空间向量与二面角的向量求法专题

1、第四讲空间向量、定义:(1)已知，贝V AB (X2为必 yiZ 乙)y2,z, Z2)；(2)已知 a (Xi, yi,zi), b (X2, y2,Z2)，则 a b (Xi x?,a b(XiX2,yiy2,Wz?)； a bx/?y2(3 )数量积：a b a b cos注:r2 ar 2 ra ； a(4)应用：已知 a (xi,yi,zi),b (X2,y2,z2)a/b b a片yL = _zLX2y2 Z2a b a b 0 XiX2 yi y Zi0二、空间向量解决空间立体几何问题：(2)线面平行：a ml / (其中m为平面的法向量)(i)线线平行：a/babXlX2_y_

2、y2ZiZ2线线垂直：a b(cos0)Xi X2yi y2i、位置关系判定：2Zi Z20线面垂直：a/ m l(3)面面平行：m/ n/ ,其中m为的法向量，为的法向量2、求夹角:(1)线线角：|cos | |1，其中0,|a| |b|2(2)线面角：a msin |cos | |其中0,|a| |m|2(3)二面角：cosm n ，其中0,)|m| n|向量法求解二面角向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更 为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些 空间想象能力较差的同学提供

3、了机遇。禾I用平面的法向量几乎可以解决所有的 立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成 的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如 何用法向量求二面角。.利用法向量求二面角的大小的原理设n 1,n2分别为平面，的法向量，二面角l的大小为，向量ni,n2的夹角为，则有（图1 ）或（图2）图1基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二 面角的平面角.如何求平面的一个法向量例题1:如图3，在正方体 ABCD-A 1BQ1D1中G、E、F分别为 AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量y略解：以D为原点建立右手空间直角

4、坐标系，则E（1，1,0）、F（1，1,0）、2 2G（1,0， 一）由此得:GE （0-,） FE （二，0）2 2 2 2 2设平面的法向量为n （x, y, z）由n GE及nFE可得十1尹1 z2n?GE0x yn?FE1x21尹0z y令y=1取平面的一个法向量为n (1,1,1)评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只 要求出平面的某一个法向量(教简单的)即可。三.法向量的应用举例：例题 4.在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=2，BC=4，AAi=2，点 Q 是BC的中点，求此时二面角 AAiD Q的大小.评析(i )用法向量的方法处理二面角的

5、问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找一一证一一求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的，更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。(2)此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令 aii，则门2 ( i, i, 2)，. cos m ,门2，二面角 AAiD6Q的大小是 ni,门2arccos6 的补角 arccos 6。所以在计算之前不妨6 6先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例5如图5，在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD中，AD/BC ，

6、/11ABC=90 0, SA丄面 ABCD , SA= , AB=BC=1 , AD=-。求侧面 SCD 与 22面SBA所成的二面角的大小。x图5评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2 ）但判断侧 面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就 不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时 ，以下给出解决方案。四.当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时，通过判断法向量的方向来求解二面角原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”

7、， 此时两法向量在三个坐标平面xoy, yoz, xoz的投影也 可以看成是“一进一出”，这时不难得出 就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前如图7所示：平面ABC的法向量v若要法向量V的方向“向上”，可设V = (x,y,1)或n = (x, y, Zo),其中ZoO ;若要法向量n的方向“向前”，可设 n = (1, y, z) 或 n = (xo, y,z),其中xo o ；若要法向量n的方向“向右”，可设v=V(x,1, y)或 n = (x, yo, z)，其中 y0所以，只要我们判断两个法向量的方向是进一出”，那么所求

8、的二面角的平面角就等所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法 向量求二面角就可以做到随心所欲。中，AD/BC ，/ ABC=90 0，求侧面SCD与面SBA所成1，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD11SA 丄面 ABCD , SA = - , AB=BC=1 , AD=-22的二面角的大小。2如图，正三棱柱ABC ABG的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1丄平面A,BD ;(U)求二面角A A1B C1的大小；PA 平面 ABCD , ABC 60,E, F分别是BC, PC的中点.(1)证明：AE PD ;(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为求二面角EAF C的余弦值.D24 如图,PB=PD=在底面是菱形的四棱锥PABC D中，/ ABC=60 0, PA=AC= a,2a,点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.(1