全称量词和存在量词完美版

1、全称量词和存在量词 教学目标 1. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意 义； 2. 能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称 命题和特称命题的真假 教学重点及难点 理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的 真假 教学类型：新授课 教学过程 引入 下列语句是命题吗 X 3 ； (2)2x+l是整数; 对所有的*R, a3； 对任意一个xgZ , 2x + l是整数。 (1)与(3)、与之间有什么关系 结论：由命题的定义出发，(1) (2)不是命题，(3) (4)是命题。 分析(3) (4)分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x 进行限定，从

2、而使(3) (4)称为可以判断真假的语句。 教授新课: 1全称量词和全称命题的概念： .概念： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符 号表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 例如： (1) 对任意mN , 2n + l是奇数; 所有的正方形都是矩形。 常见的全称量词还有： 一切”、“每一个”、任给”、所有的”等。 通常，将含有变量X的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量X的取 值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个X,有川)成立”。简记为：VaM, p(.x) 读作：任意X属于M,有p(a)成立。 .例1：判断下列全称命题的真假： 所有的素数都是奇数；

3、(2) 匕gr, x2+ii ; 对每一个无理数X,疋也是无理数。 (学生练习一一个别回答一一教师点评并板书) 点评：要判定全称命题的真假，需要对取值范围M内的每个元素X, 证明p (x)是否成立，若成立，则全称命题是真命题，否则为假。 2.存在量词和特称命题的概念 引入： 下列语句是命题吗 (1)2a + 1 = 3； x能被2和3整除； 存在一个xeR,使2x + l = 3； 至少有一个xwZ , X能被2和3整除。 (1)与(3)、与之间有什么关系 结论：由命题的定义出发，(J) (2)不是命题，(3) (4)是命题 分析(3) (4)分别用短语“存在一个”“至少有一个”对变量x 进行

4、限定，从而使(3) (4)称为可以判断真假的语句。 概念： 短语“存在一个”、“至少一个在逻辑中通常叫做存在量词，用 符号“畀表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)。 例如： 有一个素数不是奇数； 有的平行四边形是菱形。 常见的存在量词还有“有些、“有一个、“对某个”、“有的”等。 特称命题存在M中的一个X,使“(X)成立。简记为：, p(x) 读作：存在一个X属于M,使“(X)成立。 例1:判断下列存在性命题的真假： 有一个实数X,使x;+2a+3 = 0成立； 存在两个相交平面垂直同一条直线； 有些整数只有两个正因数。 （学生回答一一教师点评并板书） 点评：要判定特称命题是

5、真命题，只需要在取值范围M内找到一 个元素X0,使P（Xo）成立即可。如果在M中，使P（Xo）成立的 元素X不存在，则这个特称命题是假命题。 三小结 全称量词，全称命题，存在量词，特称命题的概念 及如何判定全称命题与特称命题的真假性 四. 练习： 五. 作业： 含有一个量词的命题的否定 教学目标 1. 进一步理解全称命题与特称命题的意义; 2. 能准确地写出全称命题和特称命题的否定，并掌握其之间的关 系。 教学重点：全称命题和特称命题的否定 教学难点：全称命题与特称命题的否定，及其它们之间的关系 教学类型：新授课 教学过程： 一.复习引入： 1. 全称命题与特称命题的概念 2. - ,探究：写

6、出下面命题的否定： 4.所有的矩形都是平行四边形 (1) 每一个素数都是奇数 (2) VxeR, xJx+120 问：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化 分析：上面命题都是全称命题，即具有“ yw, /心)”的形式。 其中，命题(1)的否定是：“并非所有的矩形都是平行四边形”， 也就是说“存在一个矩形不是平行四边形”。 注意区别：(1)的否定不是“所有的矩形都不是平行四边形”，是 由于对于原命题，我们只要找到存在一个矩形不是平行四边形就 可以否定原命题，而并不排除有其它的矩形是平行四边形。 所以同理，可以得出：命题(2)的否定是：“并非每一个素数都 是奇数”，也就是“存在一个素数不是奇数”

7、； 命题(3)的否定是：并非所有的xWR, x一2x+l$0”，也就是 说m xER, x2-2x+10o 发现：上述例子中的全称命题的否定都成立特称命题 ( 3，新课教授: 1 全称命题的否定 从上述例子可以看出：三个全称命题的否定都成了特称命题。 一般来说：对于含有一个量词的全称命题的否定，有下列结论： 全称命题 P： VxwM , p（x） 它的否定 r? ： 3x&m ,（x） 也就是说全称命题的否定是特称命题 例题（课本例3）：写出下列全称命题的否定山 （1）P：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个平行四边形的四个顶点共圆 （3）P：对于任意的xFZ, /的个位数字不等于3

8、 （学生练习一一个别回答一一教师点评） 2.特称命题的否定： 引入：全称命题的否定是特称命题，那么特称命题的否定是否 为全称命题呢 探究：写出下列命题的否定： （1）有些实数的绝对值是正数 （2）某些平行四边形是菱形 （3 ）3 xeR , X+1O 这些命题的否定是什么 分析：上述命题都是特称命题，即具有形式：“玉，必v）”。 其中（1）的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也 就是说，所有实数的绝对值都不是正数。 I 注意区别：（1）的否定不是“有些实数的绝对值不是正数，而是 “所有实数的绝对值都不是正数”，因为前者只否定了一部分，不 确定是否排除有其它的实数的绝对值是正数，故应

9、该是后者。 同理：（2）的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”也就是说： “每一个平行四边形都不是菱形” （4）的否定是“不存在代R, X2+l0” 从上述例子可以看出：三个特称命题的否定都成了全称命题。 一般来说：对于含有一个量词的特称命题的否定，有下列结论： 特称命题P： dLreM , P（X） 它的否定-/? ： VxeM ,（ X ） 也就是说特称命题的否定是全称命题。 例题（课本例题4）写出下列特称命题的否定： （1）P： 3xeR, X + 2x+lW0 （2）P：有的三角形是等边三角形 （3）有一个素数含三个正因数 （学生练习一一个别回答一一教师点评） 四.小结: 1. 含有一个量词的全称命题的否定： 全称命题 p： VxeM , /?(.v) 它的否定”：HxsM ,(X) 也就是说全称命题的否定是特称命题