专题17直角三角形中的比例线段

1、由此得出的等积式在计算与证明专题17直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论.如图，在 RtAABC中，/ A=90, AD丄BC于D，则 1图中角的关系：/ B= / DAC,/ C= / DAB ;2 同一三角形中三边平方关系：2 2 2 2 2 2 2 2 2AB =AD +BD , AC =AD +CD ； BC =AB +AC 3. 三角形之间的关系： ABDCADCBA，由此得出的线段之间的关系：2 2 2AD =BD?DC, AB =BD?BC, AC =CD?BC.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角

2、形相似, 中应用极为广泛，其特点是： 一线段是两个三角形的公共边; 另两条线段在同一直线上.例题与求解【例1】如图，RtA ABC中，CD为斜边 AB上的高，DE丄CB于E.若BE=6, CE=4，则AD=（上海市竞赛试题） 解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD .例2题图【例2】如图，在RtA ABC 中，/C=90 , CD 丄 AB,下列结论：-AC2ADCD?AB=AC?BC; 21 BC2BD 1 11 2 2 -2 ;AC+BOCD+AB.AC BCCD其中正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质

3、逐一验证，从而作出判断.【例3】如图，在等腰 RtAABC中，AB=1，/ A=90，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF 丄BE,求厶CEF的面积.（全国初中数学联赛试题）1解题思想：欲求 EFC的面积，由于EC=，只需求出 EFC中EC边上的高，或求出 EC边上的2高与EC的关系.本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法.【例4】如图，直线 OB是一次函数y =2x的图象，点A的坐标为（0, 2），在直线OB上找一点C,使（江苏省竞赛试题） ACO为等腰三角形，求点 C的坐标.解题思想：注意分类讨论.能力训练1.如图，在两个直角三角形中，/ACB = Z

4、ADC=900,AC=、6 , AD=2，当 AB=时，这两个直角三角形相似.D（第 2题图）（第3题图）2.如图，在 RtA ACB中，CD丄AB于点D ,/ A的平分线 AF交CD于E,过E引EG / AB交BC于G,若CE=，则BG的长为（上海市竞赛试题）3.如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形,BD=20 , EA=10，贝U AB=（“五羊杯”竞赛试题）4. 如图，梯子 AB斜靠在墙面上，AC丄BC, AC=BC，当梯子的顶端 A沿AC方向下滑X米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则X与y的大小关系是A. x =yB. x y)C. X ： yD .不确定 （江苏省竞赛试题）5.如图

5、，矩形ABCD中,AB= 乜, BC=3,AE丄BD于E,则EC等于（.152.2126.在厶ABC中，ADA .小于902是高，且ADB .等于90-BD CD，那么/C .大于90BAC的度数是（7.BD=15,D .不确定（全国初中数学联赛试题）如图，在厶ABC中，已知/ C=900, AD是/ CAB的角平分线，点E在AB 上, DE / CA , CD=12, 求AE , BE的长.（上海市中考试题）（第 7题图）8.如图，在矩形 ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG / AB交AE于G,求证: AG2=AF FC.（西安市中考试题）D（第 8题图）B9如图，

6、在 RtAABC 中，/ ACB=90, CD 丄AB, DE 丄 AC, DF 丄 BC, D, E, F 分别为垂足，求 证：CD =AB AE BF （四川省中考试题）（第9题图）10.如图，在RtAABC中，/ ACB=900, AD平分/ CAB交BC于点D，过点C作CE丄AD于点E,CE的延长线交 AB于点F，过点E作EG / BC交AB于点G, AE AD=16 , AB=4、5 . 求证：CE=EF; 求EG的长.（河南省中考试题）（第10题图）（第 11题图）11.如图，在厶ABC中，已知/ ACB=90 , BC= k AC, CD丄AB于点D，点P为AB边上一动点,PE丄

7、AC于E, PF丄BC于F.CE当k=2时，则=:BF当k=3时，连结EF , DF，求匡的值；DFL LQ , JQ当k =时， 二（直接写出结果，不需证明）DF 3B级1 如图，在 RtA ABC中，/ A=90, AD丄BC, P为AD的中点，BP交AC于E, EF丄BC于F , AE=3, EC=12，贝U EF=（黄冈市竞赛试题）（第 1题图）2. 如图，在RtA ABC中，两条直角边 AB，AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线 的长度等于厘米.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形，且 EF : FG=3 : 1 , AB: BC=2

8、 : 1，贝U AH : AE=（上海市竞赛试题）（第3题图）/?4如图， ABC中，/ ACB=900, CD和CE分别是底边 AB上的高和/ C的平分线，若 CED s ABC，则/ ECD 等于（)200C. 22.50D. 30（山东省竞赛试题）A.180B.5.(如图,）在厶ABC中,D ,E分别在AC, BC 上,且 AB丄AC , AE丄BC , BD=DC=EC=1，贝U AC=A.2B. . 3C.32D . 33E.逅（美国高中统一考试题）6.如图,在等腰 Rt ABC中，F为AC边的中点，AD 丄 BF.求证：BD=2CD .（武汉市竞赛试题）7.如图，P, Q分别是正方

9、形 ABCD的边AB, BC上的点，且BP=BQ,过B点作PC的垂线，垂 足为H .求证：DH丄HQ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）（第7题图）& ABC 中，BC=a, AC=b, AB=c.若/ C=90，如图 1,根据勾股定理，则 a2+=c2若 ABC 不是直角三角形，如图 2、图3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.图1B图39.已知/ AOB=90,在/ AOB的平分线 0M上有一点C,将一个三角形的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与 OA, OB （或它们的反向延长线）相交于点D, E.当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1,易证:od+

10、oe= Hoc .当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直，如图2,图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD , OE , OC之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.图1图2Od10.如图1 ,在厶ABC中，点D, E, Q分别在 AB, AC, BC上，且DE / BC, AQ交DE于点P.求证:DP PEBQ QC在 ABC中，/ BAC=900,正方形 DEFG的四个顶点在 ABC的边上.连接 AG , AF分别交DE 于M , N两点. 如图2，若AB=AC=1，直接写出 MN的长； 如图3，求证：MN2=DM EN.（武汉市中考试题）图

11、1图2图3专题17直角三角形中比例线段4 .例13 15例2 B提示：只有结论是错误的1例323提示：过F点作FM丄EC于M，由 Rf ABEsRf MEF，得型=AB = 2 EMMF AE 11= 2MF 又 FM =MC=EC= 36f 8例4提示：满足题意的点 C有4个，坐标分别为 ，15 S45石,1,1 CAB ,匹，从而字罟.32DF 3DF 3AP bpB级 1.6 提示：延长FE , BA交于G ,GE BE3. 5 :提示：过B作BE/ AD，交CA的延长线于 E. 线，交AD延长线于G,1 , EBDGCD ,PD,GE= EF, EF14. C 5. C由 AABF s

12、EBA,2. 2 &36.提示：过C作AC的垂 EB : AE= AB : AF = 2 : AGEFCE .贝UAABEBA CAG , AE = CG , BD : DC = EB : CG = EB : AE= 2 : 1, BD = 2CD .7.提示：由 RtAPBHs RtABCH 及 BP = BQ,ABC为锐角三角形时，过得BQ =，从而有竺=岂，可推证得 AbhqsCHD . 8.提示：当厶BC HCDC BQA作AD丄BC于D，可证a2+b2乳当厶ABC为钝角三角形时，过 B作BD丄AC于D,可证a2 + b2v c2.9.提示：图2结论：0D + OE = .2 OC .过C作CP丄OA于P, CQ丄OB 于 0,则厶 CPD CQE , DP = EQ, OP = DO + DP, OQ = OE - EQ.又 OP+ OQ = . 2 OC，即OD + DP + OE-EQ = . 2 OC，故 OD + OE =2 OC.图3的结论