高等流体力学第1讲

1、第一讲 绪论一、 参考教材1. 流体力学，周光炯等编写，高等教育出版社2. 流体力学，吴望一编写，北京大学出版社3. 流体力学的先期课程：数学（微积分、线性代数、复变函数、数理方程、场论、张量分析、数值分析、偏微分方程数值解法乃至泛函分析等等）、力学（分析力学）基础。二、 流体力学的研究方法实验方法:同物理学等其它的自然科学学科的研究方法一样，非牛顿流体力学的研究方法包括理论方法和实验方法。理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律；实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流

2、动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。在非牛顿流体力学的发展过程中，实验方法是最先采用的方法，也是最基本的方法。即使到现在，不使用实验方法，航空航天、大型水利枢纽、聚合物驱油等复杂系统的研究几乎是不可能的。实验方法主要包括以下几个步骤：运用相似理论，针对具体的研究对象确定相似准数和相似准则；依据模型律来设计和制造模型，确定测量参数，选择相应的仪器仪表，建立实验装置；制定实验方案并进行实验，观察流动现象，测量流动参数；运用量纲分析等方法整理和分析实验数据，与其它方法或著作所得的结果进行比较，从中总结出流动规律。实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问

3、题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。解析方法:解析方法是非牛顿流体力学各种研究方法中最为准确的和最为理想的方法。解析方法主要包括：详细分析问题的物理学本质，通过适当的简化建立物理模型；运用物理定律建立数学模型，通常是建立起微分方程或微分方程组，确定流动方程边界条件和初始条件；运用数学方法求解出流动方程的解析解；列举计算实例，然后再与其他方法所得的结果进行比较，以检验物理模型和数学模型的合理性。解析方法的优点是：所得到的流动方程的解是精确解，可以明确地给

4、出各个流动参数之间的函数关系。解析方法的缺点是：数学上的困难比较大，只能对少数比较简单的流动给出解析解，所能得到的解析解的数目是非常有限的。数值方法:数值方法是上个世纪中叶随着电子计算机的问世发展起来的一种求解流动方程的方法。这种方法的前两个步骤与解析方法相同，所不同的是，数值方法要将流场按照一定的规则离散成若干个计算点，即网格节点；将流动方程转化为关于各个节点上流动参数的代数方程；运用计算机技术求解出各个节点上的流动参数。由于数值方法所得的结果不是连续函数的表达式，而是流动参数在各个节点上的数值，所以这种方法属于一种近似解法。数值方法的优点是：可以求解解析方法无能为力的复杂流动。数值方法的缺

5、点是：对于复杂而又缺乏完整数学模型的流动仍然无能为力，其结果仍然需要与实验研究结果进行对比和验证。三、 矢量分析与场论初步（一）标量、矢量和张量在力学、物理学以及其它应用学科中，时常会遇到各种各样的物理量，其中仅用数值大小就能描述的物理量叫做标量，例如温度、密度和高度等；同时还有另外一类量，它们既有大小又有方向，这类量叫做矢量，例如力、位移、速度、加速度等等。在数学上，往往用一条具有方向的线段来表示矢量。线段的长度代表矢量的大小，有向线段的方向代表矢量的方向。一般用黑体字母表示矢量，如用F、r、v、a来表示力、位置、速度、加速度等等。矢量也可以用其三个分量来表示，例如直角坐标系中，用于表示位置

6、的矢量r可表示为r = xi yj zk，矢量的大小称为矢量的模，用|r|来表示矢量r的模，即r=|r|=如果两个矢量的大小相等，方向相同，我们就说这两个矢量相等，记为a=b。大小为|a|=1的矢量称为单位矢量。另外一个特殊的矢量就是零矢量，其起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的。在力学和物理学中，我们还经常会遇到这样的物理量，在3维空间中需要用3n个分量才能描述的物理量，我们称之为n阶张量。例如工程流体力学中遇到过的应变张量和应力张量等。（二）矢量的加减 设有两个矢量a、b，其和c=ab可用下图所示的三角形法则或平行四边形法则表示，abcab三角形法则ba平行四边形法则cab图11 矢量

7、的相加a1a2a3a5sa4图12 多个矢量的相加按照矢量的三角形法则，可得n个矢量ai相加的法则：前一个矢量的终点作为下一个矢量的起点，依次做出各个矢量，则第一个矢量的起点便为和矢量s的起点，最后一个矢量的终点便是和矢量s的终点。设a为一矢量，与a的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作a。由此规定两个矢量a与b的差c=ba = b(a)。acb三角形法则bcaa平行四边形法则图13 矢量的相减（三）矢量的数量积矢量的数量积也称为矢量的点乘，记作ab，表示一个矢量在另一个矢量方向上的投影的大小，即ab= |a|b| cos。ab矢量的数量积M2M1Fs力F从M1到M2所做的功图14 矢量

8、的数量积由物理学知识可知，力F从M1到M2所做的功为W=|F| |s| cos=Fs 。流体力学中的速度环量为。由矢量数量积的定义可知，（1）aa=|a|2；（2）如果ab=0，则ab，即两个矢量相垂直的充分必要条件是数量积为0。（四）矢量的矢量积设矢量c由两个矢量a和b按下列方式确定：（1） c的模|c|=|a|b| sin，其中为a、b间的夹角；（2） c的方向垂直于a、b所确定的平面，并且c的方向按右手规则从a转向b来确定，如图A5所示，即当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。则c称为a与b的矢量积，矢量积也称为矢量的叉乘，即c=ab。设a=axi

9、+ ayj + azk，b=bxi + by j + bzk，c=ab也可表达为abab图15 矢量的矢量积c=。由矢量数量积的定义可知，（1）aa=0；（2）如果ab=0，则ab，即两个矢量相平行的充分必要条件是其矢量积为0。（五）矢量的混合积abc图16 矢量的混合积设已知三个矢量a、b和c，先把作a、b的矢量积可得到一个新的矢量（ab），再将矢量（ab）与矢量c作数量积所得到的标量（ab）c便是矢量a、b和c的混合积，记为abc。混合积也可以表示为abc=。由此可见，abc的大小就是以a、b和c为棱的六面体的体积。（六）场的概念。如果某一空间区域内的每一点都对应着某一个物理量的确定值，则

10、称该空间区域为该物理量的场。而场论就研究标量场和矢量场数学性质的一个数学分支。如果这个物理量是标量，就称这个场为标量场；如果这个物理量是矢量，就称这个场为矢量场。例如温度场、密度场等是标量场，而重力场、速度场、电场等是矢量场。例如，密度场和速度场依次可表述为=（x，y，z，t），u=u（x，y，z，t）。此外，如果场中物理量不随时间变化，则称为稳定场；如果场中物理量随时间变化，则称为不稳定场。例如，稳定的密度场和速度场依次可表述为=（x，y，z），u=u（x，y，z）。如果场中物理量不随空间位置变化，则称为均匀场；如果场中物理量随空间位置变化，则称为不均匀场，则。均匀的密度场和速度场依次可表述

11、为=（t），u=u（t）。如果场的物理量可用一个空间坐标来描述的话，则称之为一维场，即=（x，t），u=u（x，t）。同样定义二维场和三维场，即=（x，y，t），u=u（x，y，t）。=（x，y，z，t），u=u（x，y，z，t）。用几何图形来表述场便于直观地理解问题，并且有实用价值。在空间标量场(r, t)中，由(r, t)=c的点组成的面称为等值面，平面场(r, t)=c的点构成的线称为等值线。我们可以依据等值面或等值线的相互位置和它的疏密程度看出标量场的变化情况。例如，等值线比较密的地方场的变化较为剧烈；等值线比较疏的地方场的变化较为平缓。可用矢量线表述矢量场。矢量线是指矢量场中的这样一

12、条曲线，在某一瞬时该曲线上每一点的切线方向与该点的场的方向重合。由此可见，以前所学过的电力线、磁力线和流线等都是矢量线。设dr是矢量场u的矢量线的切向微元矢量，则由dru的平行条件udr=0可得=。矢量线不仅可以反映出矢量场的方向，而且还可以反映出矢量场中矢量大小，矢量线密集处矢量较大，反之亦然。nsMbM1bc1cMb图17 标量场的梯度b（七）标量场梯度（gradient）给定的标量场(r, t)如图1-7所示。过M点等值面(r, t)=(M, t)=c及等值面的法线方向n，n指向增加的方向。再在法线n上取一个与M点无限接近的点M1，过M1点作等值面(r, t)= (M1, t)=c1。现

13、在我们过M点再作任意方向的矢量s，与=c1交与M点。根据方向导数的定义，则n、s方向上的导数可分别表示为，从图中可以看出MM1=，而(M1, t)=(M, t)。所以有= = =上式表明，任意方向上的方向导数都可以通过及s与n两方向间夹角的余弦表示出来。也就是说，如果知道了等位面=c的法线方向的导数，则其他任意方向上的方向导数即可求出求出，并且，即标量场在n方向上的变化最快。现在定义：大小为，方向为n的矢量称为标量的梯度，用来表示。由此可见，梯度grad既反映了增加最快的方向，也反映了该方向的方向导数的大小。上式两端分别与直角坐标系中的三个基矢量i、j、k作数量积，可得直角坐标系下梯度的3个分

14、量分别为gradi=ni=；gradj=nj=；gradk=nk=。上三式即是grad在三个坐标轴上的分量。所以有grad=。式中=，称为哈密尔顿算符，是场论中一个非常重要的算符。总结起来，梯度的主要性质是：（1）梯度表述了场内任意一点处的邻域内的变化情况，它是标量场不均匀性的度量；（2）梯度的方向与等值面的法线方向重合，并且指向增加的方向；（3）梯度在任意方向上的投影等于该方向上的方向导数；（4）沿梯度的方向变化最快。nS M dSa图1-8 矢量场的散度(八)矢量场的散度（divergence）给定的矢量场a(r, t)。在场内取一个封闭曲面S，其体积为V，如图B2所示。在S面上取一微元面

15、积dS，在dS上任取一点M，作S面在M点的法线，则通常取外法线为正方向。令n表示S面上法线方向的单位矢量，则an=an=axcos(n，x)aycos(n，y)azcos(n，x)代表矢量a在法线方向的投影。定义andS为矢量a通过dS的通量，沿曲面积分得a通过S的通量=。现定义矢量场a的散度为=，由此可见，矢量a的散度是单位体积表面上的通量。由数学分析中的高斯定理可以推得直角坐标系中散度表达式为=。Ln MS图1-9 矢量场的环量（九）矢量场的旋度（rotation）给定的矢量场a(r, t)。设M点是场内的一点，在M点附近取一条无限小的封闭曲线L，如图所示，约定某一方向为正方向。设S为张在

16、曲线L上的曲面，其法线方向的单位矢量为n，n的正方向按照图1-9示的右手法则确定。线积分=称为矢量a沿曲线L的环量。现定义为环量面密度（亦即环量对面积的变化率）。不难看出，环量面密度与L所围成的面元S的方向n有关。例如，在流体情形中，某点附近的流体沿着一个面上呈漩涡状流动时，如果L围成的面元与漩涡面的方向重合，则环量面密度最大；如果所取面元与漩涡面之间有一夹角，得到的环量面密度总是小于最大值；若面元与漩涡面相垂直，则环量面密度等于零。可见，必存在某一固定矢量R，这个固定矢量R在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值，我们称固定矢量R为矢量a的旋度，记