人教版七年级下册数学：锐角三角函数（A）

1、“斜而未斜而未 倒倒” 新庵学校新庵学校 何浩荣何浩荣 杂志上有过这样的一篇报道：始建于杂志上有过这样的一篇报道：始建于13501350年的意年的意 大利比萨斜塔落成时就已经倾斜大利比萨斜塔落成时就已经倾斜19721972年比萨发生地年比萨发生地 震，这座高震，这座高54.5m54.5m的斜塔大幅度摇摆的斜塔大幅度摇摆2222分钟之久，仍分钟之久，仍 巍然屹立可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离巍然屹立可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离 已由落成时的已由落成时的2.1m2.1m增加至增加至5.2m5.2m， 而且还以每年倾斜而且还以每年倾斜 1cm1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险为此

2、，的速度继续增加，随时都有倒塌的危险为此， 意大利当局从意大利当局从19901990年起对斜塔进行维修纠偏，年起对斜塔进行维修纠偏，20012001年年 竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前 减少了减少了43.8cm43.8cm a b c “斜而未斜而未 倒倒” bc=5.2m ab=54.5m 根据上面的这根据上面的这 些数据，我们些数据，我们 能得出能得出1972年年 时比萨斜塔倾时比萨斜塔倾 斜的度数斜的度数吗吗 ？ 28.128.1锐角三角函数锐角三角函数(1)(1) 问题问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着为了

3、绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着 山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口，为使出水口 的高度为的高度为35m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？ 在在rtabc中，中，c90，a30，bc35m， 求求ab 根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半角所对的边等于斜边的一半”， 即即 1 2 abc ab 的对边 斜边 可得可得ab2bc70m，也就是说，需要准备，也就是说，需要准备

4、70m长的水管长的水管 分析：分析： 生生 活活 中中 的的 数数 学学 a b c 30 35m ？ 在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要，那么需要 准备多长的水管？准备多长的水管？ 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么，那么 不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 a b c 50m 30m , 2 1 ab cba 斜边 的对边 b c ab2b c 250100m 30 出水口的高度为出水口的高度为a米时

5、，米时， 需要准备多长的水管？需要准备多长的水管？ 在在rtabc中，中，c90，由于，由于a45，所以，所以 rtabc是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设设bc=ac= ，由勾股定理得由勾股定理得 因此因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个时，不管这个 直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2 2 如图，任意画一个如图，任意画一个rtabc，使，使c 90，a45，计算，计算a的对边与的对边与 斜边的比斜边的比 ，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？ ab bc 222222

6、 2abacbcaaa 2aba 12 222 bca aba a a a 一般地，当一般地，当a 取其他一定度数的锐角时，取其他一定度数的锐角时， 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ ab bc ba cb a b c a b c 证明：由于证明：由于cc90，aa， 所以所以rtabcrtabc bcab b ca b bcb c aba b 即 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角a的度数一定时，不管三角的度数一定时，不管三角 形的大小如何，形的大小如何，a的对边与斜边的比也是一个固定值的对边与斜边的比也是一个固定值

7、已知已知rtabc和和rtabc中，中，cc90，a a， 求证：求证： = 1 1、 sina sina不是不是sinsin与与a a的乘积，而是一个整体；的乘积，而是一个整体； 2 2、正弦的三种表示方式：、正弦的三种表示方式：sinasina、sin56sin56、sinbacsinbac； 3 3、sinasina是线段之间的一个比值，没有单位。是线段之间的一个比值，没有单位。 4 4、相同或相等的锐角，它们的正弦值也相等。、相同或相等的锐角，它们的正弦值也相等。 如图，在如图，在rtabc中，中，c90，我们把锐角，我们把锐角a的对边的对边 与斜边的比叫做与斜边的比叫做a的正弦的正弦

8、（sine），记作），记作sina 即即 c aa a 斜边 的对边 sin 例如，当例如，当a30时，我们有时，我们有 2 1 30sinsin a 当当a45时，我们有时，我们有 2 2 45sinsin a a b c c a b a的的对边对边 斜边斜边 在图中在图中 a的对边记作的对边记作a b的对边记作的对边记作b c的对边记作的对边记作c 正正 弦弦 函函 数数 定义解析定义解析 1.判断对错判断对错: a 10m 6m b c 1) 如图如图 (1) sina= （ ） (2)sinb= （ ） (3)sina= 0.6m （ ） (4)sinb= 0.8 （ ） ab bc

9、bc ab sinasina是一个比值（注意比的顺序），无单位；是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2)如图，如图，sina= （ ） bc ab 练习 例例1 如图，在如图，在rtabc中，中，c90，求，求sina和和sinb的值的值 解：解： （1）在）在rtabc中，中， 534 2222 bcacab 因此因此 5 3 sin ab bc a 5 4 sin ab ac b （2）在）在rtabc中，中， 13 5 sin ab bc a 12513 2222 bcabac 13 12 sin ab ac b a a b c 3 4 求求sina就就 是要确定是要确定a 的 对 边

10、 与 斜的 对 边 与 斜 边 的 比 ；边 的 比 ； 求求 sinb就是要确就是要确 定定b的对边的对边 与斜边的比与斜边的比 例例 题题 示示 范范 b c 13 5 2、根据下图，求、根据下图，求sina和和sinb的值的值 a b c 3 5 练习 求求sina就是就是 要确定要确定a的对的对 边与斜边的比边与斜边的比； 求求sinb就是要确就是要确 定定b的对边与的对边与 斜边的比斜边的比. 解：解： （1）在）在rtabc中，中， 2222 5334abacbc 因此因此 33 34 sin 3434 bc a ab 55 34 sin 1734 ac b ab 求一个角的正弦值

11、，除了用定义直接求外，还可以求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以 转化为求和它相等角的正弦值。转化为求和它相等角的正弦值。 3、如图、如图, acb=90，cdab. 若若c=5，cd=3，则，则sinb= . bsin分析： bc cd ab ac ac ad d c b a 练习 5 3 故只需求出故只需求出cd 而由勾股地定理可得而由勾股地定理可得ad=4 sinb= 4 5 或者或者b=acd sinb=sinacd 3、sina的大小只与的大小只与a的大小的大小有关，而与有关，而与直角三角直角三角 形的边长形的边长无关无关。 a b c 归纳小结 1、sina是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，a是是锐角锐角(注意注意数形数形 结合结合，构造直角三角形，构造直角三角形)。 sin a a 的对边 斜边 sin b b 的对边 斜边 2、sina是一个是