高数极限习题

1、第二章导数与微分 典型例题分析 客观题 例1设f (x)在点xo可导,a,b为常数，则 lim x f(xo a x) f (xo b x) 0 A abf (xo) B (a b)f (xo) C (a b)f (xo) D 加xo) 答案 解 f(xo a x)f (xob x) lim x 0 x f (xoa x)f (xo) f (xo lim x 0 f (xo a x) f(xo) a lim x 0a x (a b)f (Xo) b x) f(Xo) b lim f(xob x) x 0 f(xo) 例 2( 89303)设 f (x)在 x 件是( a的某个邻域内有定义，则f

2、(X)在x a处可导的一个充分条 (A) lim h f h lirf h 0 答案D 解题思路 (C) h) 1 h I f (a 2h f (a)存在 存在 (B) lim f(a 2h) f(a h)存在 h 0 h (D) limf(a) f(a h)存在 h 0 x，当h 时，x 0，则有 1 (1)对于答案(A)，不妨设一 h 1 lim h f a hh 右导数存在，它并不是可导的充分条件 f(a) lim x o f (a x) x ，故 (A)不对. f(a存在，这只表明f(x)在x a处 (2)对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概

3、念 不相符和.例如，若取 1, x a f (x) 0, x a 则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但lim f (x) 0 f (a) 1，从而f (x)在 x a x a处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证 f (a)存在，从而(B) 与(C)也不对. (3)记xh,则x 0与h0是等价的 汙是 精选文库 4 mo Hh mo mo Hh lgpf (a) 所以条件D是f (a)存在的一个充分必要条件 例 3(00103)设 f (0)0,则 f (x)在点 1 (A)limpf(1 h 0h2 1 (C)limpf(h h 0h2 答案B 解题思路 c0sh

4、)存在 sinh)存在 0可导的充要条件为() 1 h (B)lim f(1 eh)存在 h 0 h 1 (D) Iim f(2h) f (h) / h 0 h 存在 (1)当h 0时 cosh 1 -.所以如果 2 (0)存在,则必有 mo Hh 叫 Hh mo Hh mo 1 这就是说由f (0)存在能推出Iim h 0h2 但是由于当h 0时，恒有 c0sh)存在. 1 c0sh 0 ，而不是u mo Hh cosh)存在只能推出f (0) Iim x f(x) x 存在，而不能推出 f (0) (2)当 h 0 时，1 ehh 0(h),于是 mo Hh 由于当h eh)|im f(

5、h 0(h) f(0) h 0 0时，h 0(h)既能取正值，又能取负值 iim f( h 0(h)f(0) h 0 h 0(h) ,所以极限 lhm0 f( h 0(h) f(0)存在与 |im f(h) f(0) h 0 h 极限Iim - h 0h h 0(h) f(1 eh)存在与f (0)存在互相等价. f (0)存在是互相等价的.因而 (3)当 h 0时，用洛比塔法则可以证明 mo Hh 1 6,所以 mo Hh 叫 Hh n s 精选文库 21 由于h0,于是由极限lim f(h sinh)f(0)讪h sinh h 0h oinhh 0 h sinh h3 h存在未必推出 li

6、m 丄一sinh一f-(0)也存在，因而 f (0)未必存在. h 0- h si nh f(x)在点x 0可导一定有(D)存在，但(D) 存在不 f(x)在点x 2 例 4 (98203)函数 f(X) (x (A)0(B)1 答案C 解题思路当函数中出现绝对值号时 2) | x3 x|有() (C)2 个不可导点 (D)3 零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点 存在性 解 ,不可导的点就有可能出现在函数的零点 1, X2 Xo0, X1 ,因为函数 1考察导数的 f(x) 将f(X)写成分段函数 (x2 (x2 (x2 (x2 x (1)在Xo0附近, 2)x(1 2)x(x2

7、 2)x(1 2)x(x2 x2), 1), x2), 1), 1, x. 0, 1, f(x) (X2 X 2)|x3 x| x(x2 x(x2 X X 2)(x2 2)(1 1) ,X 0 X2) , X 0 容易得到 f (0) lim f(x) f(0) lim (X2 X 2)(x2 1) 2 X 0 X X 0 f (0) lim f(x) f(0) lim (X2 X 2)(1 X2) 2 X 0 X X 0 由于f (0) f (0),所以f (0)不存在. 在X1 1附近，f(x)写成分段函数： f2 3 X(1 x)(x2 X 2)(1 X) , X 1 f(x) (X X

8、 2) | X x| X(1 x)(x2 X 2)(x 1) , X 1 f (1) lim f (X)f(1) lim x(1 x)(x： 2 X 2) 4 X 1 X 1 X 1 f (1) lim f(x) f(1) lim x(1 X)(X2X 2) 4 X 1 X 1 X 1 由于f (1) f (1),所以f (1)不存在. 在x2 1附近，f(x)写成分段函数 : z2 c 131 X(1 X)(x2 X 2)(x 1) ,x 1 f(x) (X X 2) | X x| X(1 x)(x X 2)(x 1) , X1 f (x)写成分段函数 1) lim x 1 1) f(x)f

9、( 1) x 1 f(x)f( 1) x 1 lim x(x 1)(x2 x 1 x 2)0 lim x(x 1)(x2 x x 0 f ( 1)存在 lim x 1) 由于 综合上述分析 1 f ( 1)0,所以 ,f (x)有两个不可导的点 2) 0 例 5(95103) F(x)在 x 0处可导的( (A)必要但非充分条件 (C)充分且必要条件 答案C 分析 从F(x)在x 0的导数定义着手 F(x) 解 设f (x)具有一阶连续导数，F(x) f (x) ) (1 |sin x|),则 f(0)0是 (B)充分但非必要条件 (D)既非充分也非必要条件 (0) (0) f(x) 将 f

10、(x) |si n X | lim x 0 f(0) F(x) F(0) lim f(x) f(0) lim f (x) | sin x| f (0) |sin0| x 0 Mill x 0 x 0 Mill x 0 x 0 f (0) f(0) F(x) F(0) lim f(x) f(0) lim f (x) |sinx| f (0)|sin0| x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 (1 |si nx|) f(x) f (0) 于是推知F (0) F (0)的充分必要条件是 例 6 (92103)设函数 f (x) 3x3 x2 n () (A)0 答案C 解题思路应先去掉 f(0)

11、0. |x| ,则使 f (n)(0)存在的最高阶数 (B)1 (C)2 (D)3 f(x) 3x3 由 f(x) 3x (x) (x) 6x2 12x2 12x 24x (0) lim x 0 f (x)中的绝对值，将f (x)改写为分段函数 0 0 x2|x| x2 |x| 2x3 4x3 2x3 4x3 f(0) x 0 (x) 12 24 f (0) lim X 0 所以f (0)存在. f (0) lim f X 0 f (0) lim f X 0 所以f (0)存在. f (0) lim f X 0 f (0) lim f 即 f x 0 f x 0 (X)f (0) x 0 (x

12、) f (0) (X)f (0) x 0 (X) f (0) x 0 )f(0) x 0 4x30 x 0 lim x 0 lim x 0 6x20 x 0 12x2 (0) 7 f (x) .12x 0 lim 12 x 0 x 0 .24x 0 lim 24 x 0 x 0 (0).因而使f(n)(0)存在的最高阶数是2. 2 cos | X | X | X |存在的最高阶导数的阶数等于( 0 答案C 2 解题思路 注意cos|x| cosx,所以只需考察x | x|在点x 0的情况. 例 8(96203)设 2 f (x) X，则 x (A)间断点， (C)可导的点, 答案 C 解由题目

13、条件易知 0, f(x)在区间( 0必是f(X)的( 且 f(0)0 f (0)0,因为 | f(x) X 所以由夹逼定理 于是f (0)0. 例 9 (87103)设 f(x) (A)0 (B)1 ,)内有定义，若当x ( ) (B)连续而不可导的点， (D)可导的点，且f(0) f(0) | | f(x)| x f(X) f (0) x2 e ,)时，恒有 答案(C) x 0, 2 |J x 0,则 f (0)为() 0. (C)1 (D) 解题思路 因f(x)为分段函数，故它在分段点处的导数应按导数的定义, 又由于是0型 0 未定式，可用洛必达法则求极限 1 ex2 f(0) lim f

14、(x) f(0) X 0 当u 0时,eu 0 limx x 0 X 0 1与u是等价无穷小，所以当X ,X2 r 1 e lim X 0 0时,1 2 X X22 e 与X是等价无穷小.因而 X2 e 2 X 例 10 (88103) 1 设f (x)可导且f (X0)2 0时，f(x)在Xo处的微分dy与 x比较是( (A)等价 答案B 解题思路 的无穷小. (B)同阶 (C)低阶 (D)高阶 根据 解 lim X dy 0 X lim X 0 f (x)在 1 -X 2 X x X0处的微分的定义：dy f(X0)x. 例 11 (87304) 函数f (x) 1 ,可知dy与 2 .1

15、 xsi n , X 0, x是同阶的无穷小. 0 在 X 0 处( 0 (B)连续，不可导 (D)不仅可导,导数也连续 (A)连续，且可导 (C)不连续 答案B 解题思路一般来说，研究分段函数在分段点处的连续性时，应当分别考察函数的左右 极限；在具备连续性的条件下，为了研究分段函数在分界点处可导性，应当按照导数定义，或 者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此，本题应分两步：(1) 讨论连续性；(2)讨论可导性. 解(1)讨论函数在点X 0处的连续性 由于 IXm0 f (x) (2)讨论函数在点 由于lim x 0 X lim xsin 0f (0),可知函数f (x

16、)在点x 0处是连续的. x 0 X X 0处的可导性 .1 C xsi n- 0 lim x X 0 f(0) 0 1 lim sin 不存在，所以，函数f (x)在点 x 0 X x0处不可导. 例12设f(X) xP .1 sin-, X x 0 ,x 在点x 0可导，但是f(X)导数在点x 0不连续,则 p必须满足( A 0 P 1 答案B 解题思路 (1)当P 1时，下述极限不存在： limf(x) f(0) x 0 x 因此f (0)不存在. 当p 1时， P .1 x sin limx x 0 x xmX 1 . 1 si n x limf(x) f(0) x 0 x 所以f (

17、0)0. 这就是说 当 P .1 x sin limx X 0 x xm0 xP sin10 x f (x) 当且仅当 ，只有当P P 1时 1时,f (0)才存在，所以选项 A,C可以被排除. 0 p 11 p px sin x x p 20 ,即 p ,x 2 1 COS, x 2 时,lim f x 0 (x)0 f (0),所以当且仅当1 p 2时, f (x)在点x 0可导，但是f(X)在点x 例13 (95403)设f(X)可导，且满足条件 0不连续 f(1)f(1 x) lim x 2x 1,则曲线y f (x)在 (1, f (1)处的切线斜率为( (A) 2, (B) 2,

18、(C)2, (D) 答案 解记 x,则有 lim f(1)f(1 x) x 0 2x f(1 u) f(1) u f (1) 例14 (A) (1 答案D 解题思路 高阶导数 2 1 2x 2)( 2)( y(10) y ln(1 9! 2x)10 2x)，则 y(10) ( 9! (B)( (C) 10! 29 (1 2x)10 (D) 9!210 (1 2x)10 求高阶导数的一般方法是：先求出一阶、 1)( 2)( 1)( 2)爲 1)( 2)( 2)(?畚 9! 210 (1 2x)10 二阶、三阶导数 ;找出规律，即可写出 f （X） ( )，(n 2). (A) n! fn 1(x

19、) (B)nf n1(x) (C) f2n (X)(D)n! f2n(x) 答案A 解题思路 这是一 个求高阶导数的问题 ,涉及到求抽象函数的导数. 解由f （X）有任意阶导数且 f (X) 2 f (x),可知 f (X) f2(x) 2f(x) f (X) 2f(x) f2(x) 2f 3(x), f (X) 2f3(x)3 2f 2(x) f (X) 3f4(x) 依此由归纳法可知 f(n)(x) n!fn 1(x) 设函数f（X）有任意阶导数,且f（X） f 2（x）,则 例 17(90103) 1,n2时虽然（B）也正确,但当n 2就不正确了 ,所以将（B）排除之； 注意当n （2）

20、在求导数 2 2 f （x）时，可将函数f（X）看成是由y t2与t f（X）复合而成的， 则根据复合函数的求导法则，故 f2(x) (t2) f (X) 2t f（X） 2f(x) f(X). （初学者可能会这样做 :f2(x) 2f（X） ,后面丢掉一个因子 f(X). 例 18(91303) a,b是常数，则( 0,b 3,b （A） a （C）a 答案D 解题思路 率也应相等. 解曲线y k1 （x2 ax 若曲线 ） 2 1 2 X ax b和2y 1 xy 3在点（1, 1）处相切，其中 (B)a (D)a 1,b 1,b 两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线 ，从而

21、两曲线的斜 ax b在点（1, 1）处的斜率是 b) 另一条曲线是由隐函数 数得到： 对于方程2y 处的斜率为 k2y 1 (2x 2y 1 a) X 1 3 xy 确定，该曲线在点 （1, 1）处的斜率可以由隐函数求导 3 xy两边求导得到 2 3xy X 2y C 2 3xy y 3 y，解出 y得到此曲线在点（1, 1) 令k1 b 例 k2，立即得到 1. 19 y 1.再将a 1,x 1,y 1代入y X2 ax b中得出 f(x) 设f (x),g(x)定义 X 0 ，则( 0 0且 g(0)0, 1且 g(0)0 (A)IXm0g(x) (C)lXm0g(x) 1,1)， 且都在

22、 0处连续， lim0g(x) 0且g(0) X 0 (D)lim0g(x) 0 且 g(0) X u 答案D 解题思路 解既然 X叫g(x) 分析函数f (X)的表达式，并运用f(X)在X 0处连续这一关键条件. 0处连续，于是必有lim f (x) lim g凶 2 ,于是必有 X 0 X 0 X limW 2. x 0 X f(X)在 x 0 .于是又有 (0) lim g(x) g(0) X 0 例20 (99103)设 f(x) 1 cosx x2g(x) 0其中g (X)是有界函数，则f (X)在X 0 ) (A) (C) D 极限不存在 连续,但不可导 (B) (D) 极限存在，但不连续 可导 答案 解题思路 解 若能首先判定 f(X)在 X 0处可导，则(A)、 (B)、 (C)均可被排除. (0) f(x) f(0) X 0 1 cosx lim 3 X 03 X空 2 X 2 3 X2 1 lim X 02 2 X 3) f(x