专题09空间向量与立体几何(同步练习)(理)(解析版).doc

1、专题09空间向量与立体几何（同步练习）一、空间向量基础知识1.对于任意空间向虽：=（%）社少如,给出下列三个命题：;心。乞=乞=乜;若 勺b2虬= a2 = 3 = L则为单位向呈:；d丄Lo+勺仇+仇=0。其中真命题的个数为（）。A、0B、1C、2D、3【参考答案】B析】妬、b2.為有可能有，例如：=（1丄1）、& = （0Q0）,则沏工但不能推出乞=二竺，错；h b2 仇q = a? = % = 1，贝lj I创=J5工1,不是单位向罐，错：（3 Q丄o q勺+ a少2 +色仇=0 对：故选B “12 在四面体 O-ABC中,q 是 AABC重心,G 是OG】上一点OG = 3GGiOG

2、= xOA + yOB + zOCM （x,y,z）为（）。1 1 1333I 1 12 2 2a、（111） b、c、（%鼎）d、（44）4 4 44 4 4333333【参考答案】A I I I I I I I I OI 【解析】连接AG交BC于点E,则E为BC中点.AE = -（AB + AC） = -（OB-2OA + OC）.2 2|yI 叩 .|3则 AG = AE = （OB 一 2OA + OC）, / OG = 3GGi = 3（g OG）： OG = - OG,*33 _*-3 -*1 *2 _*1 *11 *1 * OG = OG =（OA + AG） = （OA + O

3、B- OA + -OC） = OA +OB + OC,444333444故选A。1- 3.设 a、=2m- j + 2 心=? + 3丿一2匚他=一2? + ./32=3? + 2丿+ 5 ,（其中】、j、2 是两两垂直的单位向量），若+M2+W? 则实数九、卩、u的值分别是（）。A、1, 2,3B、2,1,3 C、2,1,3 D、1,23【参考答案】B林：】 =九（2?一丿 + ：） + 卩（加 + 3J一2k） + u（-2? + j-3k） = 3rn + 2j + 5：,l!卩（2 九 + 卩 一 2u）/? + （九 + 3p + u）J + （九一 2p 3u）Z = 3m + 2

4、j + 5：,J J 九=2. p = 1. u = 3、故査 B o二、直线与直线成角2- 1.如图所示，点P在正方形ABCD所在的平而外,PA丄平而ABCDPA = AB、则异而直线PB与AC所成的角是（）0A、90B、60C、45D、30【参考答案】B【解析】将齐还原成正方体ABCD-PQRS ,PBHSC、且SC = AC = SA = Jia，则AACS为正三角形, 则AC与SC成角为60，即PB与AC成角为60，故选B。22 如图所示，在三棱锥中PA丄平而ABC,D是棱PB的中点，已知PA = BC = 2 . AB=4 ,丄AB,则异而直线PC与AD所成角的余弦值为（）oA /3

5、0D V30A、 一B、 一510510【参考答案】C【解析】I PA丄平而ABC.：. PA丄AB、PA丄BC,过点A作AE/CB,又CB丄A3 则AP. AB. AE两两垂直,如图以A为坐标原点1线AB、AE、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标氷 则A(0,0,0)、P(0,0,2). 8(400). C(4,2,0).，故选CoV30又为朋中点，则ZX2Q1） 故乔=(422). AD = (2AD cos =兰 丫 = 一二=-迈ADCP V5x2V6 10设异而直线PC J AD所成的角为9 则cos 0 =1 cos 1=B【解析】还原长方体，则PMHAD、PM = 2AD则异

6、而直线PC j AD所成的角为PC j PM所成的角即ZCPM. 在SCPM中，PM = 2AD = AN = PB = AB2 + PA2 =毎 + 吩=何=2、鸟,PC = ylAC2 + PA2 = Jab，+ BC2 + PA2 = V42 + 22 + 22 =724= 2品,CM = yjMB2 + BC2 = 742 + 22 = 20 = 2,r. cos ZCPM =PC2 + pm2-cm22PC PM土斗=迺撤选C。2x2/6x2V5 8V3O 10 23 已知二而角a-/-p为丄/A为垂足,CDup,C w/, ZACD = 135,则异而直线AB与CD所成角的余弦值为

7、()A、丄B.c、dD、-4442【参考答案】B【解析】在怪方体中求解该问厶ct平血为TM ABEFp T刖1为丫血由于二而角 a-/-p 为60,ZBAB = ZE、FE = 60,设边长AB = AF = 2,则BQ = 2、疗，设C为AF的中点，则FC = LI ZACD = 135 ZDCF = 45 侧 DF = L在她斗建系，则C(2J,0)Q(CD = (-|-1,-).R4 = (2,0,0),则异面直线ABCD所成角的余弦值为cosO = 竺翌=纟.故选B。CDABA 4三、宜线与平面成角3- 1如图，在长方体ABCD - A】BCQ中.1 3C =巧,点M在棱CC、上，且丄

8、MA，则AM40的而积的最小值为，此时棱CC与平而所成角的正弦值为.【参考答案】23【解析】如图建系，则A(巧,0,0)、D(0,0,0),设M(OJj). q(0Qz)J!iJzr0,= (0-1, z - r) AM =(-及 1)， MD、丄M4.诙応=-1+仗-/) = 0,111 即 zi =_, Sau = IMql lAMI=_IMqilAMIf22=*X712+(V3)2+r x Jl+(z-J)243x z-=,/22= 1x(4 + /2)(1 + 1)=1xA AM4D, flJifli积的最小值为-J1 ill.仅帕=血、z =时取等匸1 2 2此时.CC = Z =半

9、，C, (0.1,) M (0,l,V2), D, (0,0,晋)，両=(0-L). AD = (-V3.0.).CC = (0,0.),2 2 25M49你丿“J ；上为=(心)2|) J CCJ j TllilMAD,用成角的平而角为6.则巴=,即,2 AD =0少 n一力+可=0_，取可=.则 Xj = VJ, Vj = 1，: n = (V3,hV2)./. sin 0 =1 cos 1=3X./3+1 + 22四.平面与平面成角4-1.如图所示，P是二而角ct-AB-p棱上的一点，分别在ci.卩平而内引射线PM、PN如果ZBPM = ZBPN = 45, ZMPN = 60,那么二而

10、角 ct AB p 的大小为()。A、60。B、70C. 80D、90【参考答案】D【解析】过上一点Q分别在(X、卩内做的匝线交PM、PN于点、M、N .则 AMQN)h .ILIa-AB-p的平而角.發卜T$IW小：设 PQ = a. 乙QPN = ZQPM = 45 9:QN = QM =aPN = PM = Jia,又J乙MPN =60. WPN为等边三角形，则MN =逅“解SMQN易得ZM0V = 90，故选D.4-2.已知经过点卩(召,乃,可),法向量为e = (A,B,C)的平面方程为A(x-xJ + B(y-yJ + C(z-Z) = 0,现给 出平面a的方程为x-y + z =

11、 l,平而卩的方程为丄-丄-三=1,则平而ct、卩成角的余弦值为()o636旦 D、空33A.V3B、V2TC、【参考答案】B【解析】平面a过点P(O,O,1),则平面a的方程为(x_O)_(y_O) + (z_l) = O, 其法向昼为加=(1, -11),x y z .小/一二一一 =1 二x-2v-z = 6 636平而p过点0(00-6)，则平而a的方程为(x一0) -2(y -0) -(z + 6) = 0, 其法向量为m = (1-2-1),- m - n 1 + 2-12 V2cos=-=aP x v6 3/23 -xfy设平而a、P成角的平而角为e,则cose=lcos vMl=：故选B。五、空间距离5-1.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC-AfiC中，点D为dG的中点，若在棱AB t存在一点P,使得 B】P平而AC7X则妨P的长度为()。A、2B. y/5C、联D、3【参考答案】B【解析】如图，设点P为AB的中点，取A/】的中点Q,连接AQ.DQ. 则 Bf AQ 又 A0 u 平而 AQD.:. Bf/ 平而 AQD. 易知AC/DQ,故平而AQD与平而ACD是同一个平而. B|P 平面 ACDJt时 Bf = /5，故选 B.5-2.已知在正四棱柱ABCD-AQD,中.A3=2,CC = 2、伍，E为CC】的中点侧直线AC|与