2017-2018学年4-5排序不等式课后训练

1、精品资源3.3排序不等式课后训练一 千里之行始下1 .已知 a, b, ccr+,则 a2(a2bc) + b2( b2ac) + c2( c2ab)的正负情况是().a.大于零b .大于或等于零c.小于零d .小于或等于零2 .在abc4 / a,/b,/c所对的边依次为 a,b, c则aa立史二cc-.(填 a+ b+ c3f或y)3 .已知a, b, c都是正数，则二- +) + 之.b+c c+ a a+b222222z xx y y z4 .设 x, y, z c r ,求证： +- + 至 0.x+ yy+ zz+ x5 .设 a, b, c为某三角形三边长， 求证：a2( b+c

2、a) + b2( c+ab) + c2(a + bc) w3abc.a+ b+ c6 .设 a, b, c是正实数，求证：aabbcc (abc) 3 .a2 b2 c2a b c7 .设 a, b, c都是正头数，用排序不等式证明：11.b+c c+ a a+b 28 .设 a1,a, an；b1,b2, bn为任意两组实数，如果 aha2w,w an,且 bwbzw，& bn, 求证：a1bl + a2b2+ anbn %a1+ a2+ an n b1+ b2+ bn 当日不当之父当且仅当a1=a2 = ,= a nnn或b1=b2=,= bn时，等号成立.i百尺竽头更进r步22. 2 i

3、 22 i 22. 22a b .b c .c a . a.b .c设 a, b, c e r+,求证： a+ b+cw11w11.2c 2a 2b bc ca ab参考答案1 .答案：b解析：设 abc0,所以 a3b3c3,根据排序原理，得 a3x a+b3x b+c3x c a3b+b3c+c3a.又知 at) ac bc, a2 b2 c2,所以 a3b+ b3c+ c3aa2bc+ b2ca+c2ab.所以 a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab,即 a2(a2 bc) + b2( b2 ac) + c2(c2 ab) 0.2 .答案：解析：不妨设ab c,则有 除b c.由排

4、序不等式可得aa+ bb+ cc aa+ bb+ cc,3(aa+ bb+ cc) (a + b+ c)( a+ b+ c = (a + b +aa+ bb+ co ab+ bc+ ca, aa+ bb+ cc ao ba+ cb.将以上三个式子两边分别相加，得aa+ bb+ cc冗所以-.a+ b+ c333 .答案：32解析：设abc0,-111所以b+ c c+ a a+ b由排序原理，知欢迎下载a bc+ +b+ cc+ aa+ ba bc11b+ cc+ aa+ bb c a -+,b+ c c+ a b+a十 b+ cc+ abha+ ba b c 3+，得+-.b+ c c+ a

5、 a+ b 22222224 .证明：所证不等式等价于+-y+-x -x+-y+-x+y x+z y+z x+y y+z z+x不妨设xwywz, 则 x2 y2z2, x+ yx+ zbc0.易证 a(b+ c- a) b(c+a b) c( a + b- c).根据排序原理，得a2( b+ c-a) + b2(c+a b) +c2(a+ b-c)wax b(c+ab) + bx c(a+bc) +cx a(b+ c-a) bc0,则1g alg blg c,据排序不等式，有 alga+blgb + clgoblga+clgb+algc,alga+blgb + clgoclga+algb+b

6、lgc,且 alg a+blg b+clg c= alg a+blg b+clg c, 以上三式相加整理，得3(alg a+blg b+clg c) (a + b+ c)(lg a+lg b+lg c), 即 lg( aabbcc) a+ b+ c，lg (abc).3a+ b+ c故 aabbcc 一 (abc) 3 .7.证明:不妨设aibc,则a2 b2 c2,且11b+ c c+ a1a+ b由排序原理，得2. 22工+工+jb+ cc+ aa+ bb2+b+ cc+ a2, 2222, 2a1ble c a b+b+ cc+a a+b b+c c+a a+b两式相加得22. 22b+

7、cc+ aa+ bb+ cc+ a22a b ,*、.(*)a+ b又由柯西不等式得(1 b+1 c)2,c+a2 a+b因此，代入（*）式得2b+c c+ a a+ ba+ b+ c,因此，不等式得证.8 .证明：由题设 a1 a2, ab2+ a2b3+, a1 bs + a2 b4 +, a1b1+ a2b2+, 十a1 b1 + 32b2 +, + anbn+ anbn, a1b1+&b2+, +anbn+ anb1, a1b+a2 b2+, +anbn+ an1b+ anb2,anbn hbn+ a2b1 + , +anbn 1将上述n个式子相加，两边同除以 n2,得：2也+ a2b2+ + anbn a+ a2+ + an b+ b2+ + bn k 当且仅当a1 = a2 =, = an或b1=b2=,= bn时，等号成立.9 .证明：不妨设abc0,是 a2b2c2,应用排序不等式，得工 + b2x + c2x2wax工 + b2 x 1 + c2 xa2x1 + b2x l + c2xwa2x1 + b2x - + c2x1 a1.b以上两个同向不等式相加再除以2,a3b3c30, -1 , bc ca ab 22, 2 .22 .2a b b 十 c c a即得 a+ b+ c +.再由数组2c 2a 2b22. 2 22 22