初中数学抛物线与几何专题训练及答案

1、全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式： 1、一般式：y ax2 bx c(a工0； 2、顶点式：y =a(x h) 2-+ k; 3、交点式：y=a(x x i)(x x 2 )，这里 x 1、x 2 是方程 ax 2 +bx+c=O 的两 个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而 充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】(0, t),点 Q (t, b)。平移(需站聽)【例1】(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A 次函数y tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：

2、顶点为Q ;与x轴相交于B , C两点(I OB I I OC I ),连结 A, B。(1 )是否存在这样的抛物线F,OA0B| |0C ?请你作出判断，并说明理由；3(2) 如果 AQ / BC,且tan/ ABO= ，求抛物线 F2对应的二次函数的解析式。2【思路点拨】(1)由关系式 OA OB |OC来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。【例2】(江苏常州)如图，抛物线y x2 4x与x轴分别相交于点 B O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点 0,得到直线I,设P是直线I上一 动点（1）求点A的坐标；（2

3、）以点A、B、O P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；（3）设以点A、B、O P为顶点的四边形的面积为 S,点P的横坐标为x,当46.2 S 6 8.2时，求x的取值范围【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（2, 4）,直线x 2【思路点拨】（3）可求得直线I的函数关系式是y=-2x， 所以应讨论当点 P在第二象限时，x0这二种情况。与x轴相交于点B，连结0A，抛物线y x2从点0沿0A方向平移，与直线 x 2交于点P，顶点M到A点时停止移动.（1）求线段0A所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点 M的横坐标为

4、m , 用m的代数式表示点P的坐标； 当m为何值时，线段 PB最短；（3） 当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点 Q，使 QMA的面积与厶PMA的面积相等，若存在，请求出点 Q的 坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（2）构建关于PB的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q落在直线0A的下方时、当点 Q落在直线0A的上方时讨论。【例4】（广东省深圳市）如图1 ,在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c(a 0)的图象的顶点为 D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，1A点在原点的左侧， B点的坐标为(3, 0), OB = OC , tan/ ACO = 3(1) 求

5、这个二次函数的表达式.(2) 经过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.(3) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M、N两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度.(4) 如图2，若点G (2, y)是该抛物线上一点，点 P是直线AG下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时， APG的面积最大？求出此时 P点的坐标和 APG的最大面积【思路点拨】(2)可先以A C E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求 F点的坐 标，再代入抛物线的表达式检验。 (3)讨

6、论当直线 MN在 x轴上方时、当直线 MN在 x 轴下方时二种情况。(4)构建S关于x的二次函数，求它的最大值。【例5】(山东济南)已知：抛物线y ax2 bx c (a工0)顶点C (1,3)，与x轴交于 A、B 两点，A( 1,0).(1) 求这条抛物线的解析式.(2) 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM丄AE于M ,PN丄DB于N,请判断PM 空 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.BE ADFG分别与边过点 S作FG丄EP ,(3) 在的条件下，若点

7、S是线段EP上一点，立.若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、【思路点拨】(2)证厶APMTA ABE竺BE ABPN pb同理：(3)证 PH=BH且厶 APMb PBHAD AB再证 MEPA EGF可得。【学力训练】S 111、(广东梅州)如图所示，在梯形 ABCD中，已知 AB / CD , AD 丄 DB, AD=DC = CB, AB=4 .以AB所在直线为X轴，过D且垂直于AB的直线为y 轴建立平面直角坐标系.(1) 求/ DAB的度数及 A、D、C三点的坐标；(2) 求过A、D、C三点的抛物线的解析式及 其对称轴L.(3)

8、 若P是抛物线的对称轴 L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点 P有几个？(不必求点P的坐标，只需说明理由)2、(广东肇庆)已知点A( a, yJ、B(2a,y2)、C (3a, y3)都在抛物线y 5x2 12x 上.(1、求抛物线与x轴的交点坐标；(2、当a=1时，求 ABC的面积；(3、是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加 以证明；如果不存在，说明理由 .3、(青海西宁)如图，已知半径为 1的e O1与x轴交于 切线，切点为M ,圆心01的坐标为(2,0)，二次函数y 占A, B两点，0M为e O1的 bx c的图象经过A，B两(1)(2)(3)八、

9、 求二次函数的解析式；求切线0M的函数解析式；线段0M上是否存在一点P，使得以P，0, 为顶点的三角形与 OO!”相似若存在，请求出所有 符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.4、(辽宁12市)如图，在平面直角坐标系中，直线y 3x 3与x轴交于点A，与y轴交于点C，物线y ax22 3 x c(a 0)经过A B， C三点.3(1、求过A, B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2) 在抛物线上是否存在点 P，使 ABP为直角三角形， 若存在，直接写出 P点坐标；若不存在，请说明理由；(3) 试探究在直线 AC上是否存在一点 M ,使得 MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标

10、；若不存在，请说明理由.5、(四川资阳)如图，已知点 A的坐标是(一1, 0),点 B的坐标是(9, 0),以AB为直径作O 0,交y轴的负半轴于 点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.(1) 求抛物线的解析式；(2) 点E是AC延长线上一点，/ BCE的平分线 CD交O 0 于点D，连结BD，求直线BD的解析式；(3) 在(2)的条件下，抛物线上是否存在点 P,使得/ PDB =Z CBD?如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.6、(辽宁沈阳)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边 OC在y轴的正半轴上，且 AB 1，OB ,3，矩形

11、ABOC绕点O按顺x时针方向旋转60后得到矩形EFOD 点A的对应点为点E , 点B的对应点为点F，点C的对应点为点D ,抛物线2y ax bx c 过点 A, E, D .(1) 判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2) 求抛物线的函数表达式；(3 )在x轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O, B, P, Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点 P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由.7、(苏州市) 如图，抛物线 y= a(x+ 1)(x 5)与x轴的交点为 M、N.直线y= kx+ b 与x轴交于P( 2, 0)，与y轴交于C .若A、B两

12、点在直线 y= kx+ b上，且AO=BO=.,2 , AO丄BO . D为线段 MN的中点，OH为RtAOPC斜边上的高.(1) OH的长度等于; k=, b =;是否存在实数a,使得抛物线y= a(x+ 1)(x 5)上有一点E,满足以D、N、E为顶 点的三角形与 AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解 析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个 E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB PG V 10. 2 , 写出探索过程.抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】(浙江杭州)(1 )平移y

13、tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q,抛物线F对应的解析式为：y t(x t)2 b.抛物线与x轴有两个交点， tb 0.令 y 0,得 OB tb，OC t . b， |OB| |OC| |(tb )( t J)l ” ”| t2 OA2 ,即t2 b t2,所以当b 2t3时，存在抛物线F使得|OA|2 | OB | | OC |.- 2分2/ AQ / BC , t b,得 F ： y t (x t) t ,解得 X! t 1, x2 t 1 .在Rt AOB中，1)当 t 0时,由 | OB | |OC |,得 B(t 1, 0),当t 10时，由ta nABO|OA| |OB|占，解

14、得t 3,此时，二次函数解析式为3x218x24 ；当t 10时，由ta nABO|OA| |OB|解得t此时，二次函数解析式为21848+ x + 251252)当 t 0时，由 |OB | |OC |,将t代t,可得tt 3,35（也可由 x代x , y代y得到）所以二次函数解析式为y 3 x25+25x -125或y3x218x 24.【例2】(江苏常州)(1)： y x2 4x (x 2)24二 A(-2,-4)(2) 四边形ABRO为菱形时，Pi(-2,4)24四边形ABOR为等腰梯形时，Pi (土 -)5 54 8四边形ABP3O为直角梯形时，Pi(,)5 56 12四边形ABOP

15、为直角梯形时，Pi(,)55(3)2由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线I的函数关系式是 y=-2x 当点P在第二象限时，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为 A、P 则四边形POA A的面积设OA所在直线的函数解析式为kx，【例3】（浙江丽水）（1）y当x 2时,2 2y (2 m) 2m m 2m 4 (0 m 2)解得洛 2, X22，即点Q (2, 3).y轴于点C ,点P的坐标是(2, m2 2m 4) T PB = m2 2m 4 = (m 1)2 3 ,又t 0 m 0),贝U N (R+1, R),a b c 0将A、B、C三点的坐标代入得 9

16、a 3b c 0c 3a 1解得：b 2c 3所以这个二次函数的表达式为：y x2 2x 3（2）存在，F点的坐标为（2, 3）易得D （1 , 4）,所以直线CD的解析式为：y X 3 E点的坐标为（一3, 0）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 F点的坐标为（2, 3）或（一2 , 3 ）或（一4, 3）代入抛物线的表达式检验，只有（2, 3）符合存在点F，坐标为（2, 3）（3）如图，当直线 MN在x轴上方时，设圆的半径为当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r （r0）,则 N (r+1 , - r),代入抛物线的表达式，解得r1.172圆的半径为1H或卫2 2(4) 过点P作y

17、轴的平行线与 AG交于点Q, 易得G ( 2， 3)，直线AG为y x 1 .(x.x2 2x 3),则 Q (x,x 1), PQAPGS APQ S GPQ1 z 21(xx 2) 312时， APG的面积最大此时1P点的坐标为 一2,154apg的最大值为27【例5】(山东济南)(1) 设抛物线的解析式为将A( 1, 0)代入：0抛物线的解析式为y a(x 1)232a( 1 1)33 2y -(x 1)3，即:43 239yxx424(2)是定值,PM PNBE AD/ AB 为直径， / AEB=90 , / PM 丄 AE,. PM / BE APMABE ,PMAPBEABPN

18、PB PMPNAPPB冋理：+:1AD ABBEADABAB(3)v直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EA=EB/ AEB=90 AEB为等腰直角三角形./ EAB= / EBA=45 7 分PAPMPBBHPAPMPMPBPHMEX J LRt AOD , OA=1 , OD= 3 ,A (-1 , 0), D (0,x;，3 ), C (2,3 ).如图，过点P作PH丄BE于H ,由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， PH = ME 且 PH / ME在厶APM和厶PBH中/ AMP=Z PHB=90 ,/ EAB=/ BPH=45 PH=BH2a- (5a2+12a) =4

19、5a2+36a.42x（2）过点M作MF x轴，垂足为 F Q OM是e O1的切线，M为切点，O1M OM （圆的切线垂直于经过切点的半径）在 Rt OO1M 中，sinO1OMO1MOO1Q O1OM为锐角,OiOM30oOM OOi gcos30o在 RtA MOF 中，OFOM gcos30o.32MF OM gsin30 3 -2设切线OM的函数解析式为 ykx(k0），由题意可知线OM的函数解析式为y（3）存在.过点A作AR x轴,与OM交于点R .可得 Rt ARO s Rt MO1O（两角对应相等两三角形相似）RA OAgta n AORtan 30oR 1,过点A作AP2 O

20、M，垂足为P2，过F2点作F2H OA，垂足为H .可得Rt AR2O s Rt QMO （两角对应相等两三角开相似）在 Rt OR2A 中，QOA 1,OR2OAgcos30o在 Rt OP2H 中，OHOF2gcosAOP23 、3F2H OP2gsin AOP2P2符合条件的P点坐标有1,2 3,24、（辽宁12市）解：（1） Q 直线 y 、,3x.3与x轴交于点A，与y轴交于点C .A( 1,0) , C(0,Q点A, C都在抛物线上,2応0 ac3.3 c抛物线的解析式为x2顶点F 1,4、33（2）存在 r（o, 73）b（2,妁（3）存在理由：解法一：延长BC到点B，使BC B

21、C，连接BF交直线AC于 点M，则点M就是所求的点.过点B作BHAB于点H .Q B点在抛物线.3 22、3x3x 13 上，B(3,0)3x在 RtA BOC 中，tanOBCOBC 30o,BC2 3 ,在 RtA BBH 中，BH丄BB3 ，2 .34 333k bk bBH 一 3BH 6 , OH 3, B( 3, 23)设直线B F的解析式为y kx bk仝解得 6 _K3/3b3 /3x解得y3710 3在直线AC上存在点M，使得 MBF的周长最小，此时 M 3,775、（四川资阳） T以AB为直径作O O,交y轴的负半轴于点 C,/ OCA+ / OCB=90 , 又/ OCB

22、+ / OBC=90 ,/ OCA= / OBC , 又/ AOC= / COB=90 , AO8 COB, OA OCOC OB 又 A( -1, 0), B(9 , 0),1OCOC9，解得OC=3（负值舍去）.- C(0, 43),设抛物线解析式为y=a(x+1)(x -9),图10 g(0+1)(0 -)，解得 a=,3二次函数的解析式为y= - (x+1)(x -9),即 y= 1 x2 8 x -3.333(2) T AB 为 O的直径，且 A( - , 0), B(9 , 0), OO =4, O (4 0),点E是AC延长线上一点，/ BCE的平分线 CD交O O于点D,11

23、/ BCD= / BCE= 90 45 2连结 O D 交 BC 于点 M,则/ BO D=2/ BCD=Z 45 =90 00 =4, O D=1 AB=52二 D(4, -5).设直线BD的解析式为y=kx+b (k0).9k b 0,解得 k 1, 4k b 5.b 9.直线BD的解析式为y=x -9.(3) 假设在抛物线上存在点P,使得/ PDB= / CBD ,设射线DP交O O于点Q,则?Q Cd .分两种情况(如答案图1所示):O (4 0), D(4 , -5), B(9 , 0), C(0 ,-).把点C、D绕点O逆时针旋转90使点D与点B重合，则点 与点Q1重合，因此，点Q

24、1(7 , -4)符合BQ Cd , D(4 , -5), Q1(7, -4),用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y= 1 x -19 解方程组图10答案图1119x331 2 8 x x33得3.33y19-.41229416X2y29412294129 石2941 )不符合题意,6点 P1坐标为（941 ,皀 41）,坐标为（941 ,2 6 2 舍去. Q1（7 , -4）,点Q1关于x轴对称的点的坐标为 Q2(7 , 4)也符合BQ Cd . D(4 , -5) , Q2(7 , 4).用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x -17.y3x17 ,1 28得x1yxx3.y13

25、3解方程组3 X214 ,8； y225.点P2坐标为(14 , 25),坐标为(3 ,七)不符合题意，舍去.符合条件的点P有两个：P1(941 , 自 41 ) , P2(14 , 25).2 66、(辽宁沈阳)(1)点E在y轴上理由如下：连接 AO ,如图所示，在 Rt ABO 中，Q AB 1, BO 3 , AO 21sin AOB 2， AOB 300由题意可知：AOE 60BOEAOB AOE 30 60 90Q点B在x轴上，点E在y轴上.（2）过点D作DM x轴于点MQOD 1 , DOM 30在 RtA DOM 中，DMQ点D在第一象限,点D的坐标为 由（1）知EO AO 2，

26、点E在y轴的正半轴上点E的坐标为（0,2）点A的坐标为（,3,1）Q抛物线y ax2 bx c经过点E，c 2由题意，将A（丿31）， D ，代入y ax? bx 2中得2 23a . 3b 218 a95方b93a b 21422解得所求抛物线表达式为：y8 2 5.3-xx9 92（ 3）存在符合条件的点 P，点Q . 10分理由如下：Q矩形ABOC的面积 ABgBO 3以O, B, P, Q为顶点的平行四边形面积为2.3 .由题意可知0B为此平行四边形一边,又Q 0B30B边上的高为2依题意设点P的坐标为（m,2）Q点P在抛物线y8 253xx9 98m25 3m 2299解得，mi 0， m2P(0,2)，P2538Q以0, B, P, Q为顶点的四边形是平行四边形,PQ / OB , PQ OB 、3 ,当点R的坐标为（0,2）时,点Q的坐标分别为Q1 ( . 3,2) , Q2( 3,2)；当点F2的坐标为时,点Q的坐标分别为 Q3旦3,2 , Q4 二,2 .8 87、（苏州市） OH = 1; k=手,b = 甘;33设存在实数a，是