26函数模型及应用

1、2.6函数模型及其应用(1)-函数模型的建立及计算【教学目标】一、知识与技能1、了解函数模型的含义及建立函数模型的总体思路2、掌握建立函数模型的方法及应用的步骤二、过程与方法：通过对实际问题的探究，感知数学模型的应用，提高阅读理解能力三、 情感、态度与价值观：了解数学在实际中的应用，发展数学应用意识，提高数学学 习的兴趣。【教学重点】利用数学模型解决实际问题。【教学难点】分析实际问题的数量关系，建立合适的函数模型。【教学流程】一、看书教材 P82-P84二、 例1、某地高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7C，已知山顶的温度是14.10C,山脚的温度是26C。求山的高度(教材 P84-练习

2、1)解：【方法一】（26-14.1 ）-0.7 X100 = 1700 （米）答：山高1700米说明：这一方法实质是用的小学的算术方法答：山高1700米f（x）=14.1,x=1700 答：山X【方法二】设山高为x米，贝yXG.7=26-14.1,X=17OO100说明：这一方法是通过方程求解。X【方法三】设x米处温度为f(x),则f(x)=26-X).7(x0)100高1700米说明：这一方法是通过函数求解。函数值取定值函数值大于或小于某一值不等式所以总体说明：1、由于 将不等式、方程、函数统称函数模型。这样解答应用题的具体步骤及思路为:设、列实际问题数学模校（或问题）算术方法解-答实际问题

3、的解数学问题的解（用函数模型思路解题步骤是：设一一列一一解一一答）2、以上直接通过设未知量得到关系式再求解，称直接法练习1某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初时含杂1质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1，问至少应过滤几次才能使产品达到市场需求？3（已知 lg 2 =0.3010,lg 3 =0.4771）（解：每过滤一次可使杂质含量减少1，则杂质含量降为原来的 -，那么过滤n次后杂质33含量为100 & 丿结合按市场要求杂质含量不能超过0.1% ，2圧f10034%,即I吩则故一卅4，又nN，故n 一8,即至少要过滤8次才能达到市场要求。）练习I某商人进货已经按原价a

4、扣去25%,他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍然能获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y的关系式是什么？0 8t -0 75a51解：设新价为 t,则0.25, t= a ,y=20%tx= ax（x0）0.8t44例2、国家收购某种农副产品的价格是120元/担，征税标准为8%,计划可以收购 m万担。为了减轻农民负担，决定调节税率降低x%预计收购量可以增加 2x%（1）写出税收y （万元）与x的函数关系式；（2）使此项税收在税率调节后等于元计划 的78%，请确定x的值分析：由于给出的信息比较多，建一个表格，将基本信息列出，有:时间段征税收购（万担）

5、收购价（元/担）调节前8 %m120调节后(8-x)%m(1+2x%)120于是3m解：(1) y=(8-x)%m(1+2x%)120=(100+2x)(8-x)(0x 8)250(2 )y=120 X 8 % m X 78 % =(8-x)%m(1+2x%)120=120 X 8 % m X 78 %u x2+42x-88=0,0x 8, x=2说明：对于信息量比较大又有对比度的情况，列表来建立各数量关系，称列表法 例3、张先生买了一部手机，欲使用“神州行”卡或“中国联通130网”各种收费标准如下类别月租(元)本地费用(元/分)长话(兀/6分)中国联通130网120.360.06神州行00.

6、60.07若张先生每月拨打本地话费的时间是长途话费的5倍，且每月通话时间在(40,50)分钟之间，则他选择哪种比较合算？解：设本地为x分，则长话时间为5x，中国联通130网话费为f(x),神州行为g(x),则f(x)=12+0.36x+0.06 X 空641x+12,g(x)=0.6x+0.071005xX679x100x+5x (40,50), 一x 一 ,作出图象(或计算可知g(x)f(x)故他宜选用神州行卡33说明：可以通过图象来反应函数关系称图象法三、总结：1、用函数模型解题一般有：“设一一列一一解一一答”四个步骤2、函数模型包括函数本身，还包括方程与不等式3、建立函数模型的具体技巧有

7、：直接法、列表法、图象法四、作业：教材 P84 1,2,4;P88-3加对甲、乙各投资多少时，收益最大? 【补充作业】1、某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。 在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进 份，才能使每月所获的利润最大，最多可赚得 元？2、 节日某商场举行“买 100送20连环送”活动，即：顾客购物每满100元，就可以获增商场20元的购物卷。若某人有 680元现金在活动区间到此商场购物，最多可以获

8、得商场购物卷使用累计元。3、某电脑用户不超过 500元的资金购买单价分别为 60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买两盒，则不同的选购方式有 种。4、甲乙两种商品，甲商品供不应求，连续两次提价 10% ;乙商品滞销连续两次降价10%，最后甲乙都以9801元售出，则与总原价比较， (填“多”或“少”)赚了元5、 某地的物价从1967年的100增加到2006年的500,则年平均增长率为 （精确到小数点后两位，参考数据及式子：ln（x+1）沁x,lg2沁0.3,1 n10沁2.3）6、 为了保护环境，某厂投资50万元建成一个处理系统，把污染环境的废料变为有用的生产原料

9、。如果每月用2万元的成本进行生产，那么生产收入（单位：万元）与生产时间t（单位：月）的关系为20,2t，问：（1）最少需经过几个月，生产收入与总投入基本平衡？（2 ： 1.4） ； （2）经过几个月可获得最大利润？7、 某租赁公司拥有汽车 100辆，当每月的月租金为3000元时，可以全部租出；当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出的车辆会增加一辆。租出的车辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元。（1）当每月月租金为3600元时，能租出多少辆？（2）每月月租金为多少元时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？8*、某企来生产一种机器的固定成本 （即固定投入）为0.5万元，但

10、每生产1百台时， 又需可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此商品的年需求量为 5百台，销售的收 入（单位：万元）函数为R X =5x x20_x_5，其中x是产品生产的数量2（单位：百台）（1）求利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得的利润最大？ （3）年产量是多少时，企业才不亏本？【解答】1、设每天应从报社买进 x份，易知250x400。设每月赚y元，得y =0.5x 20 250 0.5 10 （x -250） 0.08 10-0.355120.25x0解得 4.75 - . 21.5625 x 5，或 5 ： X 乞 48，其中 4.75 21.5625 : 0.1

11、 ,0.1 乞 x 乞 48。答：即企业年产量在 10台到4800台之间时，企业不亏本。2.6函数模型及应用（2）函数模型应用与比较【教学目标】-、知识与技能：1、进一步熟悉函数模型的建立，明确应用时注意事项2、函数模型不惟一时，需要比较找出误差最小的模型来进行二、过程与方法：通过讲练结合，得出注意事项及比较得出函数模型三、情感态度和价值观：通过本节，体会比较分析的方法及现代科技的应用意义【教学难点】数据的拟合【教学重点】函数模型的比较【教学流程】一、复习函数模型建立的方法与技巧二、 例1、某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为 60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购

12、量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。（1）设一次订购量为 x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数 p二f x的表达式；（2）当销售商一次订购了 450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）解:(1)P=f(x)=60( 1,2,3,100)60-0.02(x -100) = 62 -0.02x(x 100,101,500)x=450 时，p=51,利润为(p-40)x=4950(元)答：当销售商一次订购了 450件服装时，该服装厂获得的利润是4950元解函数应

13、用题一定要注意函数的定义域练习：某商场在近30天内的销售价格P （元）与时间t（天）的函数关系是:D_ t 20(0 :t : 25,t N *)P= 1*A 100(25乞t 30t N )该商品的日销售量Q （件）与天数函数关系是并指出是哪一天销售额最大?,t=10 时 y 极大=900 ; t=25 时,Q=-t+40,0t 30, t N,求这种商品的日销售额的最大值,； 2 *（答案：y=QP=-t2 20t 800(0 ：t : 25,t N )l c*t2 -14Ct 4000(25岂t 乞 30,t N )y极大=1125 ;当第25天时，日销售额最大为1125元）例2、在测量

14、某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2，an共n个数据，我们规定所测量物理量的 最佳近似值” a是这样一个量：与其他近 似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从 a1, a2,，an求出a的值解：根据题意，求 x=?时，y=(x-a 1)2+(x-a 2)2+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+an)x+a12+a22+an2,当x= 狂 耳时，y最小，所以a= 耳nn说明：应用题的关键是读懂题意例 3、下表是某款车的车速与刹车后停车距离，试分别就车速(km/h)101530405060708090100停车距离(m)4712182534435466

15、80根据最佳模拟求车速为120km/ h时的刹车距离。A10k4 =a e丿，解得丿丿 C40 k b18 = a e解：【方法一】若以y =a ekx为模拟函数，将 10,4 , 40,18代入函数关系式，得y =a e, y =axn, y = ax2 bx c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟,k =0.050 136,0.050136 x二 y=2.422 8，e,a =2.422 8.以此函数式计算车速为 90km/h , 100km/h时，停车距离分别为 220.8m,364.5m，与实际数据相比，误差较大。若以y二axn为模拟函数，将 10,4 , 40,18代入函数式，得

16、y=0.3251x1.09,其他误差也比较大4 = a18 =a210 b 10 c,240b 40 c,解得260b 60 c,a 二150b=Z, y x x 2 ,1515015c=2以此函数式计算车速为 90km/ h,100km/ h时，停车距离分别为68m,82m，与前两个相比,它比较符合实际情况。当x =120时，y =114m。即当车速为120km/h时，停依次车距离为114m。【方法二】用数据曲线拟合：先在Excell中输入数据t选中数据区t插入/图表/图表类型/散点图/完成t对准描出的某一点右击/添加趋势线/选指数、乘幕、多项式10080t选项/显示公式和显示 R2的值t确

17、定R2越接近1，拟合的越好，所以选择多项式模型2y=0.0064x +0.1256x+2.7374说明：选择哪个函数模型，主要考虑其误差最小练习：某公司今年一月份推出新产品 A，成本为400元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表:销售价x(元/件)650662720800900销售量y/件350333281200100(1)在直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对x, y的对应点，并确定x与y的一个函数关系式 y = f x 设经营此产品的月销售利润为 S元，根据上述关系写出 S关于x的函数关系，并指出当销售单价x为多少元时，才能获得最大利润。(650662720800900350

18、33328120010005001000* Seriesl近似在一条直线上取后两组，有f(x)=100-x x N*(2)S=(1000-x)(x-400)=-x2+1400x-400000,当 x=700 时利润最大)三、总结：1、函数应用题一定要注意函数的定义域2、函数模型未必惟一，这时需要比较哪个更合适，一般找出一个，检验误差最小；也可以举行数据拟合，取回归系数R最接近1者四、作业：教材 P84-3,P88-4【补充作业】1、某物体一天的温度 T (C)是时间t (时)的函数，T(t)=t 3-6t+60，t=0表示12：00,其后t取正，则上午8时的温度是 2、有一块“缺角矩形”地皮

19、ABCDE其尺寸如图示，要用此建一座地基为长方形的建筑物，地基面积最大是 803、通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂里学生接受一个概念的那里与教室在引入概念之前提出和描述问题的时间有关。分析结果表明学生接受概念的能力的经验公式为G(x)=-0.1x 2+2.6x+43,x (0,45),其中x表示提出和描述问题的时间(单位：分 钟)，G(x)是一个接受能力的度量。则当 时间时，学生接受能力最强。4、中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元

20、的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得为 5、假设你有一笔资金用于投资，投资时间1个月，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：万案回报-一-每天回报40元-二二第一天回报10兀，以后每天比前一天多回报10兀三第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番若以每天回报作为衡量标准，你应选用方案 投资6、 根据市场调查，某商品在最近的40天内的销售价格f(t)与时间t满足关系f(t)=1 *I -t +11 0 t 20t N1402，0 一 0，,销售量g(t)与时间t满足关

21、系g(t)=-丄t+ 40 ,0 w t w 40, t*33441,20 mt 40,t N33 N,求这种商品的日销售额的最大值7、 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过c千米/时.知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/ 时)的平方成正比，且比例系数为 b;固定部分为a元.(I )把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(n )为了使全.程.运.输.成.本.最小，汽车应以多大速度行驶？8*、(1)校团委带领学生深入食堂调查学校购买大米的情况，发现问题： 大米贮存在仓库的费用为每

22、天每吨2元。 学校有两千多人，食堂每天约需大米1吨，现市场价每公斤大米 2.60元。 每隔一定的天数，食堂管理员去买一次大米，运费为100元。(2)食堂管理员遇到三个问题： 每次购买大米后到用完最后1吨大米的仓库贮存费用能否用数学解析式表示？(假定食堂每次是在用完最后一吨大米的当天购买) 食堂应隔多少天购买一次大米，才能使平均每天支付的总费用最少？ 供粮公司提出价格优惠条件，一次购买量不少于 20吨，米价可为原米价的95%食堂能否接受此条件？【答案】1、20)C 2、7203、13分钟4、2357.8 元5、三12-(2 +21 +22x43)(xe 0,1,2,19)6、H(x)=f(x)g(x)=,当 t=10 或 11 时,1 2-(t -84t +41x43)(xe20,21,40)L. 3hmax(t)=176,答：这种商品的日销售额的最大值为176元s7、(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为vy=a ?+bv2=S(a+