函数的连续及其应用

1、难点33函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系(X -1) (x0,b0)至少有一个正根，且它不大于a+b.命题意图：要判定方程f(x)=O是否有实根.即判定对应的连续函数 y=f(x)的图象是否与x轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正错解分析：因为本题为超越方程，因而考生

2、最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明：设 f(x)=asinx+b x,则 f(O)=b0,f(a+b)=a sin(a+b)+b (a+b)=a sin(a+b) 1w 0,又f(x)在(O,a+b内是连续函数，所以存在一个x (O,a+b,使f(xo)=0,即xo是方程f(x)=0 的根，也就是方程 x=a sinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不大于a+b.锦囊妙计1. 深刻理解函数f(x)在xo处连续的概念：等式lim f(x)=f(xo)的涵义是：(1)f(xo)在x=xo处有定义，即f(xo)存在；(2) lim f(x)

3、存在，X 谈0x这里隐含着f(x)在点x=Xo附近有定义；(3)f(x)在点Xo处的极限值等于这一点的函数值，即lim f(x)=f(xo).X %函数f(x)在x0处连续，反映在图象上是f(x)的图象在点x=x0处是不间断的.2. 函数f(x)在点xo不连续，就是f(x)的图象在点x=Xo处是间断的.其情形：(1) lim f(x)存在；f(xo)存在，但 lim f(x)丰 f(xo);(2) lim f(x)存在，但 f(xo)不存在.(3)x=XoX 必JXolim f(x)不存在.X %3. 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点

4、Xo是定义区间内的一点，那么求XTXo时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点Xo处的函数值f(Xo)就可以了，即lim f(x)=f(xo).歼灭难点训练一、选择题A.321在点x=o处连续，则3 1 X -1f(o)等于(B.23C.1D.o，广X1?.()设 f(x)=1o ： x : 1X =1 则f(x)的连续区间为(1 ：x ：2A.(o, 2)C.(o , 1) U (1 , 2)二、填空题B.(o, 1)D.(1 , 2)3.(H ) Hm1x2 -ln(2 -x)4arcta nx11 - 1 - x .(* )若 f(x)= xa +bxx ：0处处连续，则a的值为x _

5、0三、解答题1(x = 0)(x=0)2 -15. ( )已知函数 f(x)=1|2x +11(1)f(x)在 x=0处是否连续？说明理由；讨论f(x)在闭区间1,0和0,1上的连续性1 - 1 - x1 (x：0)1 xa bx(x 亠0)(1)求 f( x);求常数a的值，使f(x)在区间(g，+g)内处处连续.32?.()求证任何一个实系数一元三次方程aox+a1X+a2X+a3=O(ao,a1,a2,a3 R,aM 0)至少有一个实数根.x(X 空 1)&.()求函数f(x)=1的不连续点和连续区间.jlogzd/ (xa1)参考答案难点磁场解：(1) lim f(x)=3, |im

6、f(x)= 1,所以 im f(x)不存在，所以 f(x)在 x= 1 处不连续，x 1x 1 x . 1但lim f(x)=f( 1)= 1, lim f(x)丰f( 1),所以f(x)在x= 1处右连续，左不连续x -.1x 1 lim f(x)=3=f(1), lim f(x)不存在，所以lim f(x)不存在，所以f(x)在x=1不连续，但左连X1 -X ：1x 1续，右不连续.又 lim f(x)=f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 处连续.x )0(2)f(x)中，区间(g， 1), : 1,1 ,(1,5上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x= 1夕卜，再也无不连

7、续点，所以f(x)的连续区间是(一g , 1), : 1,1和(1,5.歼灭难点训练一、.解析：f(x) _山丙+1)(V T)哥(1+x)2 代丙+1(jX+1)(1 + x)2 +3/X+1V11(3 1 x)23 1 X 1J1 +x +1f(0)二1111 1答案：A2.解析:lim f (x) = lim 1 =1 I十I十1 lim f (x)二 lim x =1, lim f (x)= f (1)：X 1 -X_1 X 12即f(x)在x=1点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.答案：C二、3.解析：禾U用函数的连续性，即卩limf (x)工 f(X0)X汎2 2.

8、x-si n(2x) 1-s in (21)1i- limx 14 arcta n14arcta n1二答案：1JI4.解析1:；1 -X1 1:lim i (X) - limlimx_0 x_0 -Xx_0 T.1-x 21 lim f (x) = lim (a bx) =, a = X_0 x_0 2三、5解:f(x)= 1T(x =0)2x 1(x =0)(1)f(x)在x=0处不连续.lim f(x)= 1, lim f(x)=1,所以 lim f(x)不存在，故x 0 =limf(x)=f(0),所以a=- x2 27. 证明：设 f(x)=ax +a1X +a2X+a3，函数 f(

9、x)在(一a，+ a )连续，且 x + a时，f(X)T +a ;x T a时，f(x)T a，所以必存在 a ( a，+ a),b ( a , +a),使 f(a) f(b)V 0,所以 f(x) 的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.8. 解：不连续点是 X=1,连续区间是(一a ,1),(1,+ a)x0 亠X 0(2)f(x)在(一a，+a)上除x=0夕卜，再无间断点，由(1)知f(x)在x=0处右连续，所以f(x)在1, 0上是不连续函数，在0,1 上是连续函数.(x 0)(x-0)1 x -16.解：(1)f( x)= Xabx要使f(x)在( a，+ a )内处处连续，只