2017-2018学年4-5二维形式的柯西不等式课后导练

1、精品资源3.1二维形式的柯西不等式课后导练基础达标1 已知 a,b,m,n e r+,且 m+n=1,设 t= jma + nb ,q= mja 十 n jb ,则()b.td.ta.tqc.tqc.p=qb.pd.p,qbc,贝u+ a.b.1a -b1c.d.a -b1a -b1-c1b-c a -c4a -c4的大小关系是（）-c1a -c4a -bb -cb。cbc, aua -c-b,a-c,b-c0.a-b b-c)(a-c)二(、工)2+(寸)21*1)2+(7)21(1 + 1) 2=4,11( +)(a- c) 4.a-b b-c114.a -b b。c a -c答案：b4用

2、柯西不等式证明（ab） 2(a+b) 即 2(a2+b2) (a+b) 2,两边同除以4,即得（ab）2w22,2a b250vx(a+ b) 2.证明:x+(1 -x)=1,+= x+(1-x)(+x 1 -xx 1 -x)(a+b) 2.综合应用a b6已知x,y,a,b 为正数，且a+b=10, 一 + =1,x+y的最小值为18,求a,b.x ya解析：,x+y=(x+y)( 十xb,)(ja +4b)y=a+b+2 ab =18,又 a+b=10,因此 a=2,b=8 或者 a=8,b=2.7x,y,a,b 6 r+,x 2+y2=1,a 2+b2=1,求证:|ax+by| (ax+

3、by) 2,|ax+by| 、(ac + bd)(ad + bc).证明:x 2y2=(a 2+b2)(c 2+d2) (ac+bd) 2, . .xyac+bd.又 x2y2=(a 2+b2)(d 2+c2) (ad+bc) 2, .xyad+bc. (2)x 得 x2y2 (ac+bd)(ad+bc),即xy .(ac bd)(ad bc).9设a,b c r+,且a+b=1,求证:(a+工)2+(b+1) 2 25 (用柯西不等式证明). a b 2证明：(1 2+12) (a+ 1)2+(b+ i)2 a b接(a+ )+(b+ 工)2a b=1+( 1 +1 )12a b=(1+ )

4、225( /ab 25.a b 2拓展探究10求使直线xcos。+ysin。=2和椭圆x2+3y2=6有公共点的0的取值范围(0w。w兀). 解析：由柯西不等式22=(xcos 0 +ysin 0 )2=(x - cos 0 + j3 y 1 sin 0)2 ,30) (x 2+3y2)(cos 2 0 +1 sin3=6cos2 0 +2sin 2 0 .、23 二因为0w。w兀，所以0w9w 或一 wewit.44a cos2 0 + b sin 2 0 , c.备选习题11ahe r ,且 acos 2 0 +bsin 2 0 c,求证：证明：a cos2 0 + b sin 2 9 =

5、4a cos 0 - cos 0 + vb sin。 sin 0 (cos2 日 +sin2 日)(acos2 日 +bsin2 日) & .12 已知 x,y c r,且 3x2+2y2w6,求证:|2x+y| (1+2n)2.、一 113 设 a c (0,),求证：(1+)(1 +2sintt证明：. a c(0,-),故 sin 21 a 丰 0,cos a 丰 0,sin2 a 0, 11由柯西不等式(1+ 2n )(1+ 2n )sin 二 cos 工(1 + nnsin - *cos -)22n=(1 +2)2 n -sin 2 1(1+2 n)2.14双曲线9x2-16y 2=r2(r0)与直线x+y=2有公共点，求r的取值范围解析：要使直线与曲线有公共点，由柯西不等式x2=(2-y) 2= ： 2 , r+( -) - 4y 2r,4122& ( + +)(r +16y )r 16,41、 c 2=(2 +) . 9x .r 16消去非零x,整理得由r0,那么0r( xox+yoy) 2.所以 xox+yoy=r；因为点 m(xo,yo)满足 xox+yoy=r2, 所以xox+yoy=r 2为要求的切线方程.16已知a2+b2=2,贝u asin 0 +bcos 0的