2010考研数一真题及解析

1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题(18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合x2题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)极限 lim(r t(x _a)(x + b)数学(一)试题第5页共4页(A) 1.(B)e.(C)(D)eb(2)设函数Z二z(x, y),由方程丫，兰惶0确定，其中f为可微函数_:Z ;Zx二 y 二=():x : y(A) X.(B)(C)(D)一乙(B)(D)设m,n是正整数，则反常积分(A)仅与m的取值有关.(C)与m,n取值都有关.1 mln2 1 -x一一 dx的收敛性(0 nx仅与n的取

2、值有关与m,n取值都无关.(B)0 1 x 1 ydy.1 x(A)0dx0 1 x 1 y2 dy.1 1(C)0dx01 x1 ydy.(D)1 1妙。1 x 1 y2 dy.设A为m n矩阵，B为n m矩阵,E为m阶单位矩阵，若AB = E ,则()(A)秩r A 二m,秩r B =m.(C)秩r A 二 n,秩r B = m.(B)秩 rA 二m,秩 rB 二 n.(D)秩r A = n,秩 r B = n. 设A为4阶实对称矩阵，且A2 A = O ,若A的秩为3,则A相似于()1 、111(A)1(B)-1、 0、 01 、C1、-1(D)-1-1-11 01 0(C)（7）设随机

3、变量X的分布函数F(x)二0,121-e0 0(A) 2a 3b = 4.(B) 3a 2b = 4.(C) a b = 1.(D) a b = 2.二、填空题(9 : 14小题，每小题4 分,共24分.请将答案写在答题纸.指定位置上.)-tI x=e ,d2y(9) 设彳 t 2 求马 =.y= (ln (1 +u )du,dx tm(10) x cos、, xdx =0 (11) 已知曲线L的方程为y =1 x1,1】,起点是(1.0),终点是(1,0),则曲线积分 l xydx x2dy 二.(12) 设门= x, y,z x2 y2 _ z 一仁，则】的形心的竖坐标 z =.、rTTT

4、(13) 设円=(1,2,1,0 ),色=(1,1,0,2 ) ,S =(2,1,1,a ),若由 a 12 3生成的向量空间的维数是2,则a=则 E X2=（14） 设随机变量X的概率分布为C , k =0,1,2，k!三、解答题（1523小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.）(15) (本题满分10分)求微分方程y _3y 2y = 2xeT的通解.(16) (本题满分10分)2求函数f x： I x2-1 edt的单调区间与极值.(17) (本题满分10分)1_-_n1(I) 比较.L Int h (1+t)l dt与 Ltn lnt

5、dt( n= 1,2,)的大小,说明理由；1_-n(II) 记 un = jjlnt In(1+t 升 dt (n = 1,2,),求极限 限山(18) (本题满分10分)寸n A.求幕级数-一x2n的收敛域及和函数n 2n 1(19) (本题满分10分)2 2 2设P为椭球面S: x y z- yz = 1上的动点，若S在点P处的切平面与 xOy面垂直,求点P的轨迹C,并计算曲面积分I二 彳 3 y 2z dS,其中匕是椭球面S位R4 + y2+z2-4yz于曲线C上方的部分(20) (本题满分11分)怎1 广0 九10,b =1,已知线性方程组J 1 Ax二b存在两个不同的解(I )求-,

6、a ；(II)求方程组Ax二b的通解.(21) (本题满分11分)T22已知二次型f(X1, X2, X3) = X Ax在正交变换X = Qy下的标准形为yy y2,且Q的第三列为(一2,0, 2)t.2 2(I ) 求矩阵A ；(II ) 证明A E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵(22) (本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y) =Ae 2xyV , -；： x ；，一二：y ：=求常数A及条件概率密度fY|X(y|x).（23）（本题满分11分）设总体X的概率分布为X123P1 -0日-62其中参数三0,1未知，以Ni表示来自总体 X的简单随机样本（样本容量

7、为n）中等于i的3个数（i =1,2,3）.试求常数a ,a2,a3,使T二為aiNi为二的无偏估计量,并求T的方差.i 42010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题（1）【答案】（C）.【解析】本题属于未定式求极限,极限为1:型,故可以用“ e的抬起法”求解.x2x2lim -x ； ： x - a x b其中又因为x2xlnlim x ln _= lime L严)(心严),x_ ：:x2lim x Inxxa x b=lim x In 1XT:-x2_(xa)(x b) |(xa)(x b)x x2 -(x-a)(x+b) I =lim x_ ；(x -a)(x b)

8、2(a-b)x +abx=limx (xa)(x b)故原式极限为ea所以应该选择（C）.【答案】(B).Oz【解析】.xFxFzF1 _x2F2 -F2 1xF1yxzx = yFi zExF2：z _ Fyy Fz1XF2 1xF2y三肿F1疋座F2F2F； zz F2【答案】【解析】x = 0与x =1都是瑕点.应分成(D).1m ln2 1 -x0 n；dx,丄In 2(1-x)戶用比较判别法的极限形式，对于 門n ：_x）dx,由于lim+1xn11 2xn_m=1.数学（一）试题第7页共4页1 2显然，当0 ：-:：: 1,则该反常积分收敛.n m当-0, lim 1(1严“存在，

9、此时孑如2x)dx实际上不是反常积分，故收 n m x 0 n0 n xxn敛故不论m,n是什么正整数:min2 -X0 以dx总收敛对于Jin2 仁xdx ,取0 ：. : 1,不论m, n是什么正整数，1in 2(1-x沪1nlimxX ：1 -1(1 -x)1lim in2(1 x)吊(1 x) =0,x_1 -【答案】n.x(D).dx收敛,故选(D).nz 2 2j生 n i n jn=11i=11 n-ei j弓nj,”丄)n ilim ,: n厂j吕n2 j21 n 1 -lim 丄n 5 j” .(j)201 yn11 ?dy,1 n =limn :n 心 1 L)ndx,1

10、xnlim 二nn i nn 1F)(J1=(0dx)(n1 1dy) *011 x 1y2dy.【答案】(A).【解析】由于 AB二E ,故r(AB)二r(E)二m.又由于r(AB)乞r(A), r( AB)乞r(B),故m r(A), m r(B)由于A为m n矩阵，B为n m矩阵，故r(A) 能为-1或0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中F(x)的形式，得到随机变量 X既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，所以求随机变量在一点处的概率，只能利用分布函数的定义

11、.根据分布函数的定义，函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差，即1 1PX =1, PX 乞1? - PX ：1心 F 1 - F 1-0 =1 - e，e，,故本题选(C).(8)【答案】(A).【解析】根据题意知， x二1 f=e 2 (_： x ：:),2-1,一1乞x乞3f2 x = 40,其它利用概率密度的性质：.f x dx=1,故-O0: 0 :f x dx 二：af1 X dx 0 bf2 x dx 所以整理得到2a 34,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】a :231 a1xdx b0；d2-140.【解析】因为dy = l n 1 t2 dx丄=-1 n 1

12、t2 -eet,d2y d -In 1 t2 etdtL =I. dx2dt八2t2dx IL 1 tln 1 t2=0t 二0数学(一)试题第9页共4页(10)【答案】-4-.【解析】令、x = t, X =t2 , dx二2tdt ,利用分部积分法STTT oTT o原式二 0tcost 2tdt02t COStdt-Jtdsint=2 t2 si ntJI 0 _nq n0 2t sin tdt =4 0 td cost=4 it cost0COStdt X：cos 4sint0： = -4：.（11）【答案】0 .【解析】2 2 2xydx x dy xydx x dy 亠 i xyd

13、x x dyLL1 L2 x 1 x dx x2dx ： X 1 一 X dx X2 -dx0 2 1 22x x dx 0 x-2x dx_ 32x2x+21x2 2x3 x(12)2【答案】-3【解析】111zdxdydzQ11 idxdydzQ（13）【答案】a=6.【解析】因为由?1,:2, 3进行初等行变换:11d rdr 2 zdz0 0+2 二.1 100rdr p2dz2：-:02二 1丄d = 0 6ji生成的向量空间维数为J心尸1 + X /1、： 厶：y = 1 _ ?：X .C-LO)(10)dr2J1 20 1-r rdr門12,所以（出耳耳尸？.对（,口2卩3）数学

14、（一）试题第8页共4页M 12、1 2、1 2、2 1 10 -1 -30 13TT-1 0 10130 0 a -61 2 a1 2 a卫00数学(一)试题第21页共4页所以a = 6.(14)【答案】2 .【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质，知:c1八 p；.X =Ce,整理得到C=e，即k =0k=0 k!1k 一 e k!JPX =k；= Jk!故X服从参数为1的泊松分布，则E X =1,D X =1,根据方差的计算公式有2 _22E X 二 D X F：； E X =11=2.三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2-3，2=0,解得特征根1,2,所以对应齐次方程的

15、通解为 y C1ex C2e2x.,*x设原方程的一个特解为 y =x(ax+b)eX,则*2xy 二 ax 2ax bx b e ,*祁2xy = ax 4ax bx 2a 2b e ,代入原方程，解得a = -1, b = -2,故特解为y* = x( - x - 2)ex.故方程的通解为 y = yc y* = C1ex C2e2x - x(x 2)ex.x2 222 x2 2x22(16)【解析】因为 f(x) (x2-t)edt = x2 ie dt- ite dt,x2t23434x2 t2所以 f (x) =2x e dt 2x3e -2x3e2x e dt ,令 f (x) =

16、 0 ,则1 1x = 0, x - -1.x2.224又 f (x) = 2 J e dt 4x e0 +2,则 f (0) =2“ e dt ：0,所以0_t21x2f(0) = X (0 -t)e dt 一尹是极大值.而(_1)=4e0,所以f(_1)=0为极小值又因为当 x _1 时，f (x) 0 ； 0 乞 x ： 1 时，f (x) ： 0 ； 一 1乞 x ： 0 时，f (x) 0 ；X :： -1时，f(x)：0,所以f (x)的单调递减区间为 (-：，-1)(0,1), f(x)的单调递增区间为(一1,0)(1, ：)(17)【解析】(I)当 0 ： x : 1 时 0

17、: ln(1 x) ： x,故In(1 t)丨：tn,所以In t In(1 +t)|ln t tn,则|lnt【In(1+t)dtc J；|lnttndt (n = 1,2,).1 1 1(II) In t tndt = - I nt fdt = In td (tn十)=2 ,故由opn +1( n+订12(n +1)根据夹逼定理得0乞Iim unnC Iim-_2nY(n +1)=0,所以Iim山=0n_c(18)【解析】(I) Iimnsc(n心(T) x2(n 1)2(n 1)-1(-1严 /2n 1(-1)nx2n2=Iim2n 1n A 2n(-1) x2n 1(2n -1)x2=

18、 Iim 严1 x2=x2, n2 n 122所以，当x ： 1,即-1 ： x :： 1时，原级数绝对收敛当x 1时，原级数发散，因此幕级数的收敛半径R = 1. (_1)n (_1、n4当X = _1时，x2n,由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级2n 1n = 2n 1数的收敛域为-1,11.00 严(00 / 1n、(II)设S(x)=送匕亠 x2n =x忑 上f ,其中令n# 2n -12n -1oO3(x)八n =(-1)22n12n 4上 jt jtx x -1,1 ,所以有SUx) J(1)nx22/(x2)nx -1,1 ,ngnJ从而有1 1S1 (x)2 2 x 1,1

19、 ,1 (x )1 +x故x 1S(x) _ 2 dx + S(0) _arctanx,x(1,1).1 +xS1(x)在x=1,1上是连续的,所以S(x)在收敛域1-1,1上是连续的所以S(x) = x arctan x, x 1-1,11.(19)【解析】(I )令F x, y, z =x2 y2 z2-yz-1,故动点P x,y,z的切平面的法向量为 2x , y z , 2 y由切平面垂直xOy ,故所求曲线C的方程为f- 222x + y + z _yz=12z _ y = 0(II )由y2z2 _yz = 1,2z-y =0,消去z,可得曲线C在xOy平面上的投影曲线所围成的xO

20、y上的区域D ：( x,y)|x23y4：z 2：z dxdy-4:y2 _ 1,由 x2y2z2 - yz x = 1 x,由2 2y z 4yzy _2zdxdy,4 y z24yz(20)【解析】因为方程组有两个不同的解 以通过秩的关系求解方程组中未知参数11 x 、3 dxdy 二 xdxdy 亠 11 -、3dxdyDDD=- 3dxdy = 3 二 1 = 2：二.d3,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可,有以下两种方法方法1： ( I )已知Ax二b有2个不同的解，故r(A) =r(A) n1k1广11丸1 )T0Z-101T0人-101121九 1ka 一丸J10彳

21、1 21 丸a 丸+1丿Z1 1 1，1q 1 11k =1 时,At0 0 0： 1IT000 i 1je 0 od-2-10,由于 r (A) =r (A) 3,所以 a = 2 ,故扎=1 , a = -2.方法2 :已知Ax二b有2个不同的解,故r(A) =r(A) ：3,因此A =0,即0 -102=( -1) ( 1)=0,知兔=1或-1.兔一1 .由 r(A) -r(A),得当=1时，r(A) =1 = r(A) =2,此时，Ax=b无解，因此-2.(II )对增广矩阵做初等行变换*-111Q，Z1-1-12、0-201T020-1J 1-11丿1000丿A 二0彳3-1-2;1

22、0一一200可知原方程组等价为匸1 zrx=X30x3,写成向量的形式，即3Xix3 石12因此Ax = b的通解为32120,其中k为任意常数.(21)【解析】(I )由于二次型在正交变换 x二Qy下的标准形为2 2y1y2,所以A的特征值_ T,所以A对应于7=0的特征向量为由于Q的第3列为 二0半I22丿记为：3.由于A是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的片=芯=1的特征向量为a =(X1,X2,X3 ),则a Ta3=0,即 xx0 .求得该方2 2程组的基础解系为 8 =(0,1,0 ) ,。2 =(1,0,1 T ,因此0( 1/2为属于特征值人=1的两个线性无关的特征向量.由于冷，2是相互正交的，所以只需单位化: 1T -FT（0,1,0），2TTE1 （-1,0,120旦2,则 qtaq故 A =QQt(II ) A E也是实对称矩阵，A的特征值为1,1,0,所以A E的特征值为2