四点共圆问题

1、精品文档 四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一: 以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决 其他问题铺平道路判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何 二册所介绍的两种(即P89定理和P93例3),由这两种基本方法推导出来的其 他判别方法也可相机采用 1 “四点共圆”作为证题目的 例1. 分析: 给出锐角厶ABC以AB为直径的圆与AB边的高CC及其延长线交于 M N.以AC为直径的圆与AC边的高BB， Q四点共圆 (第19届美国数学奥林匹克) 设PQ MN交于K点，连接AP, AM. 欲证M, N, P，Q四点共圆，

2、须证 MK- KN= PK- KQ 即证(MC -KC )( MC +KC ) =(PB -KB ) - (PB +KB) 或 MC 2- KC 2=PB 2- KB 不难证明AP=AM从而有 ABZ 2+PB 2=AC 2+MC 2. 故 MC 2-PB 2=ABz 2-AC =(AK- Kb 及其延长线将于P，Q.求证：M, N, P， 例2. 分析: 2)-( AK-KC =KC 2-KB 2. 由即得，命题得证. A、B、C三点共线，O点在直线外， O, Q, O 分别为 OAB OBC OCA的外心求证：O, O, Q, Q四点共圆 (第27届莫斯科数学奥林匹克) 作出图中各辅助线易

3、证OQ垂直平分 2) OB OQ垂直平分0A.观察厶OBC及 4欢迎下载 其外接圆，立得/ OOO=丄/ O(2B=Z OCB观察 OCA及其外接圆，立得/ 2 OOOJ / O(3A=Z OCA. 2 由/O(2O1=Z OOO O, O, Q, O3共圆 利用对角互补，也可证明 O, O, Q, O四点共圆，请同学自证 2以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面 (1)证角相等 例 3.在梯形 ABCD中, AB/ DC ABCD, K, M分别在 AD, BC上, / DAMkZ CBK. 求证：/ DM去/ CKB. (第二届袓冲之杯

4、初中竞赛) 分析：易知A, B, M, K四点共圆连接KM 有/ DA圧/ CMK.t / DAE+/ ADC =180, / CMKZ KDC= 180 . 故C, D, K, M四点共圆/ CM匡/ DKC. 但已证/ AMZ BKA / DMAZ CKB. （2）证线垂直 例4.0O过厶ABC顶点A, C,且与AB, BC交于K, NK与N不同）. ABC 外接圆和厶BKN外接圆相交于B和 M.求证：Z BMO90 （第26届IMO第五题） 分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步其实，只要把握已知条件 和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的 连接OC OK MC MK延长

5、BM到G.易得Z GMC Z BA（=Z BNK=Z BMK而Z COK2 Z BAC=Z GMC Z BMK1800 - Z CMK Z COKZ CMK1800C, O, K, M四点共圆 在这个圆中，由 OC=OK O(=Ok _ Z OMCZ OMK. 但Z GMCZBMK 故Z BMO900 判断图形形状 例5.四边形ABCD内接于圆, BCD ACD ABD ABC的内心依次记为I a , I B , I C , I D- 试证： I aI bI cI D疋矩形 （第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题 分析：连接AIc , AId , BIc , BId和DIb.易得 11 Z AI

6、CB=90 +丄 Z ADB=90 + 22 Z ACBZ AIcB A, B , Id , Ic 四点 共圆 同理,A, D, Ib, Ic四点共圆此时 1 Z AId d=180 - Z ABId=180 - - Z AB( 2 1 Z AId b=180 - Z ADIb=180 -丄 Z AD( 2 Z Aid d+Z AI CI b 1 =360 -丄(ZAB(+ZADC 2 1 =360 -丄 X 180 =270 2 故 Z I bI cI d=90 同样可证I aI bI Ci D其它三个内角皆为90 该四边形必为矩形 计算 例6正方形ABCD勺中心为0,面积为1989 cm

7、2.P为正方形内 点，且/ OP=45, PAPB=5:14.则 PB= （1989，全国初中联赛） 分析：答案是PB=42 cm.怎样得到的呢? 连接0A 0B易知0, P, A, B 四点共圆，有/ APZAO=90 故 PA+PB=AE=1989. 由于 PAPB=5:14，可求 PB. 其他 例7设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大 的和一个面积最小的，并求出这两个面积（须证明你的论断）. （1978，全国高中联赛） 分析：设厶EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点 至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令 边上.A 作正 EFG的高

8、EK易知E, K, G, D四点共圆 Z KD匡Z KG=60 .同 理，Z KAE=60 .故AKAD也是一个正F 三角形，K必为一个定点B 又正三角形面积取决于它的边长，当 KF丄AB时，边长为1,这时边长最 .3, 小，而面积S=）也最小当KF通过B点时，边长为223，这时边 4 长最大，面积S=2、3-3也最大 例8. NS是OO的直径，弦AB丄NS于M P为ANB上异于N的任一点，PS交AB 于R, PM的延长线交O O于Q.求证：RS MQ. （1991，江苏省初中竞赛） 分析：连接NF, NQ NR NR的延长线交。O于Q.连接 MQ , SQ . 易证N, M, R, P四点共

9、圆，从而，Z SNQ =Z MNR Z MPRZ SPQZ SNQ. 根据圆的轴对称性质可知 Q与Q关于NS成轴对称 MQ =MQ. 又易证M, S, Q , R四点共圆，且RS是这个圆的直径（ Z RMS900 ）, MQ 是一条弦（Z MSQ V 90 ），故 RS MQ .但 MQMlQ , 所以，RS MQ. 练习题 1. OO交。O于A, B两点，射线OA交。Q于C点，射线QA 交O O于D点.求证：点A是厶BCD勺内心. （提示：设法证明C, D, O, B四点共圆，再证C, D, B, Q 四点共圆，从而知C, D, O, B, O五点共圆.） 精品文档 2. ABC为不等边三角

10、形./ A及其外角平分线分别交对边中垂线于 A , A;同样 得到 B1， B2， C1， C2. 求证： A1A2=B1B2=C1C2. （提示：设法证/ ABA与/ACA互补造成A, B, Ai, C四点共圆；再证A, A, B, C四点共圆，从而知 Ai, A都是 ABC勺外接圆上，并注意/ AiAA=90 .） 3. 设点M在正三角形三条高线上的射影分别是互不重合）.求证： MMM 也是正三角形 . 4. 在Rt ABC中, AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交 过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD. （提示：证B, Q E, P和B, D, E, P分别共圆） 5. AD BE CF是锐角 ABC的三条高从A引EF的