有限元讲义_《有限单元法》讲义

1、有限单元法 讲义 有限单元法讲义143有限单元法讲义第1章 概论计算力学是根据力学中的理论，利用现代电子计算机和各种数值方法，解决力学中的实际问题的一门新兴学科。它横贯力学的各个分支，不断扩大各个领域中力学的研究和应用范围，同时也逐渐发展自己的理论和方法。 有限单元法是计算力学的重要分支，是一种将连续体离散化，以求解各种力学问题的数值方法。在大学里学习过四大力学（理、材、结、弹）。众所周知，结构力学的研究对象是杆件结构(如框架、桁架)；弹性力学的主要研究对象是板、壳、实体结构(如平板、水坝)。在结构力学的位移法中，是将计算对象转换成若干已知的单跨超静定梁(如图1-1)。图 1-1 位移法计算简

2、图在有限单元法的刚度法中,是将计算对象划分成有限个容易求解的单元(“elements”，又称元素“components”或元件)。如图1-2所示深梁,可划分成若干个矩形单元、三角形单元,单元与单元之间用结点联结,常以结点的位移分量作为基本未知量。根据结构受力特性的不同，确定相应的位移分量，如图示深梁，则取每个结点的u,v位移为基本未知量。而图示平板则每个结点取3个位移分量（）图 1-2 有限元法的单元划分在结构力学位移法中,是利用已知的单跨超静定梁的内力计算公式的成果(固定求固端力,放松求单元的杆端力),由结点的平衡条件附加约束上的反力0,建立求解未知位移的平衡方程组）。在有限元刚度法中,先分

3、析各元素的自身特性，然后利用在结点相交的平衡条件、变形协调条件、物理条件,建立求解各结点位移(ui、vi)的联立方程。 在工程领域,许多情况下都是利用有限个已知的元件得到一个合理的模型,以此求解原来的复杂的问题,这种求解问题的方法就叫作“离散”。 利用“离散(discrete)”方法求得的解答是 近似解 反之,若问题只有利用无穷小(无限个元件)才能定义,便称它为连续问题， 利用“连续(continuous)”方法求得的解答是 精确解。 连续问题一般都是通过数学方程式的运算和求解获得精确解。但在实际工程中，可用的数学方法通常使得能用连续化处理的问题极为有限，或者使其过于简化。相反，由于计算机的出

4、现，使得求解离散问题比较容易，利用离散法求解复杂问题最有效的方法就是有限单元法。几乎可以说，一切弹性力学问题都可以利用有限元法求解。1.1 有限单元法发展概况一、起源 有限单元法(the finite element method)一词是r.w.clough 于1960年首次提出(r.w.clough, the finite element in plane stress an analysis,proc.2nd asce conf. on electronic computation, pittsburgh,pa., sept. 1960). 但有的学者认为，有限元法的基本思想在1941年就

5、已产生(有限元法概论,邹仲康等译，湖南科技社，1988年版)。 1941年, horenikoff提出所谓 网格法将平面弹性体看成一批链杆和梁。 1943年 报告了 courant著作中 使用的一组三角形单元，提出了单元的概念。1943年出版的courant 1941年作的报告“variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration”。他用变分原理和分片插值方法来求扭转问题的近似解。他在论文题目上把后来称为有限元的这种解法归结为“变分解法”。由于计算机尚未出现，这篇论文没有引起应有的注意。 其次

6、，工程技术界第一篇有限元论文是1956年turner，clough，martin和toop的论文“stiffness and deflection analysis of complex structures”。他们把刚架的矩阵位移法推广用于弹性力学平面问题作近似分析，在题目上把这种解法归结为复杂结构的刚度法（或直接刚度法），随后clough定名为有限元法。 而o.c.zienkiewize在他的“the finite element method”一书中（参考书5），一开头便称： the limitation of the human mind are such that it can no

7、t grasp the behaviour of its complex surroundings and creations in one operation. thus the process of subdividing all systems into their individual components or elements, whose behaviour is readily understood, and then rebuilding the original system from such components to study its behaviour is a

8、natural way in which the engineer, the scientist, or even the economist proceeds. 这段文字的大意是:人类大脑是有限的，以致不能一次就弄清周围许多（自然存在的和创造出的）复杂事物的特性。因此，我们先把整个系统分成特性容易了解的单个元件或单元，然后由这些元件重建原来的系统以研究其特性，这是工程师、科学家甚至经济学家都采用的一种自然的方法”。许多经典的数学近似方法以及工程师们用的直接近似法都属于这一范畴。因此，从这一意义上说确定有限单元法的准确起源时间是困难的。尽管如此, 有限单元法从应用意义上讲，它的发展始于20世纪

9、60年代。二、 三个黄金时代 一般认为有限元法的发展经历了三个黄金时代 第一个黄金时代： 1960年起。最重要的工作来自结构工程师，第一次解决了诸如汽车、飞机、水坝等复杂结构的力学分析。尽管当时有限元法的数学基础尚未完全建立（尽管与今天相比,当时的成就十分有限），但该方法获得了巨大成功。论文统计：1961年10篇、1965(67)、68(303)(详参考书5序)。 第二个黄金时代：始于1965年前后,属于数值分析家(which has now adopted the method and made a great contribution to understanding of finite

10、element method). 1963年开始出现数值分析家的论文，他们终于认识了有限元法的基本原理，事实上是逼近论、偏微分方程及变分形式和泛函分析的巧妙结合。 并得出结论：直接刚度法（即有限元法）的基础是变分原理，它是基于变分原理的一种新型里兹法（采用分区插值方案的新型里兹法）。这样就使数学界与工程界得到沟通，获得共识。从而使有限元法被公认为既有严密理论基础、又有普遍应用价值的一种数值方法。在有限元的这一发展时期，还有必要说明两件事：一个是有限单元法与变分原理之间的关系，另一个是我国学者对有限单元法的贡献。第一个问题从有限元法的创立过程看两者的关系： 能量变分原理是有限元法的理论基础，这是

11、学术界的共识。但这个共识的形成，当初还有过一段历史过程。 首先，应用数学界第一篇有限元论文是前面提到的1943年出版的courant 1941年作的报告“variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration”。他用变分原理和分片插值方法来求扭转问题的近似解。他在论文题目上把后来称为有限元的这种解法归结为“变分解法”。由于计算机尚未出现，这篇论文没有引起应有的注意。 其次，工程技术界第一篇有限元论文是1956年turner，clough，martin和toop的论文“stiffness and

12、deflection analysis of complex structures”。他们把刚架的矩阵位移法推广用于弹性力学平面问题作近似分析，在题目上把这种解法归结为复杂结构的刚度法（或直接刚度法），随后（1960年）clough定名为有限元法。这些作者与当时的工程师一样，可能不太注意courant那篇被冷落的论文，不太注意他们的直接刚度法与courant的变分解法有何联系。 最后，1963年开始出现论文，包括melosh的论文“basis for derivation for the direct stiffness method”，并得出如下结论：直接刚度法（即有限元法）的基础是变分原理

13、，它是基于变分原理的一种新型里兹法（采用分区插值方案的新型里兹法）。这样就使数学界与工程界得到沟通，获得共识。从而使有限元法被公认为既有严密理论基础、又有普遍应用价值的一种数值方法。 从1943年和1956年两种构思的独立提出，到1963年的交汇融合，这正是有限元创立的真实和曲折过程。通过这种曲折，正好看出两者关系的密切难分。 从单元的分类方法来看两者的关系：由有限单元法的基本理论，我们已经得知，不同性质的单元对应于不同的变分原理。下面列出几种单元及其对应的变分原理： （1）协调位移元（采用的位移插值函数在单元间精确协调）最小势能原理。 （2）非协调位移元（采用的位移插值函数在单元间不精确协调

14、）分区势能原理。 （3）广义协调位移元（采用的位移插值函数在单元间广义协调）分区势能原理的退化形式。 （4）应力杂交元（采用应力试函数，满足平衡微分方程）最小余能原理。 （5）混合元（采用混合试函数，含位移、应力和应变）广义变分原理。（6）分区混合元（部分单元采用位移试函数，其余单元采用应力试函数）分区混合能量原理。第二个问题（我国学者对有限单元法的贡献）我国数学家冯康等人从1960年前后开始，也创造了系统化的有限元算法（65年文“基于变分原理的差分格式”）编写了程序，解决了当时国防和经济建设中的一些重大课题,并奠定了数学理论基础。因此可以说，有限元法是在欧、美和中国被独立发展的。 有限元及变

15、分原理的研究领域是我国学者的研究强项。胡海昌于1954年提出的弹性力学广义变分原理为有限元法的发展提供了理论基础。冯康提出的基于变分原理的差分格式实质上就是今天的有限元法。龙驭球提出的分区和分项能量原理(1980)，分区混合有限元 (1982)，样条有限元(1984)，广义协调元(1987)和四边形面积坐标理论(1997)等，使有限元方法的分析能力和应用领域得到很大提升。在专著方面，钱伟长于1980年出版的专著（变分法与有限元. 北京: 科学出版社, 1980 ）和胡海昌于1981年出版的专著（弹性力学的变分原理及其应用. 北京: 科学出版社, 1981）是变分原理与有限元法的两本经典之作。朱

16、伯芳于1979年初版和1998年再版的专著（有限单元法原理与应用. 北京: 中国水利水电出版社, 第1版1979, 第2版1998）是兼备科学性和实用性的巨著。在学术界影响广泛的国内著作还有：龙驭球. 有限元法概论. 北京: 高等教育出版社, 第1版, 1978, 第2版, 1991龙驭球. 新型有限元引论. 北京: 清华大学出版社, 1992（2004年出版“新型有限元论”，参考书11）龙驭球. 变分原理有限元壳体分析. 沈阳: 辽宁科学技术出版社, 1987王勖成, 邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法. 北京: 清华大学出版社, 第1版1988, 第2版1997龙志飞, 岑松. 广义协调

17、元理论与四边形面积坐标方法. 中国矿业大学出版社, 2000龙志飞, 岑松. 有限元法新论: 原理. 程序.进展. 北京: 中国水利水电出版社, 2001国外著作则以 zienkiewicz oc, taylor rl.“ the finite element method”oxford: butterworth-heinemann, （2000，fifth edition）的影响最为广泛。 第三个黄金时代： 有限单元法的广泛应用。自1970年代开始,有限元法被迅速应用到各领域。三、有限单元法的现状与发展趋势下面通过介绍有限元的主要研究领域和在有限元理论与应用研究方面的一些热点问题，谈谈有限单

18、元法的现状与发展趋势。1 变分原理与数值方法 针对有限元发展需要而提出的变分原理的新形式，例如分区势能、余能、混合能量变分原理，分区变分原理的退化形式及其应用，含参数变分原理及其应用，压电复合材料结构变分原理，基于应变梯度理论的细观力学变分原理。2 新型单元构造方法 对单元构造的现有模式作进一步开拓，如杂交元、混合元、拟协调元、应变元、样条元、无限元、 高精度单元（带转角元）、大单元、超（巨型）单元 ,子结构、土壤结构流体的相互作用等。发展新的构造模式，如基于广义协调理论的广义协调元、基于分区混合变分原理的分区混合元，理性有限元，基于四边形面积坐标的四边形元，基于解析试函数的有限元等。 参考文

19、献:龙驭球，新型有限元引论清华社92版。针对板壳元要求具有连续这一难题，在协调元与非协调元之间开辟一条新路。 卞学璜，用于解决板壳单元的协调问题和提高协调元精度。3疑难现象及破解对策 有限元学科发展中，还遗留一些疑难现象和问题，有的长期未得到破解。这些尚待破解的疑难问题自然就成为关注的焦点。例如 多种闭锁现象（剪切闭锁、薄膜闭锁、不可压缩闭锁）； 网格畸变敏感现象； 有的非协调元不收敛现象； 虚假零能模式现象； 解的晃动现象； 精度损失现象（位移元的应力，层合板的层间应力）； 应力奇点现象； 数值计算病态现象；这些现象像谜一样，既令人困惑，又使人兴奋。4复杂深层问题 材料非线性和几何非线性有限

20、元分析； 壳体结构屈曲稳定性分析； 塑性成型有限元分析； 撞击破坏过程数值模拟；基于应变梯度理论的有限元法。解的精度的研究：数值方法的误差估计、收敛性、可靠性、自适应性和优化。自适应有限元方法(参考书:固体力学发展趋势)有限元的数学理论原理表明，若单元构造适当，当网格无限加密时其解应收敛到精确解，但对于一个特定网格（含单元）在缺乏精确解的情况下很难估计其精度，此问题近十来年所进行的研究已取得重要进展。其方法思路是:在求得给定网格下的有限元位移解和应力解后，采用应力恢复法得到结点应力的改进值，然后利用形函数求改进估计，或称为最佳猜测应力。当按此求得的误差大于允许值时，可根据误差预测出结构各区域中

21、单元的合理尺寸（网格尺寸）。据此，重新划分网格（由计算机自动完成），可反复多次近似于迭代过程。 算法（并行算法、子结构法） 尽管现今计算机的运算速度很高，但追求计算效率高，内、外存要求低的方法仍然是计算力学算法研究的焦点。结构控制5 耦合交叉问题 耦合问题有流固耦合、气液固耦合、土结构流体耦合、力电耦合等。学科交叉问题有生物力学、微电子科学、材料科学中的数值模拟与优化设计等。6与其他方法的联合沟通例如：有限元边界元；有限元有限差分；有限元法无网格法；数值法解析法。 边界单元法又称边界有限单元法(boundary element method, bem)是七十年代兴起的一种新的计算方法。它将边界

22、上的广义位移和广义力作为独立变量且同时满足场方程的奇异函数作为加权函数，所以有人称它是一种特殊格式的加权余量法。边界元法只需将求解域的边界划分成单元,故可将问题降低一维。而域内变量可由解析式的离散形式直接求得，因此可提高计算精度。边界元法对无限区域问题、三维问题有明显优越性。工程中的断裂力学、流体力学等常可见到用边界元求解的应用实例。 参考书: 工程实用边界单元法邝国能等,铁道社89版 有限元法和边界元法基础饶寿期，北航90版(71.2118 rsq) 7. 向新领域的扩展 从本领域上讲,有限元法在应用上已远远超过了原来的范围。它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板、壳问题等整个固体力学，能

23、对原子能反应堆、堤坝、飞机、船体、齿轮叶片等复杂结构进行应力分析。 由静力平衡问题扩展到稳定与动力问题，由弹性力学扩展到弹塑性、粘弹性、断裂力学等，由结构分析扩展到结构优化。其它领域：化工、电子、热传导、磁场、建筑声学，流体动力学、医学（骨骼力学、血液力学、脑流）、偶合场（结构热、流体结构、静电结构、声学结构）.。 有分析就有有限元。8 软件开发与cad/cae技术 有限元软件与有限元理论几乎是同时诞生的。只有得到工程应用，理论才会具有生命力，这就是软件的作用往往大于论文的理由。计算力学要不断吸收计算机科学技术的成果，与cad/cae技术共同发展。 （1） 通用程序的进一步完善 增加(强)前、

24、后处理功能，重新包装(用户界面,多媒体),扩充单元库、动力及非线性等。 （2） 大型有限元程序微机化、网格化。 （3） 由专业研究转向普及应用（科学成果转化成生产力） （4） 向高层次发展 科学计算与可视化（仿真） 95.5 厦门第一届“科学计算与工程设计可视化会议”95.11 湖大首届“工程计算与计算机仿真”国际会议可视法的三种处理方式（三个层次(level)）:事后处理(post processing)； 跟踪(tracking) 实时显示；驾驭(steering) 实时干预，在线修改(且继续)三种处理方式，可对应三种程序设计方法，即顺序程序设计、多道程序设计和实时程序设计。驾驭(实时干预

25、)，需要采用实时软件设计方法，是必须满足严格时间约束条件的软件，是目前应用软件开发中技术难度最高的。 仿真、医学、人体、外科、军事、航空、穿甲、鸟撞、车祸、三维视野参考书16:工程结构计算机仿真分析, 江见鲸等,清华社96版附：结构分析通用程序简介自1980年代开始，世界各国，特别是发达国家，都花费巨大的人力和物力开发大型、通用的结构分析程序。比如：ansysansys是由美国ansys公司开发的大型通用有限元分析软件，ansys公司自1970年成立以来，不断吸取世界最先进的计算方法和计算机技术，引导世界有限元分析软件的发展，以其先进性，可靠性、开放性等特点，被全球工业界广泛认可，拥有全球最大

26、的用户群。1995年，在分析设计类软件中第一个通过iso9001国际质量体系认证。 ansys采用三维实体描述法建立几何摸型，几十种图素库可以模拟任意复杂的几何形状，强大的布尔运算实现模型的精雕细刻；提供多种网格划分方法，可以实现网格密度及形态的精确控制。具体划分方法有拉伸网格划分，智能自由网格划分，映射网格划分，自适应网格划分等。 ansys可对结构进行静、动力线性和非线性分析、流体分析、热分析、电磁场分析、声学分析等。结构非线性分析包括几何非线性、材料非线性、状态非线性，单元非线性分析等。具有先进的优化功能、灵活快速的求解器、丰富的网格划分工具、与cad及cae软件的接口等功能。 强大的后

27、处理功能可使用户很方便地获得分析结果，其形式包括彩色方图、等值面、梯度、动画显示、多种数据格式输出、结果排序检索及数学运算等。 因此，ansys软件被广泛应用于土木工程、机械、电子、交通、造船、水利、地矿、铁道、石油化工、航空航天、核工业等领域。近年来，ansys通过收购、合并其他的软件公司，是其规模和领域得以进一步扩大。sapsap是structural analysis program 的英文缩写，sap程序由美国加里福尼亚大学伯克利分校的威尔逊（wilson）、巴瑟(bath)和彼特森（pertson)等人在1970年代初开始研制完成的，经过二十多年的不断发展、完善，成为一个在国际上普遍

28、受欢迎的通用结构分析软件。（80年代由北大几位老师引入我国,sap）。adinaadina是由国际上著名的美国麻省理工学院k.j. bathe教授领导的，adina r & d公司研究开发的商用工程软件。全世界有很多家企业、市政单位在使用adina。adina八十年代初进入中国以来，在国内各个领域得到了大量应用。 广泛的适用领域，如所有机械工业领域，建筑工程，水利电力，航空、航天，电子，生物医学等 全集成环境下建模、解算、广泛的结果可视化后处理 广泛的工程问题求解类型：线性、非线性，静力、动力，传热，计算流体动力学，流-固耦合等 大型工程问题的高效求解，以及多cpu并行处理求解功能 丰富的单元

29、库、材料模式库程序主要模块：adina 结构分析程序 adina-f 不可压缩和完全可压缩流体流动分析程序adina-t 传热和场类问题分析程序adina-fsi 耦联结构的流体流动分析程序adina-tmc 热-力耦合分析程序 aui adina 用户界面 marc marc analysis research corporation（简称marc）始创于1967年，总部设在美国加州的palo alto，是全球第一家非线性有限元软件公司。创始人是美国著名布朗大学应用力学系教授，有限元分析的先驱pedro marcel。marc 公司在创立之初便独具慧眼，瞄准非线性分析这一未来分析发展的必然，

30、致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后服务。对于学术研究机构，marc公司的一贯宗旨是提供高水准的cae分析软件及其超强灵活的二次开发环境，支持大学和研究机构完成前沿课题研究。对于广阔的工业领域，marc软件提供先进的虚拟产品加工过程和运行过程的仿真功能，帮助市场决策者和工程设计人员进行产品优化和设计，解决从简单到复杂的工程应用问题。经过三十余年的不懈努力，marc 软件得到学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了它在全球非线性有限元软件行业的领导者地位。 marc/mentat 2000 主要新功能 对求解器和接触算法作多处改进，使线性和非线性的求解速度有明显提高

31、。 从轴对称分析到完全3-d分析的数据转化。对许多工程问题，虽然在最后是完全3-d问题但在开始阶段可先进行轴对称模拟，这样可以节约大量的计算。marc软件新增的从轴对称分析到完全3-d分析的数据转化功能，使用户在进行轴对称模拟分析后，在3-d分析模型中的初始条件子菜单中激活axi_to_3d选项，定义读入的变量如应力、应变等，输入重复次数，输入含有轴对称数据的后处理文件名及3-d分析开始的增量步号， 即可完成从轴对称分析到完全3-d分析的数据转化。 接触功能的加强。对于载荷控制的刚体，允许刚体在受力矩时可转动；对于速度和位置控制的刚体，不需用户子程序umotion就能定义刚体位移/转动向量变化

32、。此功能对于齿轮、传扭轴等分析很有用。 增加三角形和四面体低阶单元，它们可用于不可压和近似不可压材料如橡胶、金属大塑性变形等，收敛性也很好而且便于网格划分。 增加了高阶和低阶单元连续体复合材料单元。使用户能有效地对非薄壁的层状复合材料结构进行分析。 断裂力学分析方面，可在mentat中激活选项，由程序自动确定积分路径，j积分结果可在输出文件中直接得到。 新增动力隐式算法- single step houbolt 法，该法无条件稳定并具有二阶精度。它与纽马克法相比，在动力接触分析时更稳定；它允许变步长求解。 增加了两种橡胶材料本构模型 boyce-arruda 和gent 模型。它们可考虑应变率

33、、热和损伤的影响。研究表明，即使只用简单拉伸试验数据拟合材料参数， 用这些模型也能很好地模拟材料的各种行为。 增加了五种塑性硬化模型：additive power law, multiplicative power law, johnson-cook, cowper-symonds 和 kumar。 大应变塑性乘分解算法稳定性有很大改进， 这对高分子材料或弹性应变也很大的材料特别适用。 刚塑性分析时允许部分材料定义为弹塑性。 并行计算的功能有所增加，质量提高。 对于超塑成型分析， 程序能自动施加理想的压力载荷保证材料有最佳的超塑性。 前处理功能多处增强，如增加与cad软件接口、网格划分更好等。

34、 后处理功能多处增强，如梁的剪力、扭矩、弯矩图，广义xy绘图，变形流线图，晶粒追踪等。nastran在美国宇航局的资助下，于1969年开始使用的，花费数百万美圆完成的 nastran 结构分析程序，因为和nasa（national aeronautics and space administration，国家航空和宇宙航行局）的特殊关系，nastran (又名msc nastran)在航空航天领域有着崇高的地位。msc.nastran 是世界上功能最全面、应用最 广泛的大型通用结构有限元分析软件之一，同时也是工业标准的fea原代码程序及国际合作和国际招标中工程分析和校验的首选工具,，可以解决各

35、类结构的强度、刚度、 屈曲、模态、 动力学、热力学、非线性、声学、流体-结构耦合、气动弹性、超单元、惯性释放及结构优化等问题。通过msc.nastran的分析可确保各个零部件及整个系统在合理的环境下正常工作。此外，程序还提供了开放式用户开发环境和dmap语言，及多种cad接口，以满足用户的特殊需要。 自1970年代开始，国内多家单位也开发出了若干很好的通用结构分析软件，这些单位有：中科院、大连理工、上海工业建筑设计院、建研院以及湖南大学等。abaqusabaqus公司成立于1978年，总部位于美国罗德岛州博塔市，是世界知名的高级有限元分析软件公司，其主要业务为非线性有限元分析软件 abaqus

36、的开发、维护及售后服务。abaqus软件已被全球工业界广泛接受，在技术、品质以及可靠性等方面具有非常卓越的声誉，并拥有世界最大的非线性力学用户群，是国际上最先进的大型通用非线性有限元分析软件。 abaqus是一套功能强大的模拟工程问题的有限元软件，可以分析复杂的力学、热学和材料学问题，分析的范围从相对简单的线性分析到非常复杂的非线性分析，特别是能够分析非常庞大的模型和模拟非线性问题。它包括一个十分丰富的、可模拟任意实际形状的单元库，并与之对应拥有各种类型的材料模型库，其中包括金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩有弹性的泡沫材料以及类似于土和岩石等地质材料。作为通用的模拟计算工具

37、， abaqus可以模拟各种领域的问题，例如热传导、质量扩散、电子部件的热控制（热电耦合分析）、声学分析、岩土力学分析（流体渗透和应力耦合分析）及压电介质分析。 四、有限单元法的优点 前已提及，有限单元法是一种数值解，先于有限元的数值解是有限差分法（微分方程的数值解）。为什么有限元得到比差分法更为广泛得多的应用？可总结如下几处优点： 1. 物理概念清晰 有限单元法一开始就从力学角度进行推导（平衡、几何、物理方程）研究，使初学者易于入门。 2. 可以从不同的水平上得出相同的有限元法成果例如,可以从通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理和公式的推导，也可利用变分原理为其建立起严格的数学解释。如

38、熟知的平面杆系单元刚度矩阵,可从转角位移方程出发获得单刚的每列元素。在左端单位水平位移和单位竖向位移单独作用下的杆端力便构成了单刚的第一、二列（见右图）。 （上述单刚,后面将用能量原理推导。） 3. 有极强的灵活性与适用性（适应一切连续介质和场问题） 4. 采用矩阵表达式、适应计算机编程。 但是，对从事应用科学的人员来说，有限元法是与电子计算机联系在一起的，有一点是清楚的，离开计算机谈有限元，对我们从事工程专业的人来说恐怕意义不大。因此，本课程的目的是通过学习有限元的基本原理和方法，学会编制计算机程序来解决结构工程中的力学分析问题。因此，本课程实际上包括三方面：有限元、计算机、程序设计。由于计

39、算机的普及，有限元的应用已越来越广泛，在结构工程领域，几乎很少有不借助计算机来完成毕业论文的，而要用计算机解决的问题，绝大部分与有限元有关。 五、本课程的要求 1. 完成一定数量的习题，以巩固对有限元基本方法的理解 2. 完成一个包含以下所列部分的完整的有限元程序( project) 须提供如下内容的文字材料（1500字以上）： 程序编制说明； 方法的基本理论和基本公式； 程序功能说明； 程序所用主要标识符说明及主要流程框图； 13 个考题：考题来源、输出结果、与他人成果的对比结果（误差百分比）； 对程序的评价和结论（包括正确性、适用范围、优缺点及其他心得等）。 须提供源程序、可执行程序和算例

40、的电子文档或文字材料。选题可根据各自的论文选题等决定。 3. 笔试，程序答辨、评分。 六、课程主要内容有限元法所涉及的领域极为广泛，土木、机械、电机、化工等几乎无所不包，就土木工程而言亦包括上十个学科，甚至就结构工程领域也不可能一一介绍，只能就基本的和应用较广的内容加以介绍，其讲授内容和参考书如下：序号教学内容备注1第1章 概 论 1.1 有限单元法发展概况第1章：3次课21.2 有限元方法及解题步骤1.3 单元分析31.4 整体分析1.5 按单元定位向量形成总刚度方程4第2章 弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元2.2 三角形单元中几个问题的讨论第2章：4次课52.3平面问题有限元程

41、序设计2.4 矩形单元62.5 六结点三角形单元2.6. 四结点四边形单元72.7 八结点曲线四边形等参元2.8. 几个问题的补充第3章简介，自学为主8第4章 弹性薄板有限元法 4.1 弹性薄板弯曲问题的基本理论第4章：2次课94.2 弹性薄板弯曲问题有限元分析方法4.3 薄板弯曲问题程序设计10第5章 有限条法5.1 概 论5.2 梁函数和基本函数 第5章：2次课115.3 弯曲板有限条法5.4 用有限条法分析简支弯曲薄板5.5 弯曲板有限条法程序设计12第6章 动力有限元法 6.1 结构振动微分方程6.2 单元质量矩阵和阻尼矩阵第6章：2.5次课136.3 结构自由振动和特征值问题6.4地

42、震反应分析的计算机方法146.5线性地震反应时程分析法，程序设计结构分析有限元程序设计作业（project）布置课程作业第3章 弹性力学空间问题有限元法第7章 非线性有限元自学主要参考书 1有限元法及其应用，江见鲸，何放龙，何益斌等，机械社2006版（土木工程研究生系列教材）2有限元法概论 龙驭球, 高教社1978第一版，1991第二版 3结构矩阵分析原理 赵超燮, 人教社1982版 4有限单元法原理与应用 朱伯芳, 水电社1979版, 71.211/zbf 5有限元法基本原理与数值方法王勖成,邵敏,清华大学社1988版 6the finite element method zeinkiewi

43、cy o c，taylor r l,o xford: butterworth-heinemann, 2000 7the finite element method (third edition) zeinkiewicy o c. 52.54/zoc(3)( 中译本: 科学社1985版, 52.4/jkw) 8变分法及有限元上册 钱伟长著，科学出版社1980版 9concepts and applications of finite element analisiscook r d，10弹性 塑性 有限元 欧阳鬯、马文华, 湖南科技社1983版11结构分析的有限条法 y.k.cheung, 王贻

44、荪等译, 交通社1982版12工程结构抗震动力学 李国豪, 上海科技社1980版, 86.213/lgh13有限元法新论原理、程序、进展龙志飞等，中国水利水电社，200114新型有限元论龙驭球，龙志飞，岑松，清华大学社2004版15有限元法与板壳分析袁驷，崔京浩主编，清华大学社2005版16钢筋混凝土有限元与板壳极限分析 沈聚敏等, 清华大学社1993版17固体力学发展趋势 黄克智等, 北京理工大学社1995版18工程结构计算机仿真分析 江见鲸,贺小岗 清华大学社1997版19钢筋混凝土房屋结构计算机辅助设计尚守平,何放龙,刘光栋，建工社1999版20广义协调元理论与四边形面积坐标法，龙志飞等

45、，中国矿业大学社，2000版1.2 有限元方法及解题步骤一、有限元的力学分析方法1. 方法特点从方法论看，有限元法是分析综合法的一种应用：先将结构分解为单元，再将单元合成结构，在一分一合中求得结构问题的解答。结构单元分解合成或曰：化整为零难化易 分解积零为整复原型 合成从力学渊源看，有限元法是由刚架计算的矩阵位移法演变而来的。由刚架分析移植到弹性力学，矩阵位移法就变成了有限元法。刚架分析的矩阵位移法弹性力学的 有限元法移植这里，矩阵位移法与有限元法共同的特点就是分解、合成法。从数学角度看，有限元法是连续问题的一种离散化近似解法。把原来属于无限自由度的问题近似地按有限自由度的问题来处理。把原来的

46、微分方程问题转化为代数方程问题。 连续问题 无限自由度问题 微分方程问题 离散问题 有限自由度问题 代数方程问题离散化2 方法分类 力学问题的解法可分为下列三类： （1） 解析法； （2） 数值法； （3） 半解析法。 常用的数值解法有下列几类： （1）有限差分法将微分方程化为差分形式，求近似解。 （2）加权残值法将微分方程化为加权积分形式，求近似解（加权残值法的五种常用作法是配点法，子域法，加辽金法，最小二乘法，矩法）。 （3）有限单元法将微分方程问题化为能量驻值问题，采用插值函数，求近似解。 （4）边界元法只在边界上进行离散。 常用的半解析法主要有：有限条法和有限元线法等方法。3 有限元推

47、导方法 从采用的力学工具分，主要有直接法和变分法两种。直接法刚度法变分法能量法,求泛函极值问题 直接法的优点是不拘泥于严格的数学形式，而侧重于易懂的物理概念，刚度法是直接法的典型代表。例如熟知的平面杆系单元刚度矩阵,可从转角位移方程出发获得单刚的每列元素。在左端单位水平力和单位竖向力单独作用下的杆端力便构成了单刚的第一、二列（见右图）。变分法是把有限元法归结为求泛函的极值问题，使有限元建立在更加坚实的数学基础上（变分法及有限元钱伟长，科学社，1980版,） 从选择基本未知量的角度分。 位移法 取结点位移作为基本未知量(displacement/stiffness method) 力 法 取结点

48、力作作为基本未知量 (force/flexibility method) 混合法 同时取力和位移作为基本未知量 (mixed method) 本课程主要介绍的是有限元位移法。 二、离散方法与计算简图 前已叙及，有限元的解题过程可归纳为四个字：先分后合。 分即离散单元分析 合装 配整体分析使问题在一分一合的过程中得到解决。钱令希老师称其为：先修改、后复原。这是结构分析的一种策略思想。 杆系结构是由若杆根杆件组成的，结构力学中的位移法实际上就是一个离散和装配的过程，只是未象有限元中一样明显提出。如用位移法求解图1-3示结构： 图 1-3 位移法基本结构及其离散体 首先是将三根杆件看成三个独立的单跨

49、超静定梁,先求出各自的固端弯矩和剪力,然后根据结点、的平衡条件建立求解结点、转角的位移法典型方程。 有限元法与此类似。如分析图1-4示深梁的步骤是： 图 1-4 平面问题 图 1-5 薄板弯曲问题 第一步：离散成若干小三角形划分网格;其计算简图为由若干个三角形拼装成的组合体（三角形之间仅在其顶点铰结）。第二步：取出其中一个或几个典型单元加以研究单元分析。又如图 1-5示薄板,可视其为由若干个小矩形板在结点相互联结而成。每个单元有12个位移分量。 第三步：如何将离散的单元装配成整体结构整体分析 这与结构力学中基本结构与原结构保持一致的道理一致。 如力法： 原结构 基本结构 位移条件 位移法： 原

50、结构 基本结构 平衡条件 有限元法则一般要同时考虑这些因素，即所谓的解题三条件： 1. 静力平衡条件：各单元结点力应与该结点的外力平衡。（见深梁图） 2. 几何条件：各单元在同一结点上产生的位移应协调一致 3. 物理条件：单元结点位移与结点力关系（应力、应变等）据此便可获得与原结构情形相同的解答。 三、解题步骤的程序框图 一个完整的有限元位移法解题过程（程序），用框图表示则为： 输入原始数据 cai (前处理) 形成右端项(荷载矩阵) 形成整体刚度阵 引入支承条件 解方程、求基本未知量 求单元力：内力应力 计算结果输出(后处理) end 计算固端力 单元定位向量 单刚 坐标变换 此图常称其为有

51、限元程序的总框图。下面将逐一讨论各框图的具体内容。1.3 单元分析(element analysis)一、对象、任务 对象：研究有限大小的个体(element) 任务：1. 建立应变与结点位移分量之间的关系; 2. 建立应力与结点位移分量之间的关系; 3. 建立结点力与结点位移分量之间的关系; 4. 把作用在单元内的外载转化成结点荷载。 下面通过用能量原理推导梁单元刚度矩阵的具体过程来说明有限单元法的单元分析。二、用能量原理推导梁单元刚度矩阵在有限元法中,各种单元的单刚常采用能量原理推导,下面以平面杆单元为例,介绍用这种方法推导单刚的过程。 1. 杆端力和杆端位移列阵。从结构中取出一典型单元e, 假定其杆端力和杆端位移的正向如图1-5所示: 图 1-5 平面杆单元 杆端移列向量 (1-3-1) 杆端力列向量 fni, qi, mi, nj,qj,mjt (1-3-2) 杆端力与杆端位移之间的关系 fkedke即为要推导的单元刚度矩阵。 2. 设定单元位移函数 轴向位移描述已知杆系在弹性阶段轴向变形与剪、弯变形互不藕联，故假定按线性变化，任意点轴向位移