求函数极限方法的探讨

1、本科学生毕业论文（设计） 题 目（中文）： 求求函函数数极极限限方方法法的的探探讨讨 （英文）：beg function limit method is discussed 目录目录 目录目录.2 2 1 1绪论绪论 .6 6 2 2一元函数极限概念与求法一元函数极限概念与求法 .7 7 2.1一元函数极限的概念.7 2.2一元函数极限的求解方法.7 2.2.1利用一元函数的定义求解 .7 2.2.2利用极限的四则运算求函数极限 .8 2.2.3利用函数的性质求函数极限 .9 2.2.4利用等价无穷小代换求函数极限 .10 2.2.5利用无穷小量性质法 .11 2.2.6利用无穷小量与无穷大量

2、的关系 .11 2.2.7利用数学公式，定理求函数极限 .12 2.2.8利用变量替换求函数极限 .16 2.2.9用左右极限与极限关系 .17 3 3二元函数极限的概念与求法二元函数极限的概念与求法 .1818 3.1二元函数极限的概念.18 3.2二元函数极限的求法.18 3.2.1利用二元函数的极限的定义求极限 .18 3.2.2利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 .19 3.2.3利用极限的四则运算求解 .20 3.2.4利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 .20 3.2.5利用等价无穷小替换求解 .21 3.2.6利用分子或分母有理化求解 .21 3.2.7利用夹逼定理

3、求解 .21 3.3小结 .22 4 4结语结语 .2222 5 5致谢致谢 .2323 6 6参考文献参考文献 .2323 求函数极限的方法探讨求函数极限的方法探讨 摘要摘要 函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础，本文主要对一 元函数、二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结，并在某些具 体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解函数的 各种极限以及对各类函数极限进行计算。函数极限的求法有很多，每种方法都 有其优缺点，对某个具体的求极限问题，我们应该选择最简单的方法。 【关键词】：函数定义，数学定理，公式，函数极限 beg function limit

4、method is discussed abstract function limit concept and function limit of modern calculus is introduced, this paper mainly based on a circular function, dual function limit definition and their solving methods, and summarizes some concrete, and the solving method of should pay attention to in the de

5、tails and skills so that we understand that various extreme and the function of various function limit to calculate. we have many function limit, each method has its advantages and disadvantages, to a specific ask, we should choose the limit of the most simple method 【 key words 】 : a function defin

6、ition, mathematical theorems, formula, function limit 1绪论绪论 极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数 值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是高等数学中 一个非常重要的概念, 是贯穿高等数学的一条主线, 它将高等数学的各个知识 点连在了一起。所以,求极限的方法显得尤为重要的。我们知道,函数是高等数 学研究的对象,而极限方法则是在高等数学中研究函数的重要方法, 因此怎样求 极限就非常重要。 早在我国古代刘徽的九章算术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣

7、”就涉及了到了极限。古希腊人 的“穷竭法”也蕴含了极限思想 。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依 里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限 作出过各自的定义。在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有 极限，人们必须不断地对极限存在的 充分条件和必要条件进行探讨。在经 过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯 西获得了完善的结果 ，即 柯西收敛原理。到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有 了极限的定义自然就有了许多求极限的方法。 求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求 函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则

8、运算、利用变量替换、 利用等价无穷小代换、利用定积分求合公式、利用导数定义、利用泰勒公式、 利用黎曼引理、利用柯西收敛原理、利用罗必达法则求极限等一些方法，而其 中大部分是用于求解一元函数的极限。二元函数极限是在一元函数极限的基础 上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。比如,极限的四则运算法则是相同的,但 是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。因此 本文除了对一元函数的求解方法进行概括总结外，还对二元函数的求极限方法 进行了一些简单的归纳和说明，并与求一元函数的极限方法进行了比较，从而 使阅读本文的人更快更好的掌握一元函数，二元函数极限的求解技巧和它们的 异同点。

9、 2一元函数极限概念与求法一元函数极限概念与求法 2.1 一元函数极限的概念一元函数极限的概念 设 f:(a,+)r 是一个一元实值函数， ar.如果对于任意给定的 0，存在正数 x，使得对于适合不等式 xx 的一切 x，所对应的函 数值 f(x)都满足不等式 . f(x)-a , 则称数 a 为函数 f(x)当 x+时的极限，记作 f(x)a(x+). 2.2 一元函数极限的求解方法一元函数极限的求解方法 2 2. .2 2. .1 1 利用一元函数的定义求解利用一元函数的定义求解 设 f:(a,+)r 是一个一元实值函数， ar.如果对于任意给定的 0，存在正数 x，使得对于适合不等式 x

10、x 的一切 x，所对应的函 数值 f(x)都满足不等式 . f(x)-a1,n0) x n x a x lim 解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使得 k xk+1 于是当 n0 的时候有: k n x n a k a x) 1( 以及 aa k a k a x k n k n x n 1 1 又因为当 x时,k 有 k n k a k) 1( lim00 ) 1( lim 1 aa a k k n k 及 1 lim k n k a k 0 1 0 1 lim aaa k k n k 则：=0 x n x a x lim 小结：利用函数的基本性质来求解函数极限对一些特定的函数极限的求

11、解 有着十分重要的作用，熟悉和了解函数的基本性质是解决此类函数极限方法的 重要前提。 2.2.4利用等价无穷小代换求函数极限利用等价无穷小代换求函数极限 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： , ， 存在， , lim 则 也存在，且有= lim lim lim 例题： 求极限 22 2 0 sin cos1 lim xx x x 解: ,sin 22 xx 2 )( cos1 22 2 x x = 22 2 0 sin cos1 lim xx x x 2 1 2 )( 22 22 xx x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换， 若以和、差出现时，不要轻易代换

12、，因为此时经过代换后，往往改变了它的无 穷小量之比的“阶数” 此外不仅无穷小量代换能求函数极限，还能运用无穷小量与无穷大量的关 系，以及无穷小量的性质法来求解函数极限。 2.2.52.2.5 利用无穷小量性质法利用无穷小量性质法 （特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数 f(x)、g(x) 满足： （1）0)(lim 0 xf xx (2) (m 为正整数)mxg)( 则：0)()(lim 0 xfxg xx 例题: 求 的极限 x x x 1 sinlim 0 解: 由 而 0lim 0 x x 1 1 sin x 故 原式 =0 1 sinlim 0 x x x 2.

13、2.62.2.6 利用无穷小量与无穷大量的关系利用无穷小量与无穷大量的关系 （1）若： 则 )(limxf0 )( 1 lim xf (2) 若: 且 f(x)0 则 0)(limxf )( 1 lim xf 例题: 求下列极限 （1） （2） 5 1 lim x x 1 1 lim 1 x x 解: （1）由 故 )5(lim x x 0 5 1 lim x x （2） 由 故 =0) 1(lim 1 x x 1 1 lim 1 x x 2.2.72.2.7 利用数学公式，定理求函数极限利用数学公式，定理求函数极限 2.2.7.12.2.7.1罗比塔法则（适用于未定式极限）罗比塔法则（适用于

14、未定式极限） 定理：若 a xg xf xg xf aa xg xf iii xgxuxgfii xgxfi xxxx xx xxxx )( )( lim )( )( lim ( )( )( lim)( 0)()()( 0)(lim, 0)(lim)( 0 0 0 00 0 00 ），则或可为实数，也可为 内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 0 0 注注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。 , 0 0 2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的 导数。 3、要及时化简

15、极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若 遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。 4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求 )( )( lim xg xf ax 极限须用另外方法。 例题： （1） )1ln( )21 ( lim 2 2 1 0 x xe x x （2）)0, 0( ln lim xa x x a x 解：（1）令 f(x)= , 2 1 )21 (xe x g(x)= l)1n( 2 x , 2 1 )21 ()( xexf x 2 1 2 )( x x xg 22 2 2 3 )1 ( )1 (2 )(,)21 ()( x

16、x xgxexf x 由于0)0()0(, 0)0()0( ggff 但2)0(, 2)0( gf 从而运用罗比塔法则两次后得到 1 2 2 )1 ( )1 (2 )21 ( lim 1 2 )21 ( lim )1ln( )21 ( lim 22 2 2 3 0 2 2 1 0 2 2 1 0 x x xe x x xe x xe x x x x x x （2） 由 故此例属于型， a xx xxlim,lnlim 由罗比塔法则有： )0, 0(0 1 lim 1 lim ln lim 1 xa axax x x x a x a x a x 小结：对于一些特定类型的函数求极限（型，型）可以适

17、用罗比 0 0 塔法则进行求解，关系是要知道此类函数的类型是属于型还是型。 0 0 2.2.7.22.2.7.2利用泰勒公式利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方 便，下列为常用的展开式： 1、)( ! 2 1 2 n n x xo n xx xe 2、)( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 2 12 1 53 n n n xo n xxx xx 3、)( )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 12 242 n n n xo n xxx x 4、)() 1( 2 )1ln( 1 2 n n n xo n xx xx 5、)( ! ) 1()

18、 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 2nn xox n n xxx 6、)(xx1 1 1 2nn xox x 上述展开式中的符号都有:)( n xo 0 )( lim 0 n n x x xo 例题: 求)0( 2 lim 0 a x xaxa x 解:利用泰勒公式，当 有0 x )( 2 11xo x x 于是 x xaxa x 2 lim 0 = x a x a x a x )1 2 1( lim 0 = x xo a x xo a x a x )( 2 1 1)() 2 ( 2 1 1 lim 0 = ax xox a x xo a x a xx 2 1 )( 2 1 lim )(

19、2 lim 00 小结：此类题型考验的是我们对泰勒展式的熟悉程度，因此解决此类题目 要十分熟悉泰勒展式的结构以及用途。 2.2.7.32.2.7.3利用拉格朗日中值定理求函数极限利用拉格朗日中值定理求函数极限 原理:若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间上连续 (ii)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点,使得 ab afbf f )()( )( 此式变形可为: ) 10( )( )()( abaf ab afbf 例题: 求 xx ee xx x sin lim sin 0 解:令 对它应用中值定理得 x exf)( ) 1(0 )sin(sin)sin()(s

20、in)( sin xxxfxxxfxfee xx 即: 1)(0 )sin(sin sin sin xxxf xx ee xx 连续 x exf)( 1)0()sin(sinlim 0 fxxxf x 从而有: 1 sin lim sin 0 xx ee xx x 小结：利用拉格朗日中值定理求函数极限关键至于拉格朗日中值定理的合 理运用。 2.2.7.4 利用黎曼引理求函数极限利用黎曼引理求函数极限 求（a0） 2 0 cos lim 1 a p pxdx x 解：原式= 000 1 cos2111cos21 limlimlimln(1) 2(1)21212 aaa ppp pxpx dxdx

21、dxa xxx 2.2.7.5 利用夹逼定理求函数极限利用夹逼定理求函数极限 若存在正整数 n,当 nn 时,有 xnynzn,且,aznxn nn limlim 则有.ayn n lim 例题： 求 f(n)=的极限. 2 1 n n 解: 对任意正整数 n,显然有 , nn n n n n 2211 22 而,由夹逼性定理得0 1 n 0 2 n 0 1 lim 2 n n n 即 f(n)=的极限是 0 2 1 n n 数学公式，定理在求函数极限的方法中有着大量的运用。不仅仅只有上述公式， 定理能求解出函数极限，还有柯西收敛准则，定积分求和公式等一些数学公式 定理能将函数极限求解出来。

22、2.2.82.2.8 利用变量替换求函数极限利用变量替换求函数极限 此方法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型 特别地有： m、n、k、l 为正整数。 nk ml x x m n k l x 1 1 lim 1 例题： 求下列函数极限 （1） 、n （2） m x x m n x ( 1 1 lim 1 )n 1 ) 12 32 (lim x x x x 解: （1）令 t= 则当 时 ,于是 mn x1x1t 原式= n m tttt tttt t t n m t n m t )1)(1 ( )1)(1 ( lim 1 1 lim 12 12 11 （2）由于 1 ) 12 32 (li

23、m x x x x = 1 ) 12 2 1 (lim x x x 令： t x1 2 12 则 ： 2 11 1 t x = 1 ) 12 32 (lim x x x x 1 ) 12 2 1 (lim x x x 2 11 0 )1 (lim t t t =eett t t t 1)1 (lim)1 (lim 2 1 0 1 0 2.2.92.2.9用左右极限与极限关系用左右极限与极限关系 (此方法适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。 原理：函数极限存在且等于 a 的充分必要条件是左极限 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx 及右极限都存在且都等于

24、a。即有：)(lim 0 xf xx =a axf xx )(lim 0 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx 例题：设= )(xf 1, 1 0 , 0,21 2 xx x x xx xe x 求 及 )(lim 0 xf x )(lim 1 xf x 1) 1(lim)(lim)(lim 1)21 (lim)(lim 000 00 x x xx xf exf xxx x xx 解： 由1)(lim)(lim 00 xfxf xx 1)(lim 0 xf x 不存在 由 （又 )(lim )01 ()01 ( 1lim)(lim 0) 1limlim)(lim 1 2 11

25、 111 xf ff xxf x x xx xf x xx xxx 3 3二元函数极限的概念与求法二元函数极限的概念与求法 3.13.1 3.2 3.3二元函数极限的概念二元函数极限的概念设为定义在上的二元函数,为的一个聚fd 2 r 0 pd 点,是一个确定的实数.若对任给正数,总存在某正数,使得当a 时,都有,则称在上当时,以为 0 0; pupd f pafd 0 ppa 极限,记作 0 lim pp p d f pa 3.4 二元函数极限的求法二元函数极限的求法 3.4.13.4.1 利用二元函数的极限的定义求极限利用二元函数的极限的定义求极限 根据点沿任意连续曲线趋于时 00 , l

26、im, x yxy f x ya , x y 00 ,xy 趋于.我们可取某一特殊方向,求出当趋于时, ,f x yaykx, x kx 00 ,xy 的极限,然后再利用定义验证这一极限是即为二重极限.,f x y 例例 设 11 sinsin,00 , 0,00,0 xyxy yx f x y xo yxy 当且 当或 求 ,0,0 lim, x y f x y 解解 取特殊方向,求出沿直线趋于时的极限yx, x yyx0,0 ,0,000 11 lim,lim,limsinsin x yxx y x f x yf x xxx xx 0 1 lim2 sin0 x x x 现在用定义证明 ,

27、0,0 lim,0 x y f x y 对,当或时,则当,0 10,0 xyx0, y=0 0，0 x ,时,有0y ,0,0 x y ,0f x y 当,时,当, 20 x 0y 2 0 x0y 时,有 ,0,0 x y =,0f x y 11 sinsinxy yx 11 sinsinxy yx 11 sinsinxy yx xy 2 于是,对,当,时,有0 2 xy ,0,0 x y ,0f x y 所以 ,0,0 lim,0 x y f x y 3.4.2利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 若在点处连续,则,f x y 00 ,xy 00

28、00 , lim, x yxy f x yf xy 例例 求极限 22 ,0,1 1 lim x y xy xy 解解 因为在处连续 22 1xy xy 0,1 所以= 22 ,0,1 1 lim x y xy xy 22 0,1 11 0 1 0 1 xy xy 3.4.3利用极限的四则运算求解利用极限的四则运算求解 设时函数和的极限存在,则 00 ,x yxy,f x y,g x y ； 00 , 1lim, x yxy f x yg x y 0000 , lim,lim, x yxyx yxy f x yg x y ； 000000 , 2lim,lim,lim, x yxyx yxyx

29、 yxy f x y g x yf x yg x y . 3 00 , , lim , x yxy f x y g x y 00 00 , , lim, lim, x yxy x yxy f x y g x y 00 , lim,0 x yxy g x y 例例 求极限 22 , lim x y x y xye 解解 22 , lim x y x y xye 22 , lim x y x y xy e 22 , 11 lim xyyx x y xy e ee e 因为且 2 lim0 x x x e 1 lim0 y y e 故 2 , 1 lim0 xy x y x e e 同理 2 , 1

30、 lim0 yx x y y e e 所以 22 , lim x y x y xye 3.4.4利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 若当时,而为有界变量 ,则当 00 ,x yxy,0f x y ,g x y 时, 00 ,x yxy,f x y,g x y0 例例 求极限 3 ,0,0 11 limsincos x y xy xy 解解 因为 3 ,0,0 lim x y xy 0 当时,与均有界0,0 xy 1 sin x 1 cos y 所以 3 ,0,0 11 limsincos0 x y xy xy 3.4.5利用等价无穷小替换求解利

31、用等价无穷小替换求解 设与,与均是等价无穷小量,且,则当时,必:lima 或 有limlima 或 例例 求极限 22 2222 ,0,0 1 cos lim x y xy xyx y 解解 因为 2 2222 1 1 cos 2 xyxy:,0,0 x y 2 22 22 22 2222 1 2 2 xy xy x yxyx y 1 xy 又 ,0,0 1 lim x y xy 所以 22 2222 ,0,0 1 cos lim x y xy xyx y 2 22 2222 ,0,0 1 2 lim x y xy xyx y 3.4.6利用分子或分母有理化求解利用分子或分母有理化求解 若分子

32、或分母的极限为,不能运用商的极限运算法则时,采用通过分子或0 分母有理化,消去分母中趋于零的因子,再运用极限运算法则. 例例 求极限 22 22,0,0 lim 11 x y xy xy 解解 22 22,0,0 lim 11 x y xy xy 2222 ,0,02222 11 lim 1111 x y xyxy xyxy 2222 22 ,0,0 11 lim 11 x y xyxy xy 22 ,0,0 lim112 x y xy 3.4.7利用夹利用夹逼逼定理求解定理求解 若在的某个领域内,成立不等式,且 00 ,xy,u x yf x yv x y ,则 00 , lim x yxy

33、 ,u x y 00 , lim, x yxy v x ya 00 , lim, x yxy f x ya 例例 求极限 2 22 , lim x x y xy xy 解解 因为 2 2 22 1 0 2 x x xy xy 又 2 1 lim0 2 x x 所以 2 22 , lim0 x x y xy xy 3.5 小结小结 对于求二元函数极限，其中很多地方都能使用到求解一元函数极限的方法：定 义求解法、无穷小替代法，夹逼法等都能从中看到求一元函数极限的方法的踪 迹，要解得一个二元函数的极限就必须得熟练的掌握好一元函数极限极限的求 解方法，将其方法融入到求解二元函数极限中去，从而使得问更加的简单化， 明朗化。 4结语结语 本文主要是在考虑函数极限存在的前提下撰写的。求函数极限的方法并不是 一成不变的，每一个题目适用于它的解决方法也不是唯一的，只要一个函数的 极限存在总会有一个或者多个方法与之对应。本文重点在于对一元函数极限的 求解方法，对于多元函数，只列举了部分求解二重极限的方法，而其中与一元 函数极限的求法有很大的联系，