 sin 6i= 0,4 j二二二二3二二因为一 曰 一,所以 8 + 一冗,8 + =0 即 8= 一 ,2244444或者，若 a b,则 a,b = (sin6,1 ) (1,cos8 )= sin 0 + cos 0=0,所以，tan 0 = 1( -2- 0 -y),所以 0 = - -4;(n)由 a = (sin6,1), b=(1,cos日)，得a + b =(sin

6、日,1 + (1,cos日)=(sin日 +1,1 +cos ),a+b = *(sine +1 2 +(1 + cos8 f = %；3 + 2(sine + cosq )=13 +2m2 sin9 + iv 4；当sin(6=1时，a+b取最大值，即当日=：时，a + b取最大值j2+1.规律小结(1)向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加 强了对双基的考查， 特别是向量的坐标表示及运算，这类问题的解决思路通常是将向量的数量积的运算与模用坐标运算后，转化为三角函数问题， 然后用三角函数基本公式求解， 基中涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加法、 减法

7、、数乘向量；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量的模、夹角等。(2)平面向量垂直问题有多种证明方法，常用的方法有三种：一是根据数量积的定义 证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。欢下载(3)三角函数恒等变形的基本策略:常值代换法，特别是1的代换法，如1=cos2 0 +sii2 0 =tanx cotx=tan45。分拆配凑法，如项的分拆：sin2x+2cos2x=(sin 2x+cos2x)+cos2x=1+cos 2x;角的配凑:升次降次法，如降次法：用二倍角公式降次。化弦化切法：将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)辅助元素法，引入辅助角

8、：asin6 +bcos0 =4a2+b2sin(e十中)，这里辅助角中所在象pm由a、b的符号确定，邛角的值由tanp=b确定.a和积互化法等。考点误区分析:(1)对于向量的数量积的运算、 垂直与平行的等价条件等知识，考生可能弄混、用错.下解答:以上例3就是平面向量垂直的证明，考生有可能记错了向量垂直的充要条件，导致进行如a b =(sin8,1 ) (1,cos8 尸 22 sin 日 一一 i = 0, 4 j3 二 二 二 二二8 一 , 6 = 0 即 8= 一 .44444必须加强理解记忆(2)对于三角函数及其恒等变形等知识，考生也可能记错、用错, 同步训练:1、(2004年浙江卷

9、)已知平面上三点a、b、c满足|ab|=3,| bc|=4 , | ca|=5,则ab，bc + bc,ca +ca , ab的值等于2、若向量 a =(cosa,sina),b =(cosp,sin p),则 ouf b 一定满足()a. a与b的夹角等于 口pb. (a+b)1(a-b)-ir*c. a / bd. a b3、已知 a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 ) (0 a 3 u ),(1)求证：a+b与a- b互相垂直；(2)若ka+b与a-kb的大小相等(ke r且kw0),求3 - a34、已知 a、日 c二点的坐标分别是 a(3,

10、0), b(0, 3),c(sina,cosa)，其中；cot ,(1)若 ac = bc ,求角 a 的值；(2)若 ac bc = -1 ,求 2sin “sin2的值。1 + tanif5、设 a = (1+cos a , sin a ) , b = (1-cos p , sin p ), c=(1,0) , a e (0, n), p c(n,2 n), a与c的夹角为6 1 , 6与c的夹角为8 2，且8产82 =；，求sin j的值。6、 abc 中，三个内角分别是 a、b、c,向量 a = (- cos ,cos), 222,1当 tan a tan b =时，求 | a |.9

11、参考答案1、解析本题主要是向量与解三角形的结合，解题时应注意两个向量的夹角与三角形的内角的关系，如=ti-c。答案252、解析；口|=|6=1；.以a,b为两邻边组成的平行四边形为菱形，其两对角线互相垂直，由向量加减法的平行四边形法则，可知：(a + b)，(a - b).答案选b.3、解析(1)证法一 ：: a二 (cos a , sin a ) , b= ( cos 3 , sin 3 ).a+b= ( cos a +cos 3 , sin a + sin 3 ) ,a- b= ( cos a - cos 3 , sin a - sin 3 ).(a+b) (a- b)= (cos a +

12、cos 3 , sin a + sin 3 ) (cos a - cos 3 , sin a - sin 3 ) =cos2 a - cos2 3 +sin2 a - sin 2 3 =0.(a+b) (a- b).证法二：a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 ),. . | a| = 1, | b| = 1.1. (a+b)(a-b)=a2-b2=|a| 2-|b|2=0,1.(a+b) (a-b).证法三：= a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 )| a| = 1, | b| = 1 .记 oa = a,

13、 ob =b,则 | oa| =| ob|=1,又 “ w 3 , . .q a、b三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以oaob为邻边的平彳t四边形 oac屋菱形，其中oc= a+b, ba = a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+b)，(a-b).(2)解：由已知得| ka+b|与|a-kb|,又 | ka+b| 2= (kcos a +cos 3 )2+(ksin a +sin 3 )2=k2+1+2kcos( 3 - a ),| ka+b| 2 = (cos a - kcos 3 ) 2+( sin a - ksin 3 )2=k2+1-2 kcos( 3 a ),. 2kco

14、s( 3 - a )= -2 kcos( 3 - a ).又kw 0,cos( 3 a ) = 0 .冗0 a 3 兀,0 3 一 a tt ,3 一 a =一2 -it答案(1)略， (2)一.tt4、解析(1)由题意，得 ac = (sin口3,cosa) , bc = (sin,cos -3).；用=船工 ac|2 =ibc|222. 22,即(sin ：3) cos : = sin = (cos： -3)化简得 sin a = cosa ,(2)由 ac bc又 a n ,二 a = n .224=_1 得：(sin a 3)sin a 十 cosa(cosa _ 3) = 1 ,化简

15、得sina+cosa , 3是 2sin 二 cos ： - (sin .2+ cos 二)2c 2. c2sin 二；“ sin 2 二2sin ： (sin w ： cos ：)1 tan :cos w ： sin ;5二2sin 二 cos：二一一9cos 二,5答案- 95、解析cos1|a| |b|cl二| cos 2| , a e (0, n),cosu2 =*|b|c|2hpji（一, 二）一一一222n%).，cos“sin，2h=cos( 2、 心)=cos(22)a -p- sin 4=sin(答案2. 56、解析, | a | = (cosf)2cos2252. | a | = cos4c 2 a-bcos 5 . 2= sin42 a - b cos 2=5 1 -cos(a b) . 1 cos(a-