复数知识点精心总结

1、复数知识点考试内容:复数的概念.复数的加法和减法.复数的乘法和除法.数系的扩充.考试要求:（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.1.复数的单位为h它的平方等于一1,即复数及瓦相关概念: 复数一形如o + bi的数（苴中e heR）； 实数一当b = 0时的复数o + bi,即0； 虚数一当0时的复数o + fai： 纯虚数一当0 = 0且时的复数o + bi,即bi. 复数o + bi的实部与虚部一。叫做复数的实部，b叫做虚部（注意C b都是实数）

2、 复数集C-全体复数的集合，一般用字碌C表示.两个复数相等的定义:OdTY且b（其中，e b, c, dsR特别地a+仞0Oflb0两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若可心为复数，则1若可+Z2R0,则可R-Z2（X）可,Z2为复数而不是实数2 若 Z|YZ2，贝!）勺一Z2 y0（J ）若aJceC 则+（Z-c）2 +=0是a = b = e的必要不充分条件（当(a-h)- =/-,(Z-c)2 L2-fl)2 0时，上式成立)2.复平而内的两点间距离公式：d|Z|-Z2|其中Z|，3是复平面内的两点引和3所对应的复数，d农示引和3间的距离.由上可得：复平而内以Zo为圆心，F为

3、半径的圆的复数方程:|z-Zo| = r 0aO).曲线方程的复数形式:|z-Zo卜啟示以Zo为圆心，r为半径的圆的方程.|z-引卜Iz-sl表示线段GZ2的垂直平分线的方程.|z-Zi| + |z-Z2卜勿（fl aO且加匕忆2|）农示以Z, Z2为焦点长半轴长为O的椭圆的方程（若2“ = |丫2|，此方程表示线段Z严ZJ） |z-Zi|Tz-Z2|-Zd (02zT|ziZ2p以Zy Z2 为焦点,实半轴长为0的双曲线方程（若2“十心卜此方程表示两条射线）.绝对值不等式:设勺，Z2是不等于零的复数，则|Z|Tz2|s|s + Z2|s|Z| + |z2| 左边取等号的条件是3必（乂凡 且兄

4、yO）,右边取等号的条件是Z2必（乂凡/0）. |s|Tz2|w|Z|-Z2|Z|+|z2|左边取等号的条件是22=1 gR, 乂 rO）,右边取等号的条件是Z2=i（2W凡人yO）注I 州去 + A2A3 + 34 * 4斤| Afl =內 A.3.共轨复数的性质:Zi +Z2 =21 +Z2z + z = 2flf 2-z场(za + bi)z-z=iz r=izrZ Z? Zl Z2ZiZ2ZiZ2Z|Z20)二2 丿 Z2注：两个共馳复数之差是纯虚数.(X) Z差可能为零，此时两个复数是柑等的 4。复数的乘方：Z” =zL(neN+)/)对任何Z Z|,Z2 eC及wwN+有注：以上结

5、论不能拓展到分数指数幕的形式，否则会得到荒谬的结果，如/=-!/= i若由厂=(广卢=12 = 就会得到-1 = 1的错误结论.在实数集成立的lAl=X2=+ Q +i=利+dx2= (Kn Z)则5.复数Z是实数及纯虚数的充要条件: (DzeROzY.若2*0，Z是纯虚数Oz + Z0模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同 一复数.特例：零向量的方向是任意的其模为零.注：IzWzI.6-复数的三角形式J Z = rcos+/sin &) 辐角主值：&适合于0We0,则有二不等实数根丸2 = 弋产；若色=0,则有二相等实数根x,.2=-A；若AVO,则有二相等复数根X=公学 （利2为共轨复数）.当仏人C不全为实数时，不能用A方程根的情况.不论仏山f为何复数.都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算:Z(COS q + i sin &2)勺(cos 色 + i sin 色)=厂| 【cospi + &?)+sin(q + &?