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文档简介
1、2020届高三理科数学总复习突破性训练-导数及其应用一、选择题1. 若 f(X。)一3,则 lim f(Xo hf(x3h)二()A. -3B. -6 C. -9D. -12【答案】D【解析】Hm f(Xo h)-f(X0-3h) =4血x。h) - x。-3h)=厶 f七MPhMP4h2. 曲线f (x) = x3 + x- 2在pp处的切线平行于直线y二4x- 1 ,则p。点的坐标为( )A. (1,P)B. (2,8)C. (1,0)和(-1,-4)D . (2,8)和(-1,7)【答案】C【解析】设切点为 P0(a,b) , f(x) =3x2 1,k = f(a) =3a2 1 =4
2、,a 二 1 ,把 a = -1,代入到 f (x)= x3 + x- 2 得 b = -4 ;把 a =1,代入到 f (x) = x3 + x- 2 得 b=0 ,所以 Pp(1,0)和(-1,-4)3. f (x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f(x) = g(x),则f(x)与g(x)满足()A.f(x) =g(x)B. f(x)-g(x)为常数函数C.f (x) =g(x) =0D . f(x) g(x)为常数函数【答案】B【解析】f (x) , g(x)的常数项可以任意4 .函数y = log 3 cos2 x的导函数是()A. -2ta nxlog
3、3eB. 2cotxlog3e C. -2log3cosx【答案】A5已知曲线y= In x的切线过原点,则此切线的斜率为()A. eB. -eD.ge2 cos xC.1【答案】C【解析】y= ln x的定义域为(0,+:),设切点为(xo, yo),则k=fx(=,二切Xo1线方程为y yo =(x xo),又切线过点(0,0),代入切线方程得yo= 1,则xo= e, - k= f x( = = 1.Xoex16.已知曲线y二- 3ln x的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为(421A. 3B. 2C.1 D.2【答案】A【解析】设切点的横坐标为 xo,yo2:曲线y讣沁的一条切线斜率
4、为 xo 31-y 解得Xo =3或Xo=-2(舍去),即切点的横坐标为3.故选A.2 xo 27.已知函数f(x) = -x3 axx-1在(一:)上是单调函数,则实数a的取值范 围是()A. 3/-) B.3C ( -后)u&3,p)d .(-V3,V3)【答案】B【解析】f(x) 3x2 2ax-仁o在(:)恒成立,.:=4a -12_0= -、3_a_ .38.对于R上可导的任意函数f (x),若满足(x 1)f(x) _0 ,则必有()A .f(0) f (2) 2f (1)B.f (0)f(2)岂2f (1)C.f (0) f (2)_2f(1)D.f(0)f(2)2f(1)【答案
5、】C【解析】当x1时,f(x)K0,函数f(x)在(1,址)上是增函数;当xc1时,f(x)乞0 , f (x)在(-:,1)上是减函数,故f (x)当x = 1时取得最小值,即有 f(0) 一 f(1), f (2) 一 f(1),得 f(0) f(2) _2f (1)9已知曲线y=aex,xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则A. a 二 e,b =-1B. a=e, b=1C. a 二e,b =1D . a 二 e, b - -1【答案】D【解析】t y二aex ln x 1,切线的斜率 k 二 yLm二ae,1 =2,. a=e,将(1,1)代入 y =2x b,得 2
6、 b =1,b1.故选D.10.设函数f(x) =x(a -1)x2 ax.若f(x)为奇函数,则曲线y二f(x)在点(0,0)9y - -x处的切线方程为A . y - -2xC. y =2x【答案】D【解析】因为函数是奇函数,所以,解得,所以所以所以曲线在点处的切线方程为,化简可得故选D.11若x =-2是函数f (x (x2 ax -1)exJ的极值点,贝U f (x)的极小值为A. -1B. -2eC. 5e-D. 1【答案】A【解析】由题可得 f (x) =(2x a)ex - (x2 ax -1)exJ =x2 (a - 2)x a -1exJ , 因为 f (-2) =0 ,所以
7、 a = -1 , f (x) = (x2 - x -1)eX,故 f (x) = (x2 x - 2)exJ , 令 f (x) . 0 ,解得 x : -2或 x 1 ,所以f (x)在(-:,-2),(1, :)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f (x)的极小值为f (1) =(1 -1 -1)=-1.x .x e -e12.函数f x 2的图像大致为【答案】B【解析】7 x = 0, f -x二-xxe -ef x , f x为奇函数,舍去A;/ f 1 =e-e0,二舍去 D;ex e x2 - ex -e 2x _ x -2 ex x 2 ex4x3 x 2 时,f x
8、0, f(x)单调递增,舍去C.因此选B.13.已知函数f(x) =x2 -2x a(exJ e 1)有唯一零点,则a=C.【答案】C1 严-1X _1 一x J ye e【解析】函数f (x)的零点满足x2 -2x - -a exJ e1 ,设g x =exJ - e 1,则 g x =exJ=exJ当g x =0时,X =1 ;当x ::1时,g x : 0,函数g x单调递减;当x 1时,g x 0,函数g x单调递增,当x =1时,函数g x取得最小值,为g 1 =2.设h x =x2-2x,当x=1时,函数h x取得最小值,为-1,若-a 0,函数h x与函数-ag x没有交点;若-
9、a : 0,当-ag 1i; = h 1时,函数h x和-ag x有一个交点,1即-a 2 = -1,解得a.故选C.214.若f(x) 3f (-x) =x3 2x 1对xR恒成立,则曲线y = f x在点1,f 1处 的切线方程为A.5x 2y -5 =0B. 10x 4y-5=0C.5x 4y = 0D . 20x -4y -15 二 0【答案】B【解析】f x 3f -x=x3 2x 1 ,f -x 3f xix3-2x 1 ,11 3联立,解得 f X = - 一 x3 -x -,则 f x = - 一 x2 T,2 42f 1- 一1 一11 二24f 1 = 一? 一仁 一52
10、215.函数2f(x)二x In x的最小值为C.2e2e【答案】【解析】由题得 x (0, :), f (x) =2xlnx x = x(2ln x 1),令 2In x 1 = 0,解得 x 二 e 2,则当(0,e)时,f(x)为减函数,当x (e2:)时,f(x)为增函数,所以x=e2处的函数值为最小值,且f(e 2)2e切线方程为:55y 才乃 X-1,即 10x 0.故选C.16.已知定义在上的函数满足,且,则的解集是C.【答案】A【解析】令上单调递减,且 等价为,即 x -:时,h(x)与 h(x)_0矛盾 当a 1 0时,h (x)0 = x In(a 1), h (x) :
11、0 = x : In(a 1)得:当 x = ln(a 1)时,h(x)min =(a 1) - (a 1)ln( a 1)-b 一02 2(a 1)b 乞(a 1) -(a 1) In(a - 1)(a10)令 F (x) = x2 - x2 In x(x 0);则 F (x)二 x(1 - 2ln x)F (x) 00 x : , e, F (x) - 0 = x - e当 Xi:时,F(X)max 当a-eJb二亍时,(a 1)b的最大值为j.4. 已知函数(1)若函数若上单调递减,求实数 的取值范围; 的最大值.【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意知,21上恒成立,所以-在上恒成
12、立.-,则所以上单调递增,所以所以时,,则所以上单调递减.由于,所以存在满足,即所以时,;当时,上单调递增,在上单调递减.所以因为,所以所以 所以5.已知函数f (x)二 si nx T n(1 x), f (x)为 f(x)的导数.证明:(1) f (x)在区间(-1,-)存在唯一极大值点;(2) f (x)有且仅有2个零点.【答案】(1)见解析;(2)见解析.1 1【解析】(1)设 g (x)二 f (x),贝U g (x)二 cosx , g (x)二sin x2 .1 +x(1+x)当-1/ 时,g(x)单调递减,而 g(0) 0,gC ) . 0,可得 g(x)在-1,-l 2丿2J
13、 2丿有唯一零点,设为:.则当 x (-1,:)时,g(x) 0 ; 当 :;, 时,g(x):O.I 2丿所以g(x)在(-1,)单调递增,在,一单调递减,故g(x)在一1,存在唯I 2丿I 2丿一极大值点,即f(x)在i 1-存在唯一极大值点.I 2丿(2)f (x)的定义域为(-1,:).(i) 当 x(-1,0时,由(1)知,f(x)在(-1,0)单调递增,而 f(0)=0, 所以当x(-1,0)时,f(x):0,故f (x)在(-1,0)单调递减,又f(0)=0,从 而x =0是f(x)在(-1,0的唯一零点.(ii) 当0,匸时,由(1)知,f(x)在(0,:)单调递增,在一匸单调12I 2丿递减,而f(0)=0 f乜C0,所以存在B a,上L使得f(B) =0 ,且当,12丿I 2丿x(0,-)时,f(x)0 ;当 x时,f(x) : 0.故 f(x)在(0, -)单调递I 2丿增,在二匸单调递减.I 2丿又 f(0)=0 ,
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