复旦大学2001年高等代数解答

1、复旦大学高等代数200110021（分）设 A0001.求三阶可逆阵 P，四阶可逆阵Q使30001000A P 0100Q 0000解：利用行列式的行列变换法：（行变换）1001002120100012001000010100001 ，从而P0100013000361000036110001000000101001000000000000001（列变换），从而 Q0101000100000100000101000010001000010100（分）设 A15x, y 使 x y Ax5求非零整数0 16y解：不妨令 xt ，则解 t210t160 得 t2,8yxk2xk8，其中的 kZ 0从

2、而或者1y1y（分） 记 M nR 为由所有的 n 阶实方阵在通常的运算下形成的向量空间记S为所有的 n 阶实对称方阵所构成的集合，T 为所有的 n 阶实反对称方阵所构成的集合（）求证 S,T 都是 M nR 的子空间；nn（）将 M nR 中两个元素 (aij) 和 (bij ) 的内积定义为aij bij ，这样 M nR 就成为内i 1j1积空间求证在这个内积空间中S 和 T 互为正交补证明：（ 1）显然是成立的，利用子空间的判别法显然就成立了，免证（） 找出 S,T 的基， Eij(ekr ), ekr0,( k, r )(i , j )，像这样的构1,(k, r )(i, j ),或

3、者 (k , r )( j , i )0,( k, r )(i, j )成 S的基， Dij(v), v1,( k, r )(i , j ) 像这样的构成 T 的基krkr1,(k, r ) ( j ,i )而显然容易知道( Eij , D pr )0 ，从而就知道了S 与 T 互为正交的， 又结合我在 00 年高代中的解答显然知道STV ，进而就知道是正交互补了。（分） 设 K , F , E 都是数域， 满足 KFE 则在通常的运算下F和E是数域K上的向量空间，E 又是数域 F 上的向量空间假定作为 K 上的向量空间F 是有限维的，作为 F 上的向量空间E 是有限维的，求证作为K 上的向量

4、空间E 是有限维的rsr证明：F kii : i是F在K的基， Ek ji ii : i是E在F的基 i1j 1i 1s, r 是有限的，srsr因为条件所以可以知道k ji iik ji i i ，所有的 i j 就构成j 1i 1j 1i 1了 E 在 K 上的基，显然维数是有限的，从而命题就获得了证明了。（分）问下列两个方阵是否相似，说明理由1000100001001111000,100.1000001010答：显然容易知道它们的秩是相同的。 然后可以结合求矩阵的特征值， 然后看它们的特征值都是不是一样的， 如果不一样， 就说明不相似， 然后如果相同就结合每个特征值求对应的向量空间是否有相同的维数，如果也具有，那么就相似，如果不具有就说明不相似，这个题目我就不想去计算了，这样做是肯定可以做出来的！（分）设A 是秩为 r 的 mn 矩阵求证必存在秩为nr 的 n ( nr ) 矩阵使AB 0证明： Ax0 有 n r 个线性无关的解，把这些无关解组成的n(nr ) 矩阵就是符合命题的矩阵了，自然就有命题成立的（分）设A 是一个 n 阶实方阵满足 AA 设是 A 的一个特征值求证的实部等于零证明：2 显然是 AAA