一元二次方程的解法--配方法(二)

1、17.2 一元二次方程的解法1 .配方法涡阳县城西中心校王素华学习目标：(1) 会用直接开平方法解形如(x+ m2=n(n0)的一元二次方程；(重点)(2) 解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程.(难点)教学过程：一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h=5x2,问石头经过多长时间落到地面？二、知识形成过程：(3) 试着解下列方程：(4) x2-4=0;(2) (x+1) 2-25=0.(5) 念：一般地，对于形如x2=a(a 0)的方程，根据平方根的定义，可解得 =w？2 =-瓜这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.(6

2、) 下列方程：(7) x2=4 ( 2) x2 3=0;(8) x2 3=0;(4) x2=0; (5) (x+3) 2=1004、思考：你能用开平方法解下列方程吗？ x 2+2x-1= 0显然我们不能直接通过开平方来解这个方程，那怎办呢？下面对方程x2+2x-1=0进行变形把常数项移到等号的右边，得x2+2x= 1对等号左边配方，得 x2+2x+1=1+1即(x+1) 2=2这是直接开平方得 x t = ,2所以原方程的根是 x, = 2 -1,x2 = - ,2 -1考虑到上节中问题一的实际情况，这里只能取x1 = j2-1化0.415、概念：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为

3、一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方(completing the square )法.6、添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式x2+2x+_=(_)2x2-2x+_=()2x2+4x+_=(_)2x2-4x+_=()2x2+10x+_=(_)2x2 ,-10x+_=()22x + bx+ _ =( _用配方法解二次项系数是 1的一元二次方程在时，添上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？常数项是一次项系数的一半的平方三、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程例1、用直接开平方法解下列方程： x216=0; (2)3 x227=0;(3

4、)( x- 2)2=9; (4)(2 y 3)2=16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解.注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况.解：(1)移项，得x2= 16.根据平方根的定义，得 x=4,即xi=4, x2=4;(2)移项，得3x2=27.两边同日除以3,彳导x2=9.根据平方根的定义，得 x=3,即x1 =3, x2= - 3;(3)根据平方根的定义，得 x-2=3,即x- 2=3或* 2=3,即x1=5, x2= 1;(4)根据平方根的定义，得 2y-3=4,即2y- 3=4或2丫一3=4,即，=：,

5、y2=-1 2.方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：x2=a(a0)；(x+ a) 2= b( b0)；(ax+b)2 =c(c0);(ax+b)2=(cx+d)2(| a| w | c|).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8题探究点二：用配方法解一元二次方程类型用配方法解一元二次方程例2、用配方法解下列方程： x22x35=0; (2)3 x2+8x3=0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x+m2=n(n0)的形式，再用

6、直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1,再用配方法解方程.解：(1)移项，得 x22x = 35.配方，得 x22x+12= 35+12,即(x 1) 2= 36.直接开平 方，得x 1 = 6.所以原方程的根是 x1 = 7, x2=5;(2)方程两边同时除以 3,得x2+皋一1 = 0.移项，得x2+皋=1.配方，得x2+-|x+ (：)2 3333=1 + (4)2,即(x + 4) 2=(5) 2.直接开平方，得 x+4= 5.所以原方程的根是 x1=1, x2=- 3333333.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一

7、元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9题类型二利用配方法求代数式的值例 3、已知 a23a+ b2-2+16= 0,求 a4/b的值.解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为 0,从而可求出a, b的值，再代入代数式计算即可.解：原等式可以写成：(a |)2+(b-1)2=0.31. 一 31a2 = 0, b 4=。，斛得 a=2，b =1方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于 0的形式是解题的关键.变

8、式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 11题类型三利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围例4、请用配方法说明：不论一x取何值，代数式 x2 5x + 7的值恒为正.解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式.解：x25x+7 = x25x+(2)2+7($2= (x 2)2+4，而(x2)20,5 2 3 3 .（x2） +4。.代数式x25x + 7的值恒为正.方法总结：对于代数式是一个关于 x的二次式且含有一次项， 在求它的最值时，常常采 用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 10题用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方开方：根据平方根意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.四、当堂检测：用配方法解下列方程：(1) x2 +5x+6=0(2) x2 =4v3x-112 23 3) -x +4x-3=0(4) x -8x-4 = 0五、课堂总结：一、形如x2=a(a 0)的方程，用