幂级数及其收敛性

1、power series 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性 1.1.定义定义 n n n xa 0 如下形式的函数项级数如下形式的函数项级数 n n n xxa)( 0 0 称为称为的的幂级数幂级数,. 为常数为常数其中其中 n a 的的幂级数幂级数. . 定义定义 )( 0 xx 称为称为x n n xxaxxaa)()( 0010 幂幂 级级 数数 2. .收敛半径和收敛域收敛半径和收敛域 2 0 1xxx n n , 1 时时当当 |x| , 1 时时当当 |x| 级数级数 ).1 , 1( 幂幂 级级 数数 级数的级数的收敛域收敛域 项部分和项部分和前前 n 12 1 n n xxxS

2、 x x n 1 1 ; 1 1 x 原原级级数数收收敛敛于于 .原级数发散原级数发散 证证0lim 0 n n n xa收敛收敛 0 0 )1( n n nx a 阿贝尔阿贝尔 (Abel)(挪威挪威) 18021829 n n nx a 0 n n nx a 0 |x|x| 0 定理定理1 1 （阿贝尔第一定理）（阿贝尔第一定理） )0( 00 xxx在在 |x|x| 0 处处在在 0 xx 则它在满足则它在满足 不等式不等式 绝对收敛绝对收敛; 发散发散. 收敛收敛, 发散发散, 如果级数如果级数 则它在满足不等式则它在满足不等式的一切的一切 x 处处 如果级数如果级数 的一切的一切 x

3、 处处 从而数列从而数列 0 n n xa有界有界, 即有常数即有常数 M 0, 使得使得) , 2 , 1 , 0( 0 nM|x|a n n |x|a n n n n n | x x |x|a 0 0 n | x x |M 0 , 1 0 时时当当 | x x |, | 0 0 收收敛敛等等比比级级数数 n n x x M , 0 收敛收敛 n n n |x|a 0 n n nx a即级数即级数 | x x x|a n n n n 0 0 |x|x| 0 ; )( 0 绝对收敛绝对收敛|x|x| 幂幂 级级 数数 , )2( 0 时时发发散散假假设设当当xx 由由 (1) 结论结论, 这与

4、所设矛盾这与所设矛盾. 使级数收敛使级数收敛,则级数则级数 时应收敛时应收敛, 0 xx 当当 但有一点但有一点 x1 适合适合|x|x 01 |x|x| 0 ) , 2 , 1 , 0( 0 nM|x|a n n O x 推论推论 n n nx a 1 也不是在整个数轴上都收敛也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确则必有一个完全确 幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛;, 时时当当R|x| , 时时当当R|x| 幂级数幂级数 发散发散. 幂级数幂级数, 时时与与当当RxRx 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散. . 幂幂 级级 数数 几何说明几何说明 R R 收敛区域收敛区域 发散区域发散区

5、域发散区域发散区域 如果幂级数如果幂级数 不是仅在不是仅在 x = 0 一点收敛一点收敛, 定的正数定的正数 R 存在存在, 它具有下列性质它具有下列性质: 正数正数 R 称为幂级数的称为幂级数的 规定规定 , R 问问: :如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? 称为幂级数的称为幂级数的 ),(RR 定义定义收敛半径收敛半径. . 收敛区间收敛区间. . 幂幂 级级 数数 (1) 幂级数只幂级数只在在 x = 0 处收敛处收敛, , 0 R 收敛区间收敛区间 ; 0 x (2) 幂级数对一切幂级数对一切 x 都都收敛收敛, 收敛区间收敛区间).,( 收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收

6、敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛域收敛域. 证证 , 0 n n n |x|a对级数对级数 |x|a |x|a n n n n n 1 1 lim |x| |a |a n n n 1 lim 且且 , 0 )1(时时当当 , 0 )2(时时当当 , )3(时时当当 ; 1 R; R . 0 R 定理定理2 2 n n nx a 0 设幂级数设幂级数的所有系数的所有系数0 n a n n n a a 1 lim ）或或 n n n |alim ( 幂幂 级级 数数 由正项级数的由正项级数的比值判别法比值判别法, , )0( lim )1( 1 存存在在如如果果 | a a | n n n ,

7、1 时时当当 |x| 0 n n nx a级数级数 , 1 时时当当 |x| 0n n n |x|a级级数数 0n n nx a |x| |a |a |x|a |x|a n n n n n n n n 1 1 1 limlim . 1 R 收敛半径收敛半径 幂幂 级级 数数 绝对收敛绝对收敛; 发散发散, 从而从而 发散发散. 比值判别法 比值判别法 则则 , 0 )2( 如如果果 , 0lim 1 1 |x|a |x|a n n n n n 0 n n n |x|a级级数数 0n n nx a; R , )3( 如如果果, 0 x则则 0 n n nx a级数级数 幂幂 级级 数数 收敛收敛

8、, 从而级数从而级数 绝对收敛绝对收敛. 收敛半径收敛半径 发散发散. 收敛半径收敛半径 |x| |a |a |x|a |x|a n n n n n n n n 1 1 1 limlim 则则 ,lim 1 1 |x|a |x|a n n n n n . 0 R 例例 求下列幂级数的求下列幂级数的收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域: 解解)1( n n n n n 2 1 )1(2 1 lim 1 . 2 R收敛半径收敛半径 1 )()2( n n nx 1 2 )!2( ) !( )3( n n x n nn n n n x n ) 2 1 ( 2 )1()4( 1 1 2 )1( n n n

9、 n x 2 1 | a a | n n n 1 lim )1(2 lim n n n 1 R 幂幂 级级 数数 , 2 时时当当 x ,2 时时当当 x , )1( 1 n n n 级数为级数为 , 1 1 n n 级数为级数为 收敛收敛. 调和调和级数级数, 发散发散. 收敛域为收敛域为 ).2 , 2 , , 0 R 1 )( )2( n n nx 解解 n n lim 1 2 )1( n n n n x n n n |a lim 幂幂 级级 数数 收敛域收敛域0收敛半径收敛半径 | a a | n n n 1 lim 1 2 )!2( ) !( )3( n n x n n )22)(1

10、2( )1( lim 2 nn n n )!2( ) !( !)1(2 ! )1( lim 2 2 n n n n n 4 1 . 4 R收收敛敛半半径径 解解 1 R 幂幂 级级 数数 级数为正项级数级数为正项级数 1 2 4 )!2( ) !( n n n n 因为因为, 1 12 22 1 n n u u n n 所以所以. 0lim n n u .4 )!2( ) !( 1 2 发散发散故级数故级数 n n n n 对应的数项级数也对应的数项级数也发散发散. 当当 x = 4 时时, , 4 时时当当 x ).4 , 4( 1 2 )!2( ) !( )3( n n x n n 故收敛

11、域为故收敛域为 幂幂 级级 数数 , 2 1 2 1 |x|t|)1 , 0( x n n n n x n ) 2 1 ( 2 )1()4( 1 , 0 时时当当 x, 1 1 n n 级数为级数为 , 1 时时当当 x, )1( 1 n n n 级数为级数为 发散发散; 收敛收敛. 故收敛域为故收敛域为 2 1 , 2 1 xt令令 n n n n t n 2 )1( 1 解解 还有别的方法吗还有别的方法吗 | a a |R n n n 1 lim n n n 2 1 lim (0,1. 即即亦即亦即时原级数时原级数收敛收敛. 幂幂 级级 数数 解解是是缺偶次幂缺偶次幂的幂级数的幂级数. )

12、( )( lim 1 xu xu n n n 例例 求函数项级数求函数项级数 的收敛域的收敛域. )!12( ) 1(ln 12 0 n x x n n n 去掉第一项去掉第一项, 12 32 | )!12( )!32( | lim n n n x n n x )32)(22( | lim 2 nn x n 所以所以,去掉第一项去掉第一项, 级数处处收敛级数处处收敛. 定义域为定义域为 0 因为第一项因为第一项 lnx 的的 所以所以, 原级数的原级数的收敛域收敛域是是 幂幂 级级 数数 , 0 x)., 0( 比值判别法比值判别法 例例 n n nx a 1 设幂级数设幂级数 n n nx

13、b 1 与与 的的收敛半径分别为收敛半径分别为 , 3 1 3 5 与与 则幂级数则幂级数 n nn n x b a 1 2 2 的的收敛半径为收敛半径为( ) 5)(A 3 5 )(B 3 1 )(C 5 1 )(D A 分析分析 2 2 n n n b a c 设设 1n n c c 2 1 2 1 2 2 n n n n a b b a 2 1 2 1 n n n n a a b b 5 3 5 3 2 2 幂幂 级级 数数 讨论幂级数讨论幂级数 的收敛域的收敛域. 13 )1( 2 0 1 n n n n x 解解 此级数是缺项的幂级数此级数是缺项的幂级数, 作变换作变换,令令, 2

14、xy 级数变为级数变为 13 )1( 0 1 n n n n y 它的收敛半径它的收敛半径 )13(1 )13(1 lim 1 n n n y R. 3 当当 y = 3时时, 级数为级数为, 13 3 )1( 0 1 n n n n 发散发散. 不满足定理不满足定理 2 的条件的条件. 幂幂 级级 数数 故故 y(0) 的幂级数收敛域为的幂级数收敛域为 因此因此, 原幂级数收敛域为原幂级数收敛域为 .33 x 收敛半径收敛半径 .3 R 即即 . 30 y , 30 2 x 幂幂 级级 数数 确定函数项级数确定函数项级数 的收敛域的收敛域. 1 )( n xn n n xn 解解 对任意固定

15、的对任意固定的x, xn n n n xn xu )( )( n x n n x n xu 1 1 )(0 即即 用用比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: )( lim xun n 而级数而级数 是是p = x的的p 级数级数, 1 1 n x n 所以所以, 当当n充分大时充分大时,有有 n n n x 1lim x e x n 1 发散发散.故级数的收敛域为故级数的收敛域为. 1 x ,),(充充分分大大时时当当任任意意nx 可视为可视为.正正项项级级数数 幂幂 级级 数数 时时1 x收敛收敛. 时时1 x .)3( 3 1 1 的收敛域的收敛域求幂级数求幂级数 n n n x n

16、解解,)3( 3 1 )( n n n x n xu 由由 n n n n n x n x n )3( 3 1 )3( 3)1( 1 lim 1 1 |3| )1(3 lim x n n n |3| 3 1 x , 1|3| 3 1 x令令)6 , 0( x即即 )( )( lim 1 xu xu n n n 得得 幂幂 级级 数数 内内在在开开区区间间)6 , 0()3( 3 1 1 n n n x n ,0时时当当 x ,6时时当当 x 的的收收敛敛域域为为因因而而 n n n x n )3( 3 1 1 ).6, 0 n n n 1 )1( 1 1 1 n n 幂幂 级级 数数 处处收敛

17、处处收敛. 收敛收敛 发散发散 1. 代数运算性质代数运算性质 (1) 加减法加减法 00n n n n n n xbxa,)( 0 n n nn xba 21, minRRR ),(RRx 00n n n n n n xbxa和和设设 幂幂 级级 数数 幂级数的性质幂级数的性质 的收敛半径各为的收敛半径各为R1和和R2 , (2) 乘法乘法 )()( 00 n n n n n n xbxa 0n n nx c),(RRx (其中其中) 0110 bababac nnnn (3) 除法除法 0 0 n n n n n n xb xa 0n n nx c )0( 0 n n nx b收收敛敛域域

18、内内 (相除后的收敛区间可能比原相除后的收敛区间可能比原 来两级数的收敛区间小得多来两级数的收敛区间小得多) 幂幂 级级 数数 2. .和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质 , 0 0 Rxa n n n 的收敛半径为的收敛半径为设幂级数设幂级数 幂幂 级级 数数 定理定理3（阿贝尔第二定理）（阿贝尔第二定理） ), 0( Rr 则则 . , 上一致收敛上一致收敛该幂级数在闭区间该幂级数在闭区间rr 内闭一致收敛内闭一致收敛 证证 ), 0(Rr , 0 绝对收敛绝对收敛级数级数 n n nr a. 0 收敛收敛即即 n n n|r |a , rrx 由由于于, n n n n |r|a|

19、x|a ,-M 判别法可知判别法可知从而由从而由 . , 0 上上一一致致收收敛敛在在rrxa n n n , 0 )1( 0 Rxa n n n 的的收收敛敛半半径径为为设设幂幂级级数数 . ),( )(内连续内连续在区间在区间RRxs 则其和函数则其和函数 的端点处收敛的端点处收敛, 则其和函数在该端点单侧连续则其和函数在该端点单侧连续. 幂幂 级级 数数 如果幂级数在收敛区间如果幂级数在收敛区间 证证 ),(RRx ),( R|x|r 取取).,(, RRrrx 则则 由由阿阿贝贝尔尔第第二二定定理理知知, , 0 上上一一致致收收敛敛在在rrxa n n n . , )( 处连续处连续

20、在在因而其和函数因而其和函数rrxxs 的任意性即知的任意性即知由由 ),( RRx . ),( )(内内连连续续在在RRxs , 0 )2( 0 Rxa n n n 的收敛半径为的收敛半径为设幂级数设幂级数 , ),( )(内可导内可导在区间在区间RRxs 则其和函数则其和函数 幂幂 级级 数数 ),( RRx 且且 )()( 0 n n n xaxs 1 1 n n n xna 0 )( n n n xa . R敛敛半半径径仍仍为为逐逐项项求求导导所所得得幂幂级级数数收收 幂幂 级级 数数 , 0 )3( 0 Rxa n n n 的收敛半径为的收敛半径为设幂级数设幂级数 , ),( )(内

21、可积内可积在区间在区间RRxs 则其和函数则其和函数 ),( RRx 且且 x n n n x xxaxxs 0 0 0 d)(d)( 0 1 1 n nn x n a 0 0 d)( n x n n xxa . R敛敛半半径径仍仍为为逐逐项项求求导导所所得得幂幂级级数数收收 解解 . 1 的的和和函函数数求求幂幂级级数数 n n n x (1) 求收敛域求收敛域 | a a |R n n n 1 lim )1(1 1 lim n/ /n n , 1 时时当当 x, 1 1 n n 级数为级数为发散发散; , 1 时时当当 x, )1( 1 n n n 级数为级数为 1 收敛收敛. 故级数的求

22、收敛域为故级数的求收敛域为 ).1 , 1 例例 幂幂 级级 数数 收敛半径收敛半径 )1ln()( xxs 即即 xxsd)( 1 )()( n n n x xs x 1 1 , 11 时时且且当当 x )(xs),1ln(x x x x 0 d 1 1 1 1 n n x ).11( x (2) 求求和函数和函数, )( 1 n n xs n x 的的和和函函数数为为设设幂幂级级数数 , 0)0( s, )1 , 1 )( 连续连续在在则则 xs 0 x )0( s 幂幂 级级 数数 从而从而 ,此外此外. 2ln)1ln(lim)1( 1 xs x . 11 ),1ln()( , xxx

23、s综综上上 )1ln()( xxs 即即 1 )( n n n x xs x n n xx 0 1 1d , 11 时时且且当当 x ),1ln(x x x x 0 d 1 1 1 0 1d n x n xx ).11( x ,此外此外 或者或者 , )( 1 n n xs n x 的的和和函函数数为为设设幂幂级级数数 , 0)0( s, )1 , 1 )( 连续连续在在则则 xs . 2ln)1ln(lim)1( 1 xs x 幂幂 级级 数数 . 11 ),1ln()( , xxxs综综上上 例例 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数. 1 1 2 1 n n n x n 解解 容易知道级数

24、的容易知道级数的收敛域收敛域 ).2 , 2 幂幂 级级 数数 设和函数为设和函数为 s(x), 即即 , 2 1 )( 1 1 n n n x n xs 则有则有 1 1 n n 2 1 1 2 1 x )( xxs 1 1 ) 2 ( n n x 2 1 x 2 1 )2 , 2 x )(xsx x n n n x n 1 2 1 1 1 2 1 n n n x n n x ) 2 ( )0(0)(sxxs x x 0 )2ln( x xxxs 0 d )(x x x d 2 1 0 )2ln(x ) 2 1ln( x 2ln 因此因此,).2 , 0()0 , 2 ), 2 1ln( 1

25、 )( x x x xs 此外此外, 显然有显然有. 2 1 )0( s综上综上, 0 , 2 1 )2 , 0()0 , 2 ), 2 1ln( 1 2 1 1 1 x x x x x n n n n 幂幂 级级 数数 x xxs 2 1 )( . 2)1( 1 2 2 的和的和求级数求级数 n n n 解解 2 2 2)1( 1 n n n , 1 1 )( 2 2 n n x n xs 可设可设1 R收收敛敛半半径径 n n x nn xs 1 1 1 1 2 1 )( 2 n n n 2 1 1 1 2 2 n n x nn 2 1 1 1 1 2 1 ,0时时当当 x 例例 幂幂 级

26、级 数数 1 2 1 1 2 1 n n x n x 1 2 1 1 2 1 n n x nx n x n x1 2 x 1 1 逐项求导逐项求导 ),1ln(x n x nx 1 2 1 1 n3 n n n x n xg 1 1 )(设设 1 1 )( n n xxg则则 积分积分0)0( g 得得)(xg)1ln(x 幂幂 级级 数数 xxggxg x d)()0()( 0 知知由由)1ln()(xxg 2 )( 1 2 3 x xxgx n n n 2 )1ln( 2 x xx )(xs代入代入 2 )1ln( 2 1 )1ln( 2 1 )( 2 x x x xxxs 得得 n x

27、n x1 2 n x nx 1 2 1 1 n3 n 得得令令, 2 1 x 2 1 2)1( 1 2 2 s n n n . 2ln 4 3 8 5 幂幂 级级 数数 解解 ).1 , 1( )1( 1 的收敛区间为的收敛区间为幂级数幂级数 n n xnn容易知道容易知道, ,)1()( 1 n n xnnxs 设设 例例 . 2 )1( 1 的和的和求求 n n nn 1 1 )1()( n n xnnxxs ). 2 1 ( 2 )1( 1 s nn n n 则则 幂幂 级级 数数 1 )1( n n xnx 1 1 )( n n xx)( 1 1 n n xx ) 1 ( 2 x x x x x x x 1 1 1 1 2 3 )1( 2 x x . 8) 2 1 ( 2 )1( , 1 s nn n n 因此因此 1 2 )1( )1( n n nn x 求求 的收敛域与和函数的收敛域与和函数. 提示提示 解解 令令 1 2 xy 11 2 )1()1( )1( n n n n nn y nn x , 1lim 1 n n n a a R 111 2 x 22 x 收敛域为收敛域为 1 y当当 时时, 1 )1( 1 n nn 收敛收敛, 1 y当当 时时, 1 )1(