专题27数形结合

1、专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质 时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作 数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1借助于平面直角坐标系解代数问题；2 借助于图形、图表解代数问题；3借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4.借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的

2、、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具 有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能.要有效地获得知识，则需要 两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立 了解析几何，用代数方法统一处理几何问题.从而成为现代数学的先驱.几何问题代数化乃是数学的一 大进步.例题与求解: 2 2【例I】设y+2x+2+、；x 4x + 13，贝U y的最小值为 .（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼.y = . x 1 2 1 ； x - 2

3、2 9 =（x+1 了十（02 +p（x2 2+（0-3 2，于是问题转化为：在 x轴上求一点C（x , 0），使它到两点A （- 1, 1）和B（2, 3）的距离之和（即 CA+ CB）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三角形（）A .不存在B.至多1个C .有4个D .有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在； 若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数.1 1+AE BE解题思路：图形中含多个重要的基本图形, 别计算

4、出各个线段，利用代数法证明.（湖北省竞赛试题） 待证结论中的代数迹象十分明显可依据题设条件，分【例4】 当a在什么范围内取值时，方程x2 - 5x =a有且只有相异的两实数根?【例3】如图，在 ABC中，/ A= 90，/ B = 2/ C,Z B的平分线交 AC于D , AE丄BC于E,DF 丄 BC 于 F.求证：bd .df ae BF（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数y = x25x与函数y = a（a0）图象有且只有相异两个交点.作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围.三角形另两边上）的面积都相等，证明：【例5】 设厶ABC三边上的三个内接正方形（有两个

5、顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在 ABC为正三角形.（江苏省竞赛试题）解题思路：设 ABC三边长分别为a , b , c,对应边上的高分别为 ha, hb, hc , ABC的面积为S，则易得三个内接正方形边长分别为2S2Sa h/ b hb2丄，由题意得ah bh c hc,chc2S2S2S即abcL.则a, b , c适合方程ab c【例6】设正数x , y , z满足方程组x2 xy2乂 z23=9，求 xy 2yz - 3zx 的值.2zx x =16(俄罗斯中学生数学竞赛试题)能力训练1. 不查表可求得tan 150的值为.332. 如图，点 A, C都在函数y(X 0)的图

6、象上，点 B，D都在x轴上，且使得厶OAB，xBCD都是等边三角形，则点 D的坐标为 .(全国初中数学联赛试题)3. 平面直角坐标系上有点P( 1, 2)和点Q(4, 2)，取点 R(1 , m)，当m=时，PR +RQ有最小值4若a a0 , b0 x1), 与y轴交于C点，且Z BAC = Z BCO.(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D ( 2 , 0)为圆心O D，与y轴相切于点 0,过=抛物线上一点 E(X3 , t)(t 0, X3 v0)作x轴的平行线与O D交于F , G两点，与抛物线交于另一点 H .问是否存在实数t，使得EF + GH =(武汉市中考题)CF?如果

7、存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由.212. 已知正数 a , b , c, A, B, C 满足 a + A = b + B = c + C= k .求证：aB十 b C + cAv k .13. 如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG = 2, GF = 13 , FC = 1 , HI = 7,求DE .（美国数学邀请赛试题）14. 射线QN与等边 ABC的两边 AB，BC分别交于点 M，N，且AC/QN，AM = MB = 2cm, QM = 4cm.动点P从点Q出发，沿射线 QN以每秒1cm的速度向右移动，经过 t秒，以点P为圆心，3 cm为半径的圆与厶ABC的边相

8、切（切点在边上）请写出t可以取的一切值： （单位：秒）.AC第14题图15. 如图，已知 D 是厶 ABC 边 AC 上的一点，AD: DC = 2: 1,Z C= 45，/ ADB = 60 .求证：AB是厶BCD的外接圆的切线.（全国初中数学联赛试题）第15题图16. 如图，在 ABC中，作一条直线I / BC,且与AB、AC分别相交于 D , E两点，记 ABC, BED的1面积分别为S, K 求证：K 得b,3b4，要使a,b为整数，只有两种取法：若b=5 时,a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 时,a=6(或 b=6,a=8).1BE=X,DF =DA=2例 3 设 AB

9、=x，贝U BC=2x,AC= , 3x ,12x,BD . x.在RtAEB中求得.3. 3当a=0时,时，y=a与252a一时，y=a与y = x -5x图象有且只有相异二个交点25个不同交点，当y = x2 -5x图象有42s2s2s2s例5由abcL ，知正数a, b, c适合方程xL.当x = 时，有abcxx2 - Lx 20，故a,b,c是方程的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以a,b,c中的某两数必相同.设a = b若c T- a ,由得a-c = 2s1 - 1 = a - c ,则ac=2s=a ha,这样ZABC2 a 丿 ac就是以/ B为直角的直角三角形，b

10、a，矛盾，故a=c,得证.例 6，SAOB S.Boc S.AOC - S ABC ,.1ysin150 z y - xzsin120=14 3,2.32,322即1 y 11 y 13 z + xz =6/2 ,322,322化简得 xy 2yz 3zx =24. 3.能力训练1.2 一 .3提示：构造含15的RtAABC.2. 2,6,0提示:如图，分别过点 A,C作x轴的垂线，垂足分别OE=a, BF=b，则 AE= 3a , CF= . 3b，所以点 A,C 的坐标为a, 13a , 2a b, . 3b ./2i 3a =33,q l3b(2a +b )=3妁a i 3,点 D 坐标

11、为 2 6,0 .b = 6 -3.解得为E, F.设3. - 提示:当54. b乞x乞aR,P，Q三点在一条直线上时,PR+RQ有最小值.5. 36提示:由,则有ABOB.在OB上截取 OC=AB=x,又由AB =OA，则 OAB ABC,AB=AC=OC. BC AB6. C提示：由题所给的数据结合坐标系可得，A55是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以A55的横纵坐标都是14.7. A8. B 提示：由条件 a2 ab a = ab b2,即 b2 = a a c ,a 易证ABCDAC，得/ ABC=Z D+ / BAD=2 / D=2 / BAC.9. Da亠c，延长CB

12、至D，使BD =AB ,b10. C提示：设直角三角形的两条直角边长为a,bab,则aa2 b2 = k 1ab (a,b,k均为正2整数)，化简得(ka -4lkb -4)=8,丿八1,或kb 4 =84一 2,解得kb 4 = 4kf2 y =5,或丿a =3,或*A =12=4ik =1,a = 6,即有3组解.b =8211.(1) y=x -2x -1(2)过 D 作 DM 丄EH 于 M ，连结 DG,DM 二t,DG=D0 =$2, FG =2MG =2 2-t2.若 EF+GH=FG 成立，则 EH= 2FG.由 EF/x 轴，设H 为 X4 ,t ,又 E,H为抛物线上的两个

13、点,2 2.X3 2x3 -1 = t, x4 -2x4 - 1 = t,即 x3, x4 是方程x2 -2x -1 =t的两个不相等的实数根，.x3 x2,x3x4EH = x4 _x3 = ?(x3 +x4 2 4x3x4 = 2 J2 +t ,”. 2J2 + t = 2 *2%：2 - t2詈（舍去）212.a十A=b+B=c十C=k,可看作边长为k的正三角形，而从 k联想到边长为k的正方形的面积.如图,将aB+bC+cA看作边长分别为 a与B,b与C,c与A的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入 到边长为k的正方形中，显然 aB+bC+cAk2.13. AC=AG+GF +

14、FC=16，由 AH AI=AG AF，得 AH I(AH + 7) = 2X (2 + 13),解得 AH = 3,从而 HI = 7, BI = 6.设 BD= x, CE= y,则由圆幕定理得CE?CD = CF?CG 前，即BD?BE= BI?BH 霍6y）=6爲解得；匚胃啬.故 DE = 16（x+ y）=炯.14. t = 2或3wtw 7或t= 8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知/AMQ = 60, MN = 2 .当t= 2时，圆P与AB相切；当3 t 7时，点P到AC的距离为 3,圆P 与AC相切；当t= 8时，圆P与BC相切.15. 设 A

15、D = 2, DC = 1,作 BE丄 AC,交 AC 于 E.又设 ED = x,则 BE= . 3x,BE = EC= . 3x.又 1 + x= .3 x,Ax=,BE=-,AE = AD ED = 2 x=宁，AB2 = AE2+ BE2= () 2+ ()=6，而AD?AC = 6. AB = AD?AC.故由切割线定理逆定理知，AB是厶BCD的外接圆的切线.、卄 AD AE_ 一八.S abe AE. c-e. Sabde BD AB 一 AD .16. 设ab = AC = m(o、1). - S= AC= m， Saabe = m Saabc .又.s = ab = ab = 1 m,AB ACSa abc ACSa abe AB AB Sa bde= (1 m)? Saabe = m(1 m)? Saabc .即 K = (1 m)?mS,整理得 Sm Sm+ K= 0,由0 得 1KW； S.417分以下几种情况: 若此等腰三角形以 OA为一腰，且/ BAC为顶角，则AO = AG = 2 .设6 （ x,2x）,则 x2 +（ 2x 2） 2 =