高中数学利用导数研究函数的单调性

1、课时作业A 组 基础对点练1.函数f(x)的导函数f (x)的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1,0)，则f(0)与 f(3)的大小关系为()A f(0)f(3)C f(0) f(3)D无法确定解析：由题意知 f(x)的图象是以 x1 为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0) f(2)f(3)选 B.答案： B2若函数 f(x) kxln x 在区间 (1， )单调递增，则 k 的取值范围是 ()A(， 2B(， 1C2， )D1， )11解析：依题意得 f(x)kx0在(1， )上恒成立，即 k x在 (1， )上恒1成立， x1， 0x0 时恒成立1即 x a ln x

2、 0 在 x0 时恒成立1所以 a xln x 在 x0 时恒成立1令 g(x) xln x(x0)，1 1 x1则 g(x) x2 x x2 (x0)，由 g(x)0，得 x1；由 g(x)0，得 0x0 时恒成立，1即 x a ln x 0 在 x0 时恒成立，1所以 a xln x 在 x0 时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数 a 的取值范围是 (， 1B 组 能力提升练1函数 f(x)的定义域是 (0，2)，f(x)是它的导函数，且f(x) tan xf (x)0 在定义域内恒成立，则 ()A f(6)2f(4)B2sin 1 f(1)f(4)C f(6)3f(3)D2f(4)3

3、f(3)解析： 0 x2， sin x 0， cos x 0.由 f(x) tan xf(x)0，得cosxf(x) sin xf(x)0.令 g(x)sin xf(x)，0x2，则 g (x)cos xf(x) sin xf(x) 0，即 g(x)在(0，上是增函数， g(4)，即，2)g(1)sin 1 f(1)sin4 f(4)2sin1f(1) f(4)故选 B.答案： Bsin x2已知函数 f(x) 2cos x.若当 x0 时，函数 f(x)的图象恒在直线 y kx 的下方，则 k 的取值范围是 ()131A3，3 B3， )333C 3 ， )D3 ，2 解析：由题意，当 x

4、0时，f(x) sin xkx 恒成立由 f( ) k知 k0.又 f (x)2cos x12cos xf(x)kx 恒成立，必有 kf(0)1 2cos x 2，由切线的几何意义知，要使3.1sin x12cos x1要证 k3时不等式恒成立， 只需证 g(x) 3x0，g(x)222 cos xcos x1 cos x1 2 3 3 2cos x 2 0， g(x)在(0， )上单调递减，1 g(x)g(0)0，不等式成立综上k 3， )答案： B3(2018 石家庄市质检 )已知函数 f(x) sin(2x12)，f (x)是 f(x)的导函数，则函数 y2f(x) f(x)的一个单调递

5、减区间是 () 75 A12，12B12，12 2 5C3， 3 D6，6 解析：由题意，得 f(x) 2cos(2x12)，所以 y2f(x)f (x)2sin(2x 12) 32cos(2x 12) 22sin(2x124)22sin(2x 3)由 2k 2 2x32k27(k Z)，得 k12 x k12(k Z)，所以 y2f(x) f(x)的一个单调递减区间7为 12， 12 ，故选 A.答案： A4已知函数 f(x)ax3 3x2 1，若 f(x)存在唯一的零点x0，且 x00，则 a 的取值范围是 ()A (2， )B(， 2)C (1， )D(， 1)解析：当 a0 时，显然

6、f(x)有两个零点，不符合题意22当 a0 时， f(x)3ax 6x，令 f(x)0，解得 x10，x2 a.2322当 a0 时，a0，所以函数 f(x)ax3x 1 在(，0)与 a， 上为增函2数，在0， a 上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0 0，则 f(0)0，即 1 0，不成立2322当 a0 时，a0，所以函数 f(x)ax3x 1 在 ， a 和(0， )上为减函2存在唯一零点，且28数，在，0 上为增函数，因为f(x)x0 ，则，即 3ax0 0f a0a a4 3210，解得 a 2 或 a 2，又因为 a 0，故 a 的取值范围为 (， a2)选B.

7、答案： B5(2018 广州市模拟) 若函数x f(x)e (sin xacos x)在(4， 2)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A(， 1C1， )B(， 1)D(1， )解析：f(x)exsin xcosxa(sin x cosx)，当 a0 时，f(x) ex(sin xcos x)，显然 x(4， 2)，f (x)0 恒成立，排除C，D；当xa1时，f(x)2ecos x，x (4，2)时， f(x)0，故选 A.答案： A1 26已知函数 f(x) 2x 3x 4ln x 在 (t，t1)上不单调， 则实数 t 的取值范围是_1 2解析： 函数 f(x) 2x 3x4ln x

8、(x0)，4 f(x) x3 x，1 2函数 f(x) 2x 3x 4ln x 在 (t，t 1)上不单调，4 f(x) x3 x0 在(t， t1)上有解，x2 3x40 在 (t，t 1)上有解，x x2 3x40 在 (t，t 1)上有解，由 x2 3x40 得 x1 或 x 4(舍去 )， 1 (t， t1)， t (0,1)，故实数 t 的取值范围是 (0,1)答案： (0,1)7已知 yf(x)为 R 上的连续可导函数，且xf (x)f(x) 0，则函数 g(x)xf(x) 1(x 0)的零点个数为 _解析：因为 g(x)xf(x)1(x0)，g(x)xf(x)f(x)0，所以 g

9、(x)在(0，)上单调递增，又 g(0)1，yf(x)为 R 上的连续可导函数，所以 g(x) 为(0， ) 上的连续可导函数，又 g(x)g(0) 1，所以 g(x)在(0， )上无零点答案： 08(2018 洛阳统考 )已知函数 f(x)exmln x(mR，e 为自然对数的底数 )，若对任意正数 x1，x2，当 x1 x2 时都有 f(x1) f(x2)x1 x2 成立，则实数 m 的取值范围是 _解析：依题意得，对于任意的正数x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) x1f(x2)x2，因此函数 g(x)f(x) x 在区间 (0，)上是增函数，于是当x 0 时，g(x)xm

10、f(x)1e x 1 0，即xx(e1) m 恒成立记xh(x)x(e1)，x0，则有 h(x)(x1)ex 1 (01)e0 1 0(x 0)，h(x)在区间 (0， )上是增函数，h(x)的值域是 (0，)，因此 m0，m0.故所求实数 m 的取值范围是 0，)答案： 0， )9已知函数 f(x)x2(2t1)xtln x(tR)(1)若 t1，求曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程以及f(x)的极值；(2)设函数 g(x) (1t)x，若存在 x01，e，使得 f(x0) g(x0 )成立，求实数 t 的最大值解析： (1)依题意，函数 f(x)的定义域为 (0， )，当 t 1 时， f(x)x2 3xln x，f(x)2x312x1 x 1.xx由 f (1)0，f(1) 2，得曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为 y 2.1令 f (x)0，解得 x 2或 x1，f(x)， f(x)随 x 的变化情况如下：111(1， )x，110222f(x)00f(x)极大值极小值由表格知， f(x)极大值 f15 ln1，242f(x)极小值 f(1) 2.(2)由题意知，不等式