一元函数积分知识点完整版

1、一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题， 我在本文献中常常会让一个知识点在分 隔比较远的地方出现两次。 这种方法可以让你在第二次遇到同样的知 识点时顺便复习下这个知识点， 同时第二次出现这个知识点时问题会 稍微升华点，不做无用的重复。 一考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与 求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题 1： 若f(x)的导函数是sinx，则所有可能成为 f(x)的原函数的函数是 。 二考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，

2、掌握定积分 的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理(及其三个推论) 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 d 7、设f (x)在a,b上连续，若在a,b的任意子区间c,d上总是有 f (x)dx 0 ,则当 c x a,b时，f(x)0 问题 2： 设 M/sin(sinx)dx, N (A) M 1 N (B) M N 1 (C) N M 1 (D) 1 M N 2 cos(cosx)dx，则有() o 三. 考查一元函数积分的基本定理 讲解：需要掌握变限定积分函数的连续性与可

3、导性、原函数存在定理、不定积分与变限积 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛 顿一莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设f(x)在a,b上连续，(X)和 (X)在,上可导，当x ,时， (X) a (x),(x) b，则yf(t)dt在,上可以对x求导，且 (x) dy f( (x) (x) f( (x) (x) dx 牛顿一莱布尼兹定理为： 设f (x)在a,b上连续，F(x)是f (x)在a,b上的一个原函数，则 b a f(x)dx 问题3： F(b) F(a) 已知f (x) ln(x 1)t 2xJtedt，求 f(x)(x

4、0) 四. 考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化 简积分。 问题4： / 2 设 f (x)在0,1上连续，o f (cosx)dx A，则 I o f ( cosx )dx 五. 利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键 是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有: b f (x)dx a lim n f (a i(b a) b a n b f (x)dx a lim n f (a (i 1)(b a)b a 问题5: n ntan =

5、lim n n 2 i i n i 六. 考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七. 考察分项积分方法 讲解：利用不定积分(定积分)线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。 问题6: 求下列不定积分： 1 cos x dx 1 cos2x 八. 考察定积分的分段积分方法 讲解：禾U用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。 问题7： 计算以下定积分： 2 (x 1) min 0.5,cosx dx 2 九. 考察不定积分的分段积分方法 讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。 问题8 上x2,0 x 1 设函数

6、f (x)，求 f(x)dx(O x 2) 2 x,1 x 2 十.考察不定积分的凑微分方法(第一换元法) 讲解：凑微分方法的具体过程为如下： 设f(u)du F(u) C ,且函数 (x)可导，则 f( (x) (x)dx f( (x)d( (x) F( (x) C。 若f( (x) (x)dx不好求，而f(u)du好求，则可以采用这种方法。 需要注意的是通常碰到的问题是求(x)dx，其中(x)并未表达为f( (x) (x)的形式, 这时我们需要根据(x)的特点选择适合的(x)。 问题9： 求下列不定积分： secxdx 十一.考察不定积分与定积分的第二换兀法 讲解：需要掌握不定积分与定积分

7、第二换元法的定理，掌握常见的变量替代。 和第一换元法相反，若f(u)du不好求，而f( (x) (x)dx好求，则可以采用这种方法, 关键是如何选择变量替换。这些我在后面介绍。 十二.常用变量替换一：三角函数替换 般的二次根式,Ax2 Bx C可 讲解：三角函数替换法常用于被积函数中含有二次根式, 先采用配方法化成标准形式： 1.若 A 0 则其可化成 4AC B2 4A ，令u B 2、A 当 4AC B20 ,令 a2 2 4 AC B 4A 则.Ax2 Bx C可化成. u2 a2，此时令 u ata nt ( t 2 2 当 4AC B20，令 a2 2 B 便,则. Ax2 Bx C

8、 可化成. u2 a2 4A ,此时令 u asect ( 0 t 且 t 则其可化成 Ax 2& A 2 2 4AC B，令 u 4A 、Ax 2j A 显然此时4AC B20 (否则被积函数无意义) ,令a2 2 4 AC B:一2 则.Ax 4A Bx C可 化成a2 u2 ，此时令u asint ( t 2 问题10： 求下列不定积分: 十三.常用变量替换二：幕函数替换 (简单无理函数积分) 讲解：幕函数替换常用于被积函数中含有 Vax b , ”坐_b的根式。 X cx d 对于第一个可令n ax b t，则x tn b ； a 对于第二个可令n axb cx d t,则x 呼匚，再

9、转化为有理函数积分。 ct a 如果被积函数中同时含有 (ax b), (ax b)，(ax b)，其中， 是分数, 则令m ax b t，其中m是 分母的最小公倍数。 问题11: 求下列不定积分: dx 十四.常用变量替换三:指数函数替换 讲解：当被积函数含有 ex或ax时，可考虑采用这种替换方法(t ex, t ax) 问题12： 求下列不定积分： dx ex 1ex 1 十五.常用变量替换四：倒替换 讲解：当被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，有时可以考虑倒替换( 问题13： 求下列定积分： -2-dx 1 Xi3x2 2x 1 十六.考察不定积分和定积分的分部积分法 讲解：需要

10、掌握不定积分和定积分的分部积分法，并会用分部积分法推导递推公式 不定积分的分部积分法则为： 假定u u(x)与v v(x)均具有连续的导函数，则 uvdx uv vudx (或写成 udv uv vdu) 定积分的分部积分法则为: 若u(x)与v(x)在a,b上连续，则 uvdx b uv a bb vudx (或写成 udv aa b uv a vdu) a 分部积分法的关键是恰当原则 u和v，选取的原则一般为：v容易积分, vdu比 udv容 积计算。 问题14： 求 ln02sinnxdx和 Jn 02cosnxdx (n 0,1,2 十七.考察有理函数的积分 讲解：有理函数可以分解成多

11、项式和真分式之和。积分的关键是求真分式的积分。 设有真分式R(x)鵲。首先将Q(x)因式分解，若分解后含有因子(x ai)n1， n2、mi/ 2、m2mj (x a2)(x ai) i , (xPiXqj, (xp?xq?)(xPjXqj, (要求p2 4q 0 )(按照高等代数的知识，一定可以分解成不超过二次的因式) 则采用待定系数法将 R(x)分解为 A1,i Ai,2 2 x a (x a1) A2,1 x a2 (x Ai,i xai Bi,ixCi,i A2,2 A,2 Ai (x ai) A2,n2 (x a2) Ai，n (x aj2 B1,2x Ci (x ai)ni 2 X

12、PiXqi B2,ixC2,i 7 P2Xq2 _Bj,2xCj,2 2 X ,2_ (x2 口X q)2 B2,2X C2,2 2 (x2 P2Xq2) Bj,2xCj,2 PjXqj B,miX Ci (x2 PiX qi) B2,m2 X C2 ,m mi (x2 (x2 PjX qj)2 P2X q2)m2 Bj,mj X Cj,mj 2mj (X PjX qj) 2 此时只含有四类积分：(D为任意常数) a (1) dx Ain x a D x a Aa (2) mdx的 D ( m i) (x a)(m i)(x a) (3) Bx C 2 X PX dx q PX q 2C Bp

13、 丄 2x Bp , arctan D 4q p24q p2 (x2 Bx C m PX q) dx B 2(m 1)(x2 px q)m 1 (C Px dx m q) 其中 dx (x2 、m可令 PX q) X卫，a 2 :2 4q p ，则 dx m (x px q) dt (t2 a2)m 再利用分部积分法得到递推公式求解。 讲解：反常积分我们专业考察较弱(不知道你们数学专业如何)，重点考察无穷区间上反常 问题15: 按照自己喜好填写 ,A2,B!,B2,Ci,C2,Dl,D2,E!, E2的值，再按照上面方法求积分。 D1x D2x 且dx E2 Ax4 B-|X3 C1x2 A2

14、x4 B2x3 C2x2 十八.考察三角有理式的积分 讲解：所谓三角有理式是指以sinx与cosx为变量的有理函数，即为R(sinx,cosx)。此时 总可以采用 x 万能代换 tant使被积函数有理化，即 2 R(sin x, cosx)dx 2 R( 2t 1 t ) 2dt R( 2, 2) 2 1 t 1 t 1 t 问题16： 求下列不定积分： 1 Jdx 1 sin x 十九.利用定积分的几何意义求定积分的值 b 讲解：若f(x)dx是熟知的平面图形的面积，则可以直接使用几何意义求解定积分的值。 a 问题17： 求下列定积分： b 2 J x , (x a)(x b)dx a 二十

15、.利用被积函数的分解与结合来求定积分的积分值 讲解：有时我们可以采用分项积分将被积函数进行分解，再对其中某几项采用第二换元法 转换为另一种形式，再与其他项结合在一起求解积分。 问题18： 求下列定积分: ,xsin x , I2 dx 0 1 cos x 卜一.考察反常积分 积分的概念、瑕积分的概念、用定义判断反常积分的收敛性及计算积分值，需要掌握常见 反常积分的收敛性判断、反常积分的运算法则。 问题19： 计算下列反常积分的值： (1) dx 3x2 2x(x 1)4 e 1 dx (2)0 x(lnx)2 二十二.考察与定积分概念有关的题目(复习类) 讲解：你需要复习知识点二。 问题20：

16、 1 设f (x)为连续函数，且满足 f(x) x o xf (x)dx，求f (x) 二十三.利用定积分的基本性质确定积分值的符合(复习类) 讲解：你需要复习知识点二、知识点四和知识点十六。 问题21 : X 2sin 212 函数 F(x) % f (t)dt，其中 f (t) e (1 sin21)cos2t，则 F(x)() (A) 为正数 (B) 为负数 (C) 为零 (D) 不是常数 二十四.根据定积分的比较定理证明积分不等式(复习类) 讲解：你需要复习知识点二。 问题22： 证明下列不等式: J- 2 80 x tan xdx 32 二十五.考察原函数的存在定理(复习类) 讲解：

17、你需要复习知识点三。 问题23： 设f(x)在(a,b)内有定义，c (a,b)，又f(x)在(a,b)内仅有c一个间断点，且为第一类 间断点，讨论f (x)在(a,b)内是否存在原函数 二十六.考察常用的不定积分计算方法(复习类) 讲解：你需要复习知识点六到知识点十八(除了知识点八) 问题24: (1) x 1 x (1) dx 1 x (2) aisinx bicosxdx ( a2 b2 0) a sinx bcosx /、 ln(x V1 x2) (3) dx (1 x2)2 二十七.考察常用的定积分计算方法(复习类) 讲解：你需要复习知识点六到知识点二十(除了知识点九) 问题25：

18、(1) sin xdx sin x cosx (2) 1 arcta n .x 1dx 二十八.考察分段函数的积分(复习类) 讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。 问题26： 设函数f (x)在( )内满足 f(x) f (x ) si nx，且 f (x) x(x 0,)，求 f(x)dx 二十九.考察广义积分(复习类) 讲解：你需要复习知识点二十一。 问题27： 计算下列反常积分: x dx(a 0) a x 三十.利用换元法证明积分等式(复习类) 讲解：你需要复习知识点十一到十五。(我们专业每年都至少会考察一个证明题) 问题28: 假定下列所涉及的反常积分均收敛，证明: 1 f (x -)dxf (x)dx x 三一.利用分部积分法证明积分等式(复习类) 讲解：你需要复习知识点十六