数字图像处理第六讲图像复原

1、第六讲图像复原第六讲图像数字图像处理方峻 口对余下课程安排和考试的说明 48学时=32理论课+16实验课 32学时理论课：共11周，但因运动会和国庆放掉了两次，所以要上到第13周 13周最后一次理论课将总复习，讲解考点。 期末考试为闭卷考试。 16学时实验课：每次4学时，共4次。安排于1417周，星期五9-12节（7： 00开始），信软楼西306 大三同学务必要来，要点名。教务处要派老师查巡。大四同学不来要请假。#第六讲图像数字图像处理方峻 图像复原基本概念/图像退化与复原模型/图像复原基本原理噪声单独干扰下的图像滤波复原/噪声模型及参数估计/空间滤波器设计/自适应空间滤波器/周期性干扰频域滤

2、波器设计系统退化复原,线性系统退化函数的估计/逆滤波复原方法/最小均方误差滤波（维纳滤波）,约束最小二乘方滤波器图像复原基本概念图像复原的目的：针对质量降低或失真的图像， 试图恢复其原始的内容或质量散焦模糊运动模糊第六讲图像复原数字图像处理方峻图像复原与图像增强的区别 图像增强一enhancement is subjective/从主观视觉角度，改善图像质量/不会着重考虑引起图像质量下降的客观因素图像复原一restoration is objective/从造成图像质量下降的客观原因出发，改善图像质量/试图恢复图像原来的面貌图像的原始内容或质量黄good looking#第六讲图像复原图像增强

3、实例原始图像增强图像7第亦讲图像图像复原实例模糊图像数字图像处理方峻复原图像7第六讲图像数字图像处理方峻引起图像质量下降的客观因素 成象系统的象差、畸变、带宽有限等造成图像失真 几何失真：由成象器件拍摄姿态和扫描非线性引起 灰度失真：光学系统或成象传感器本身特性不均匀，造成 同样亮度景物成象灰度不同 运动模糊：成象传感器与被拍摄景物之间的相对运动，引 起所成图像的运动模糊 辐射失真：由于场景能量传输通道中的介质特性如大气湍 流效应、大气成分变化引起图像失真 噪声干扰：图像在成象、采集、数字化、处理和传输过程 中引入的噪声等针对上述客观因素，建立图像退化模型，是进行图像 复原处理的第一步15图像

4、退化与复原模型有效地获得退化系统”和噪声的模型，是成功进 行图像复原的关键第亦讲图像数字图像处理方峻19图像退化模型空域模型x(mj7)h(ni/7)yni, n)bhirnng lllter高斯模糊运动模糊图像退化画频域模型 nblurring filter高斯模糊运动模糊图像退化模型gaussian blurmotion blurdigital image processing第六讲图像数字图像处理方峻 口线性移不变图像退化模型考虑图像退化模型g(%y) = h/(x,y) + t (%, y) 其中”,是综合所有退化因素的函数假定噪声干扰为零，进一步考察上述模型/若hqa(x) + 2(

5、，y) = ah /i( )1+bh /2(5 y)则该系统为线性系统/若曰/(x 尸)= g(x %一尸)则该系统为位移不变系统/若同时满足此两个条件，则为线性移不变系统21第六讲图像数字图像处理方峻线性移不变图像退化模型连续函数退化模型,对线性移不变系统，假定噪声为加性噪声，可有连续函 数退化模型g(x,y)= j j f(a,/3)h(x - a,y- p)dad/3 + rf(x.y)00=/(%.)*(%,/)+(%/)/及其频域表示g(u,v)- h (4 v)厂(巩 v) + n(ti, v)/线性移不变退化图像的复原处理g（龙/）=从苍y）* /（龙/）+亚z） ng（#） 二

6、 h （/ v）尸（x,y）+n（龙）图像复原基本原理 根据退化原因，建立相应的数学模型，从被污染 或畸变的图像信号中提取所需要的信息沿着 使图像降质的逆过程恢复图像本来面貌 实际的复原过程相当于设计一个滤波器，使其能 从降质图像g(x,y)中计算得到真实图像的估值 使其根据预先规定的误差准则，最大程 度地接近真实图像 数学上，图像复原是一个求逆(反演)问题，逆 问题经常存在非唯一解，甚至无解。为了得到逆 问题的有用解，需要有先验知识以及对解的附加 约束条件25第六讲图像数字图像处理方峻 口图像复原基本原理（续） 引起图像退化的原因常常为非线性的。非线性的 以及与位置相关的退化处理技术，虽然可

7、得到更 加精确的结果，但在处理上将会非常困难并常常 可能无解。 对许多退化过程用线性系统近似不但可以方便求 解，而且可得到基本满意的结果 从线性系统角度，图像的退化可看作为原始图像 与退化函数的卷积，因此线性图像复原往往称之 为“图像去卷积”，所采用的滤波器称之为“去 卷积滤波器”#第六讲图像复原数字图像处理方峻图像复原基本概念/图像退化与复原模型/图像复原基本原理噪声单独干扰下的图像滤波复原/噪声模型及参数估计/空间滤波器设计/自适应空间滤波器/周期性干扰频域滤波器设计系统退化复原,线性系统退化函数的估计/逆滤波复原方法/最小均方误差滤波（维纳滤波）,约束最小二乘方滤波器噪声模型数字图像的噪

8、声主要来源于图像获取与传输过程白噪声(white noise)不管图像在该位 置存不存在，噪/白噪声的傅里叶频谱为常数/假定白噪声与空间坐标系相互独立,假定白噪声与图像像素之间相互独立周期性噪声 /噪声分布与空间坐标系相关/大多数周期性噪声可通过频域滤波基本消除29第六讲像复原数字图像处理方峻周期性噪声图像i,二：:图像频谱 a 1r冬 业：尸中雨q4新 .寸幽蛇卜,. am mb * .一系列亮点 表示正弦干 扰噪声的频 i谱芬亶31第亦讲图像周期性噪声数字图像处理方峻第六讲图像典型噪声模型噪声模型1:高斯噪声p(z)1 (*p() = r e 2，j2b_y/ttctz i2 2g - g

9、0.607v 277(t数字图像处理方峻#第六讲图像复原数字图像处理方峻噪声模型2:瑞利噪声(rayleigh noise )噪声模型3:爰尔兰（伽马）噪声-l p(z)= (b - 1)!0vb=一 a b第六讲图像数字图像处理方峻噪声模型4:指数噪声(exponential noise )当爱尔兰(伽马)噪声参数b = 1时即为指数噪声ae0 7 = j 0zqz 01=一 a噪声模型5:均匀分布噪声(uniform noise )2741 - 方o， a z botherwisep(z)b auniform3+ 2q-第六讲图像复原数字图像处理方峻噪声模型6:脉冲噪声/椒盐噪声(impu

10、lse /salt-and-pepper noise )在图像中引起黑、白点状的随机噪声(匕，z = q p(z)p(z) = pbfz = b pimpulse1 pa pb, others bpa#第六讲图像复原数字图像处理方峻几种典型噪声的叠加只有三 同灰度 级的图 像gaussianrayleighgamma第六讲图像数字图像处理方峻几种典型噪声的叠加（续）exponentialuniformsalt & pepper29第六讲图像数字图像处理方峻 口噪声参数的估计通过传感器特性进行估计/分析传感器成像器件特性（温度、光谱响应、电子电路 特性、）/使传感器针对均匀灰度图像成像从图像本身

11、进行估计/在图像中截取具有恒定灰度值区域进行计算., 对于gaussian, uniform, rayleigh, erlang, exponential 等 噪声，关键是得到其均值与方差二 zjp（z） 6z7-es= z（4）“匕）z.es直方图p（4） u出（72#第亦讲图像噪声参数的估计gaussian数字图像处理方峻uniform选取一块恒定 灰度区域便于 统计rayleigh第六讲图像复原数字图像处理方峻噪声单独干扰下的图像滤波复原基本原理当引起图像降质的唯一原因是噪声干扰时，退化 模型简化为：g（x,.）=力（x, y） * /（x, y）+ （尤,y） | 0 1（龙,加/（龙

12、/）+77（）g（m* h v）f（z/, v） + tv（z/ , v）g（u, v） = f（w,v）+7v（w,v）分析,精确的噪声函数4（%,y）一般很难得到/当为普通加性噪声时，通常选择空间滤波技术，与图像 增强中滤波机理完全一样/仅当噪声为周期性噪声时，可通过傅立叶分析g（小）得 到 n（% v）/结合噪声模型可建立一些特殊滤波器，其效果可优于在 图像增强中的常用方法35空间滤波器的设计均值滤波器/算术均值滤波器/几何均值滤波器平滑度与算术滤波器相当,（x,y） =图像细节丢失更少/谐波均值滤波器对“盐”噪声较好不适用于“胡椒”噪声善于处理高斯噪声fy)=1mn口加印）（x，）ws

13、灯mny j(x.s g(s)r第六讲图像复原数字图像处理方峻算术均值与 几何均值效 果对比原图加高斯噪声.1111qssh r it i n 二,111hil b,hihh.iui算术均值滤波器几何均值滤波器34第六讲图像复原数字图像处理方峻35空间滤波器的设计均值滤波器/逆谐波均值滤波器式中q称为滤波器的阶数zg（中广（3）es盯（*，4，qvo for salt。0 for pepper算术均值谐波均值第六讲图像复原逆谐波均值滤波器实例胡椒噪 声图像q = 1.5 滤除胡 椒噪声一三二奉j数字图像处理方峻盐粒噪声图像q = -1.5滤除盐粒噪声#第六讲图像复原数字图像处理方峻空间滤波器的

14、设计顺序统计滤波器：基于像素的顺序统计特性决定 其相应灰度值/ 中值滤波器/(x,y) = mediag,/)适用于多种噪声 史匹尤其对脉冲噪声效果显著/最大值滤波器 对胡椒噪声效果较好/最小值滤波器 对盐噪声效果较好/中点滤波器 对高斯和均匀分布噪声较好/(x,y)= max g(s/)/(x,j)= min k(s/)二s中,(3)=;(mj第六讲图像数字图像处理方峻平均滤波器和中值滤波器比较39salt-and-pepperavera eins filterjiii,瞅c=3rd media filter第六讲图像数字图像处理方峻 口空间滤波器设计顺序统计滤波器/修正阿尔法均值滤波器 1

15、/（%）=嬴五2（数邰砂分区七）3）一算术均值中值#数字图像处理方峻第六讲像复原一 hlijl均匀分布的噪声einmmrg均匀分布 的噪声+椒盐噪声算术均值滤波iiuwmq中值滤波几何均值 滤波nirnmrj aiuuu-3修正的阿 尔法均值 滤波d = 541第六讲图像数字图像处理方峻 口空间滤波器设计 固定滤波器缺陷/固定滤波器未考虑图像的局部特性，难以达到更好效果/为提高滤波性能，固定滤波器日益复杂，但适用面却日 益缩小/滤波器窗口越大，图像细节丢失越严重，通常须在保存 图像细节与噪声滤除之间寻求某种折衷 自适应滤波器/结合图像的局部特性自动修改滤波器参数或滤波策略。,良好设计的自适应滤

16、波器其性能要优于所有固定滤波器, 而滤波器结构可能更为简单。第六讲图像数字图像处理方峻 口空间自适应滤波器 局部噪声自适应滤波器/以局部区域随机变量的统计特性(均值、方差) 为基础/设g(x,y) =+具有整体噪声方差而；在扃部区域s町(为g(x,y)的子集)，像素点 具有局部均值皿和方差12/可有自适应滤波器：act2fg y) = g(x, y) - -1ai第六讲图像数字图像处理方峻 口空间自适应滤波器该自适应滤波器基于如下的设想：/如果噪声方差为零（而=0）,则表明没有噪 声，/如果局部方差显著高于噪声方差（若忧）， 表明该局部图像信息多于噪声，可能存在较多 的边沿或细节，应与可能保留

17、，则返回一个 g（%,y）的近似值（q） x g（x, y）/如果局部方差与噪声方差近似相等（而。d ）, 表明该区域噪声毛扰严重，返回局部区域像素 的算术平均值（f（x,y）右叫）。45不具有零均值和方 、-八差为1。的加性 第高斯噪声的图像几何均值滤 波结果像复原数字图像处理方峻算术均值滤 波结果自适应滤波 结果4549空间自适应滤波器自适应中值滤波器设:灰度级的最小值鼠中灰度级的最大值213=鼠.中灰度级的中值9,=在.中中心化坐标(x,y)处的像素值55=%允许的最大尺寸 *空间自适应滤波器自适应中值滤波器可有算法a层:n zmed min/2 zmed zmax如果：al 0且a2

18、0，转到b层否则：增大窗口尺寸 如果窗口尺寸 0且b2 0,输出zvv v v | /否则：输出2med第六讲图像数字图像处理方峻 口空间自适应滤波器自适应中值滤波器一算法讨论/目标：滤出椒盐噪声；平滑其他非椒盐噪声； 减少物体边界失真/设想：zmax, z向九可粗略认为相当于椒盐噪声 的噪声成分/算法思路：(1)首先检测中值zmed是否为噪声脉冲(2)若不是，进一步判断中心像素z町是否为噪声脉冲，若不是，直接输出该点；若是，输出中值(3)若中值为噪声脉冲，则增大窗口尺寸，直至在 允许的范围内找到非噪声脉冲中值；否则输出中心像素自适应中值滤波器实例g31汨网.1111.麻_;i* 建受椒盐噪声

19、污染的图像7x7中值滤波max = 7自适应滤波第六讲图像复原数字图像处理方峻周期性噪声的频域滤波带阻滤波器/理想带阻滤波器1 z)(w,v)2,m =li -fll 一imyf -0 一/(n+ v-vo21/2、2z2+z，0 + vo1/2数字图像处理方峻h （出 v）uv55第六讲图像复原数字图像处理方峻周期性噪声的频域滤波57三种典型的陷波（带阻）滤波器v理想陷波滤波器高斯陷波滤波器巴特沃斯陷波滤波器第六讲图像陷波带通滤波器陷波带通滤波器产 陷波带阻滤波器滤除噪声 生空间噪声图像hnr(uf v) = 1 hnpq”)第六讲图像数字图像处理方峻图像复原基本概念/图像退化与复原模型/图

20、像复原基本原理噪声单独干扰下的图像滤波复原/噪声模型及参数估计/空间滤波器设计/自适应空间滤波器/周期性干扰频域滤波器设计系统退化复原,线性系统退化函数的估计/逆滤波复原方法/最小均方误差滤波（维纳滤波）,约束最小二乘方滤波器/匀速运动模糊图像的复原59第六讲图像数字图像处理方峻 口系统退化复原 假定退化图像中噪声干扰为零，退化模型变为g（x j）=/（k）+ 旅 v）0 g（x y）二（工）* /（匕 v）g（m =+n（ii, v） = g（4 v） = h（u.v）f（ti,v） 退化函数”(% u)的估计，是进行系统退化复原的 关键一步，对”的估计过程常称为“系统辨识过程” 常用方法为

21、：/观察法/实验法/数学建模法第六讲图像数字图像处理方峻 口图像观察估计法 通过图像自身结构信息进行估计/选择图像中具有强信号与强特征的局部区域图像 生（居为，设法构建一个具有相同大小与特征、但没有 退化的近似图像人招y）,可有忆（#）=*氏（#）/从这一函数出发，基于位移不变性，进一步假设”（%切 的数学表达形式，构建”（凡切，使其与4（%切具有基 本相同的形状。618(x, y)9 (% y)第六讲图像数字图像处理方峻 口试验估计法 使用或设计一个与图像退化过程相似的装置(过程)，使 其对一个脉冲(冲激函数)成像，可得到退化系统的冲激 响应g (x, y) = a8(xfy) * h(xf

22、 y) 傅立叶变换后得到估计式hq,切=竽，g(,v)为观 察图像(冲激响应)的傅里叶变换62第六讲图像复原数字图像处理方峻模型估计法从引起图像退化的基本原理进行推导，进而对原 始图像进行模拟，在模拟过程中调整模型参数以 获得尽可能精确的退化模型/ 例：大气湍流模型(hufnagel and stanley)5h(uf v) = e其中k衡量湍流强度第六讲图像复原大气湍流模型的说明油）可忽略的湍流b）剧烈湍流k=o.0o25c）中等湍流k=0.001d）轻微湍流k=0.00025数字图像处理方峻第六讲图像数字图像处理方峻 口匀速运动模糊图像的复原 在获取图像过程中，由于景物和摄像机之间的相 对

23、运动，往往造成图像的模糊 设图像f(x,y)有一个平面运动，令%o(t)和y()(t)分 别为在存口y方向上运动的变化分量，表示运动的 时间，t表示照相机的快门按下时间(曝光时间) 模拟目标物与摄像机之间相对运动造成图像模糊 的模型：0(右刃=fx-xg(ity-y0(tdt其中g(心y)为模糊后的图像65第六讲图像数字图像处理方峻匀速运动模糊图像的数学模型对模型表达式两边进行傅立叶变换cocog(m#)= j8已.工一两加+加也盯sfj-汽e-e，）dxdy67其中=.（巩 v）j 2眄。（。皿，=ug）f（u,v） 0h（，v）=cxp/2lmxo + vj力匀速运动模糊图像的数学模型若只

24、沿水平方向做匀速直线运动t/若图像总的运动位移量为。，总的运动时间为t, 则运动的速率为匕=。/7，水平方向位移量函数 为 oo = at/t/ 可有： v) - exp- jmxo 0 dt=fc atexp - j2m/ dtsin( 7nlei )e 7划mia第六讲图像数字图像处理方峻 口匀速运动模糊图像的数学模型若同时沿水平和垂直两方向做匀速直线运动,水平方向的位移量函数为%()=qt/t,垂直方向的位 移量函数为=bt/t,则退化函数为：th（u.4=-sin77（z + 帅）峻加（皿+仍）mua + vb）a=b=0.lt=1#第六讲图像数字图像处理方峻 匀速运动模糊图像的复原实

25、例 匀速运动模糊图像的复原实例(a)(d)(a)模糊图(b)取移动距离为32(c)取移动距离为2j(d)取移动距离为40根据hq, v)=t7iuasin(nua)ej7rua 逆滤波（反卷积）复原方法由退化模型g（尤/）=%（%/） */（%）guv)= h(u, v)f(w?v) 若已知退化函数”q,u）,则复原过程为f（u,v） = g（u.v）/h（u,v） = /（） 此方法又称为全滤波。 实验证明，当退化图像的噪声较小，即轻度降质 时，采用逆滤波复原的方法可以获得较好的结果71数字图像处理方峻逆滤波实例（无噪声）模糊无噪声图像第六讲图像数字图像处理方峻 口逆滤波复原方法一伪逆滤波巅

26、逆滤波(全滤波)复原的病态问题/由尸(,)=g(,)/(,)，在等于零或非常小 的数值点上，fq”)将变成无穷大或非常大的数。/进一步考虑噪声影响：fq,切二产-产由于噪声分布在很宽的频率空间，即使数值很小也会因 为“(以 17)的病态使得上式第二项变得很大，大大增强了 噪声影响。75逆滤波复原方法一伪逆滤波复原进一步考察复原模型会(z/#)二 gq#)r(zf)= xq)wq) hg2)nq#)=为菽3、一可能在很高的频率时趋于零第六讲图像数字图像处理方峻 口逆滤波复原方法一伪逆滤波巅改进方法1:“对，(,)规定一个门限值“i/、 一- |h(,v)|5h (#) = h(u,v)0|h(,

27、v)区 5第亦讲图像数字图像处理方峻口伪逆滤波实例数字图像处理方峻口伪逆滤波实例工原始图像 逆滤波复原模糊及加噪声图像 伪逆滤波复原第六讲图像数字图像处理方峻 口逆滤波复原方法一伪逆滤波巅改进方法2：“施加圆形范围限制（半径受限的伪逆滤波）/对大气湍流，有退化函数h(% v) =e/d/2-2产产 6#第六讲图像复原大气湍流复原实例4）全滤波结果b）截止半径40滤波结果 c）截止半径70滤波结果u）截止半径85滤波结果数字图像处理方峻第六讲图像数字图像处理方峻 口最小均方误差滤波(维纳滤波)假定图像f(x,y)和噪声均为随机信号，且相互之 间互不相关目标：寻求最佳复原图像，使得均方误差 =/为

28、最小退化函数设 h(ii, v)退化函数的复共朝h (z/,v)|2 =(it, v)(w , v) = e |jv (w , v)|2 噪声功率谱s f (ii ,v) = e |f (z/, v ) |2 未退化图像功率谱oo第六讲图像数字图像处理方峻 口最小均方误差滤波(维纳滤波)推导过程为c=用|_%闻 2二后忸(*)_/曲3#)6(尸)|二 e 忻,洲 卜 hwin (u, v) - (f*(ii, v)g(ii, v)j-瓦色.网下(,师* (#) +瓦加味卬g(,y)= sf(ii,v) + 风加(m,v)|2 . (|w；v)|2 - sf (w,v) + sn(u, v)-v

29、)- sf (u,v)- h；mc) h* (, v)- s/ (，v)set dc/dh . (w7v) = 0 =h(z)=h (u,v)sf(u.v)帜(#) sf(u,v) + sn (w,v)81第六讲图像复原数字图像处理方峻最小均方误差滤波（维纳滤波）g(x v)h(um维纳滤波结果为回(#)+ s (#) / sf (/ v)维纳滤波器讨论/维纳滤波为均方误差最小意义下的最佳滤波，可 使具有噪声干扰图像的客观复原性能达到最佳/维纳滤波器建立在最小化统计准则基础上，只是 在平均意义上最优/维纳滤波器假定图像与噪声均为平稳随机过程， 若在平稳性方面图像与噪声实际随机特性差距较 大时，

30、维纳滤波器难以得到最佳结果83第六讲图像数字图像处理方峻 口最小均方误差滤波（维纳滤波）维纳滤波讨论（续）/维纳滤波需大量先验知识，实用中常常难以进行/尤其是噪声功率谱多、未退化图像功率谱很难获取/ 一种简化实现方法：绕开求取s与的具体值自（井）(#) =门(”)园3#)g(/)向(#)+ (*)/s/(#)| hv), g(j)= s*/3) jn(/)二 noise _ power“(凡 v)sf (ji,v) | f(, v) |2 image _ power/通过在滤波过程中调节k值以得到准最佳结果/若进一步假设噪声为零k = 0,则维纳滤波器退化为逆 滤波器第六讲图像数字图像处理方峻

31、 口逆滤波、伪逆滤波与维纳滤波实例比较全滤波结果 半径受限滤波结果 维纳滤波结果85模糊加噪声图像逆滤波结果维纳滤波结果不同噪声干扰下运动模糊图像的复原85第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器问题的提出/已知系统退化函数”的条件下，系统退化复原的 逆滤波函数理论上为1/”，但存在病态解和对 噪声的高度敏感/维纳滤波实现了噪声干扰条件下均方意义上的 最佳滤波，但需要大量先验知识，尤其是要获 得噪声功率谱和未退化图像功率谱的困难。田(/)不丁第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器约束最小二乘方滤波器推导中所用的向量化表示/对退化模型表示为矩阵形式9 (x, y)= /i(

32、x,y) * f (x,y) + t (%, y) = g = hf + 1/式中g为mn xl维向量，是mxn图像矩阵g(%,y)一维化的结果；/、与g类似构成；h为mn x mn矩阵/这里用的是矩阵乘法，不是点乘。87第六讲图像复原数字图像处理方峻约束最小二乘方滤波器约束最小二乘方滤波器的优化目标函数/维纳滤波的优化目标函数是使得均方误差二 e(/-力最小化。那么约束最小二乘方滤波器目标 函数又是什么？/理论基础是反演(反卷积)中的正则化方法。/在没有退化系统h先验知识的情况下，通过模型估计方 法由g求/,可归结为一种病态的反演计算，面临反演的 不稳定性和多解性的问题。/对于这类不确定性问

33、题的解决，正则化理论以某种途径 提供了有效的方法。/其原理是：定义一个稳定算子或平滑算子q,对/施加某种线性运算q,并将q(7)的模或某种范数设为判别函 数。#第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器约束最小二乘方滤波器的优化目标函数/ 一种连续形式为：0000c = iiq(f)l|2 = / (q(/q,y)2d%dyx= 00 y= oo/离散形式为：m-ln-1c = qcn2 = y yq(f(x,y2x=0 y=0/其中ii |2为向量2-范数,定义为：|w|2 = wtw = 队1鹿第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器约束最小二乘方滤波器的优化目标函数/观

34、察m-l n-1c = iiqcn/二 w wq（/y）kx=0 y=0/通过q的引入，q（/）描述了/在全部定义区域内的平滑 程度:其值越小，/越平滑。/物理意义为：由于/为理想物理信号，与噪声比较，它 应是一个变化相对缓慢的连续函数，因此定义的平滑度 量也应趋向于较小。第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器约束最小二乘方滤波的约束条件/根据反演理论，由于h的病态问题，满足上式的解，可 能不止一个。对此需施加一定的约束条件，以便从众多 的/中选择最佳的一个作为问题的最佳解。/对退化图像g的复原处理得到图像。其结果若满足g =+表明得到完全的复原。若处理结果使上式不成立，表明该项处

35、理有奇异点，尤其在有噪声存在 时。/由约束条件，进一步将上式写为g -二少 为了方便求解对上式采用向量2-范数表示为|g-h二 llll2 = |g 一 |理二 o/这一条件可作为求取最佳滤波的约束条件第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器约束最小二乘复原解的推导带约束的最小化 问题/最小化判别函数: min （设（加2）/约束条件：|g h |理二0/利用拉格朗日乘数法求解带约束的最小化问题，问题可 归结为最小化如下目标函数：必力=）+乂以-明2-忖）式中4为拉格朗日因数91第六讲图像复原数字图像处理方峻约束最小二乘方滤波器问题(续)约束最小二乘复原解的推导带约束的最小化q若为线

36、性算子,/令(7)对/循j导数为岂用矩阵表示 j勺尹二 2qtqf - 2ahg - hf) = 0/解出/，可得约束最小二乘复原解的通用方程式的空间 域表达形式：f=hth + yqtqy1htg式中y二1/a,作为使约束条件|g - h二|理成立 的常数约束最小二乘方滤波器约束最小二乘复原解的推导带约束的最小化 问题(续)/除了空间域表达式，更常见的为频率域表达式：fq)=|q,u)|2+y|qq2)|2gq”)/其中q(”)为稳定算子或平滑算子q的傅立叶变换/在约束最小二乘复原解通用方程式基础上，通过选择不 同的q算子，可得到不同类型的复原滤波器93第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小

37、二乘方滤波器在约束最小二乘复原解通用方程式基础上，通过 选择不同的q,可得到不同类型的复原滤波器 (1)伪逆滤波器/令q=/, i表示mn x mn单位矩阵，可有：/二hth +以)1“(空间域表示)/以及频率域表示八*(/)fqg二丽留访gq,u)/则推出伪逆滤波器/令y = 0,则上式成为标准的逆滤波器#第六讲图像复原数字图像处理方峻约束最小二乘方滤波器 (2)参数化的维纳滤波器/将八视为随机矢量，令a/ = e/t, rrj = ertt 1 1分别为信号和噪声的协方差矩阵。当q二牖4时，可 有：f = (* +/上式称之为参数化维纳滤波器，其中y为可调节参数/令y=l,则上式成为经典维纳滤波器：尸(7/#)=+s( #)/3/(#)g()h(u”)95第六讲图像数字图像处理方峻 口约束最小二乘方滤波器 (3)平滑约束滤波器,对一幅带噪声模糊图像的逆滤波复原处理往往会放大噪 声，产生预料之外的结果；/解决方法之一是选择适当的平滑算子q,对复原图像 施加一定程度的光滑性约束；/由该算子可从通用方程式中导出一个光滑的、去模糊的、 无噪声的复原