2020届高三数学精准培优专练八平面向量(理科)教师版

1、2020届高三培优点八平面向量、平面向量的建系坐标化应用uuu uuir例1在 ABC中，BC 6, BC边上的高为2,则AB AC的最小值为【答案】5【解析】以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角的坐标系,则 B( 3,0)，C(3,0)，A(x,2)，uniuuuuuiuuu2即 AB( 3 x, 2)，AC(3 x,2)，ABAC(3 x)(3 x) 4 x25，故当x 0时，取得最小值为5，此时AB AC .A二、平面向量中三点共线问题例2：设a，b是两个不共线的单位向量，若c满足c (3 2 )a (212)b，且 |c 一，则当 |a b3最小时，在a与b

2、的夹角的余弦值为【答案】79uuuuuuuuir【解析】作OAa，OBb， OC c， c (3 2 )a (22)b，且 (3 2 ) (22)1，二 A,B,C 三点共线,uuu uur uuu/ a b OA OB BA,1，如图所示，当OC AB时,3又 a , b为单位向量，cos AOC 1,3即a与b的夹角的余弦值为2cos2 AOC 1三、平面向量与三角形的四心问题例3：已知A, B ,C是平面内不共线三点， O是厶ABC的外心，动点P满足uuu 1OP 3(1uuu)OAuuu(1 )OB(1uuu)OC( R)，则P的轨迹一定通过 ABC的()A .内心B .垂心C.外心D

3、 .重心【答案】【解析】UUU取AB边的中点M，则OAuuu uuuuOB 2OM ,uuu 由OP1uuu3(1 )OA (1 3uur可得3OPuuuu uuur2OM OCuuur 所以MP1 2 uuin丁MC(ULU)OBuuur(OC(1uuuuOM )UUT)0C)(uuuu3OMR),(1 2uuur)MC ,R)，即点P的轨迹为三角形中四、平面向量与三角函数结合例 4：已知向量 a (cos x sin x,sin x) , b ( cosf(x) a b ( R)的图象关于直线x n对称，其中(1)求函数f (x)的最小正周期;n(2) y f (x)的图象经过点 ，0 ，

4、求函数f(x)在区间4AB边上的中线，故选x sin x,2.3cos, 为常数，且0,3n上的取值范围.5X)，设函数【答案】（1）1 .2,2 2 .【解析】（1）由题意得,f(x)2 sin x2 cosx 2、3 sin x cos xcos23s in22sin(2 x 6直线xf （x）图象的一条对称轴, 2 n又n kn6(1,1)，Z），解得k】(k2 356，Z),即f（X）的最小正周期是(2 )T y f (x)图象过点n小4,0，0,即故 f (x)/ 0 x2si n(5x33nsin(3x 9n2si n(-6 2 n 2， n 5 nx -361，可得2sin n

5、2 ,42sin(5x J . 22. 2 ,363 n上的取值范围为故函数f (x)在0, 一5对点增分集训、选择题1.已知向量a (cosA. 12,sin )，其中B. 22,sin ),R，则|a |的最小值为（）C.5D. 3【答案】A【解析】/ a(cos- | a |. (cos2)2sin21 4cos454cos ,又R ,1 cos 1，即 | a | 的最小值为、541.2.在厶ABC中，G为 ABC的重心，过G作直线分别交直线ULUTxAB，uuuuAB, AC 于点 M , N，设 AMULT UUTxyAN yAC，则上L()x y1A. 3B .-3【答案】B【解

6、析】/ GABC的重心,uuuuUUUulutULUT/ AMxAB,ANyAC ,C.2ULUTAG1 TUT -AB1 UJU AC ,33UULT1 uuuu AM1 UULT AN ,AG3x3y1，解得丄x y又 G , M , N三点共线,1 13x 3y3若O为 ABC所在平面内一点，且满足UUU UUUT UUU UULT |OB OC | | OB OCUUT2OA|，则 ABC的形状为（A 等腰直角三角形B 直角三角形C.等腰三角形D .等边三角形【答案】B【解析】/UUU OBUULTOCUUUUUUCB , OBUUTOCUUU2OAUUUOBUUU OAUUTOCUU

7、UOAUUU ABUULTAC ,UUUUUUUULTUUUUULTUUUUUT原式化为|CB| ABAC |，即ABAC| ABAC |对角线构成平行四边形为矩形,（sin 20 ,cos20 ），若t是实数，且u a tb，则| u |的最小值 ABC为直角三角形.为（）A.2B . 1c. 1D .22【答案】C【解析】/ a(cos 25 ,sin 25 ) , b(sin 20 ,cos 20 ),4.已知向量 a (cos25 ,sin 25 ) , b u a tb (cos25tsin 20 ,sin 25 t cos20 ) | u | .(cos25 tsin 20 )2

8、(sin 25tcos20)2、1 t2 2tsin455.已知非零向量on2当t丄2时取等号.222uuuuiuruuuBCuuu uuuruub虚）0 且-ABACL 1|AB|AC |AB | |AC|2B 直角三角形，则 ABC为（uunuuirAB与AC满足(A 三边均不相等的三角形D .等边三角形C.等腰非等边三角形【答案】Duuuuuur【解析】/ （-ABL -ACC-） BC O： A的角平分线与BC垂直，即AB AC ,|AB| |AC|uuuuuA ABAC1 An，即 BC八n又 cosA -A -,|AB|AC|2，33故三角形为等边三角形.uuuruuuuuuuuu

9、uuur116.在 ABC 中，3ANNC ,P线段BN上的一点，且APmABnAC (m 0, n 0)，贝y-m n的最小值时，a （m, n）的模为（)A .乏B.5c.D.2466【答案】Cuuuruuuruuuuuuruuuuuuuuuruuuuuuuuir【解析】/ 3ANNC , AC4AN ,- APmABnAC , APmAB4nAN B,P,N 三点共线， m 4n 1,即 1 1 (丄!)(m 4n) 5 m 4n 9,m nm nnmm4n11当且仅当一，即nm -时取等号，nm631 1/ 1 21 2- a(；,；)，可得a（匚）3 6Y 366uuuuuu uuu

10、uiuruiuruuu7.在平面内有 ABC和点0 ,若AB(OA OB) AC(OCOA)0，则点O是厶ABC的（)A .重心B.垂心c.内心D.外心【答案】Duuu uuuuuuUULTUULTuuuuuuuuuuuuUULTUUUTuuu【解析】/ AB (OAOB)AC(OCOA)0,ABOBOA ,ACOCOA ,uuuuuu uuuuuuUULTUUUuuuUULT (OBOA) (OAOB)(OCOA)(OAOC)0 ,UUU2 即OAUUU2OBuuuUUIT2OC，可得OAUUUOBUUjrOC，故O是厶ABC的外心.8 O是平面上定点,UUUA,B,C是平面内不共线三点，动

11、点P满足0PUUUOAUUU(關|AB|UULT爲)，0,则P的轨迹一定通过 ABC 的(A .外心B .内心C.重心垂心【答案】【解析】UUU设(-UUTL)|AB|UUJT UUUAB为AB上的单位向量,UUTAC UUUUUULT(-UU4) AC为AC上的单位向量, ACUUU贝 y(-UUU-|AB|UJIT-UUL)的方向为I ACUULTBAC的角平分线 AD的方向,0,所以UUU(UUU|AB|UUITUUU 由OPUJUOAUJU(閹I AB|UUUTUULTAC、1 / ABACUUUT )与(UUTuuurI AC I I AB I IAC|）的万向相同,UUjrACUU

12、U-AU#)，可得 AP I AC |uuuUuur/ AB AC 、I UUUJUUU),AB| |AC9.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点PuuuUULTuuuuuuABAC满足OPOA(uuuUUUT),R ,则动点P一定通过 ABC的（)AB I cos BI AC IcosCA .内心B .外心c.重心D .垂心【答案】DuuuUULTuuuuuuUUU,ABAC【解析】/APOPOA(uuuUUUT),AB I cos BI AC I cosCUJUuuuUULT UULTUUU UULTABBCAC BCUULTuuu AP BC(uuu-UtUT)(

13、IBCIIBCI )0 ,AB IcosBI AC I cosC ABC的内心，故选B .所以点故P的轨迹一定是通过UUTP在AD上移动,10.在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC , CD的中点,uuuDE交AF于点H，记ABuura, BC b,uuuuuu可得APBC，即点P在BC边的高上，故点 P的轨迹经过 ABC的垂心.UULT则 AH ()4b24U24U24UB. - abC.abD .ab555555【答案】B【解析】如图,E, F分别是BCCD的中点，A,H,F三点共线,存在实数mUULT 使得AHUJUr mAFUUU m(ADUurDF)UUU m(BC1 UUU2A

14、B)UUU m UUUmBC 2ab， D,H,E三点共线，.存在实数,，且UurUuruuu使得AHADAELUUBCUUU 1 UUU(AB 2BC)(UJU2)bcUUU AB ,m2“ m34即，解得,m2551Uur 故AH4 UUU -BC52 uuuAB54b.11.如图，在厶ABC中,uur uju BF CF 1 ,uuu UUUD是BC的中点，E , F是AD上的两个三等分点，BACA 4 ,uuu uuu则BE CE的值是（）C. Luur BAuuu(b a, c) , CA(buuu ba, c) , BF (33c uuua,3) , CF3a,3)A. 4【答案】

15、C【解析】以D为原点，BC为x轴，BC的垂线为y轴，建立坐标系,b c2b 2c设 B( a,0) , C(a,O) , A(b,c)，则 F(?3), E(石，石),3 33 3uuuuuu 4b224c27即BECEa299812.已知旧O是厶ABC的外心，AB 2a,则的最小值为()A. 2B. 4【答案】A2uuiTuuuuuuAC -, aBAC 120，若 AOABAC ,C. 5D. 2-LuuuBE晋碍),uuu CEa，uuuuuuuuumm丁 BACA4 , BFCF1 , b22 ac24,丄22 c a1，解得a2, b2c2459988【解析】如图，以AC所在直线为x

16、轴，过点A作BC的垂线为y轴，建立直角坐标系,则 A。）, B（為）,C（|,。），uuu AB(a,、3a),UULT ACUULTuuuUUUTAOABAC ,12 aaa3a41/12-(Z-a33 a2求出两直线的交点坐标即圆心坐标2.3a3即2 （当且仅当)(-,0)a二、填空题13.设 0n，向量a【答案】【解析】又 cos0 , 2sina1 73 2y3a 3auurAO(a解得12a33a3a2(sin 2 ,cossin 2 coscos ,14. O是厶ABC所在平面上的一点,【答案】等腰uuu uuut uuu uur【解析】/ (OB OC) (OB OCcos即ta

17、nuuu 若(OBuuu2OA)1时,取等号）(cos ,1)，若a/ b，则tan12 .UUUTOC)uuu ULUT(OB OCuuu2OA) 0，则 ABC 是三角形.uuu uur uuu uuu uuur uuu (OB OC)(OB OA) (OC OA)uuuuuruuruuiruuuuuuuuir(OBOC)(ABAC)CB(AB AC)uuuuuruuruuiruuu2 uur 2(ABAC)(ABAC)|AB|I AC |0 ,UJU uuirIAB| |AC|. ABC为等腰三角形.15.设a b c 0 , c 2J3, a b与c的夹角为120，则ta (1 t)b

18、的最小值为 3【答案】2【解析】/ a b c 0 , a b c,ujuluuuur又 a b与c的夹角为120，可作OA a , OB b , OC c ,uur如图所示，令OD ta (1 t)b ,/ t (1 t) 1,. A, B,D 三点共线，uur由图可知当OD AB时，OD ta (1 t)b的值最小，c243, ta (11t)b的最小值为|c sin6016如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于的A, B一点，Q是线段AP上靠近A的三等uur uuu分点，且AQ ABuuu uuu4，贝y BQ BP的值为【答案】24【解析】如图，以O点为坐标原点， AB所在直

19、线为x轴，建立直角坐标系,则圆 O : x2 y29，设 P(3cos ,3sin ) , A( 3,0) , B(3,0),(5 cos )(3cos 3) 3sin Q是线段AP上靠近A的三等分点，UULTuuu即AQ(1cos,sin),AB(6,0),uuuruuu1AQAB4 , 6(1cos )4，解得cos3uuuuuu即BQBP(5cos,sin )(3cos3,3sin)umr i uuuAQ 3ap，解得 Q( 2 cos，sin )，22918cos 15 3cos 3sin118 18cos 18 18 ( -)24,3uuur uuu故BQ BP的值为24 .三、解答题17.已知向量 a (sin x,cos x)， b (sin x,sin x)， c ( 1,0).n(1 )若x，求向量a、c的夹角；3(2)求函数f (x) a b的图象的对称中心与对称轴.5n” 亠、 k n n 1k n 3 n【答案】(1); (2)对称中心：，一，k Z，对称轴：x, k Z .6 2 8 2 2 8【解析】(1)设向量a、c的夹角为. n .当 x 时，a(1,0) , cos.3:Ja c 2|a| |c| TT又 0n, .5 n即向量6a、c的夹角为(2)由题意得f (x)2a b sin xsinx cos x -,nn