电路的瞬态分析

1、第 2 章 电路的暂暂(瞬瞬)态态 分析分析 第第2章章 电路的暂态分析电路的暂态分析 2.1 暂态分析的基本概念暂态分析的基本概念 2.2 储能元件和换路定律储能元件和换路定律 2.3 rc 电路的暂态分析电路的暂态分析 2.4 rl 电路的暂态分析电路的暂态分析 2.5 一阶电路暂态分析的三要素法一阶电路暂态分析的三要素法 c 电路处于旧稳态电路处于旧稳态 kr e + _ c u 开关开关k闭合闭合 电路处于新稳态电路处于新稳态 r e + _ c u 一一、稳态与暂态、稳态与暂态 2.1暂态分析的基本概念暂态分析的基本概念 稳态：稳态：电路的结构和元件的参数一定，电路的工作电路的结构和

2、元件的参数一定，电路的工作 状态一定，电压电流是不会改变的，此时的电路工状态一定，电压电流是不会改变的，此时的电路工 作状态。作状态。 换路换路 换路换路: 电路状态的改变。如：电路状态的改变。如： 3 . 电路中元件参数的改变，等等电路中元件参数的改变，等等 t e c u 稳态稳态 暂态暂态 旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 过渡过程过渡过程 : 1 . 电路接通、断开电源电路接通、断开电源 2 . 电路中电源的升高或降低电路中电源的升高或降低 暂态：暂态：换路后电路从旧的稳态变化到新的稳态，这种变换路后电路从旧的稳态变化到新的稳态，这种变 化往往不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在化往往

3、不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在 过渡过程中所处的状态叫暂态。过渡过程中所处的状态叫暂态。 为什么有为什么有 过渡过程过渡过程 ？ 换路换路元件元件 、电源、电源 二、激励与响应二、激励与响应 激励激励 响应响应 输出输出 电电 源源 信信 号号 源源 内部储能元件内部储能元件 输入输入 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 全全 响响 应应 零输入响应零输入响应:电路在无外部激励的情况下电路在无外部激励的情况下,仅由内部储仅由内部储 能元件中所储存的能量而引起的响应能元件中所储存的能量而引起的响应. 零状态响应零状态响应:在换路时储能元件未储存能量的情况在换路时储能元件未储存

4、能量的情况 下下,由激励所引起的响应由激励所引起的响应. 全全 响响 应应:在储能元件已储有能量的情况下在储能元件已储有能量的情况下,再加上外再加上外 部激励所引起的响应部激励所引起的响应. 0 t u u u ( t )= 0, t 0 时时 阶跃激励阶跃激励 线性电路中线性电路中,依叠加原理有依叠加原理有 全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 按照激励波形的不同，零状态响应和全响应又可分按照激励波形的不同，零状态响应和全响应又可分 阶跃响应、正弦响应、脉冲响应等。阶跃响应、正弦响应、脉冲响应等。 阶跃响应即在阶跃输入激励下的响应，阶跃激励信号阶跃响应即在阶跃输入激励下的

5、响应，阶跃激励信号 如下图，它实际就是直流电源对电路的激励作用。如下图，它实际就是直流电源对电路的激励作用。 本章只讨论仅有（化简后仅有）一个储能元件电路本章只讨论仅有（化简后仅有）一个储能元件电路 的响应。的响应。 结论结论 有储能元件（有储能元件（l、c）的电路在电路状态发生）的电路在电路状态发生 变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路 参数改变等）存在过渡过程；参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（没有储能作用的电阻（r）电路，不存在过渡）电路，不存在过渡 过程。过程。 电路中的电路中的 u、i在过渡过程期间，从在过渡过程期间，从“

6、旧稳态旧稳态”进进 入入“新稳态新稳态”，此时，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，都处于暂时的不稳定状态， 所以所以过渡过程过渡过程又称为电路的又称为电路的暂态过程暂态过程。 讲课重点讲课重点：直流电路、交流电路都存在过渡过程。：直流电路、交流电路都存在过渡过程。 我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。 研究过渡过程的意义：研究过渡过程的意义：过渡过程是一种自然现象，过渡过程是一种自然现象， 对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有 利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；利的方面，如电子技术中常用它来产生

7、各种波形； 不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现 过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。 无过渡过程无过渡过程 i 电阻电路电阻电路 t = 0 er + _ i k 电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化， 不存在过渡过程。不存在过渡过程。 产生过渡过程的电路，原因是因储能元件内的能量不能突变。产生过渡过程的电路，原因是因储能元件内的能量不能突变。 电阻元件：电阻元件：u =ri 2.2 储能元件和换路定律储能元件和换路定律 基本关系式基本关系式: d

8、t du ci u i c 一、电容电路一、电容电路 dt du cuuip 若若 0p说明电容吸收功率说明电容吸收功率 说明电容输出功率说明电容输出功率 0p u恒定恒定,i=0 隔直作用隔直作用 电容的瞬时功率电容的瞬时功率 上式可见在阶跃激励下，若电容电压突变，电压变上式可见在阶跃激励下，若电容电压突变，电压变 化率极大使化率极大使p极大，一般电源不满足，所以电容电极大，一般电源不满足，所以电容电 压一般不能突变，必须有过渡过程。压一般不能突变，必须有过渡过程。 e t c u 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其，其 大小为：大小为： 2

9、0 2 1 cuidtuw t c 储能元件储能元件 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电电 容的电路存在过渡过程。容的电路存在过渡过程。 e kr + _ c uc 二、电感电路二、电感电路 基本基本关系式关系式： i ul n i l e dt di le eu 在规定的参考方向在规定的参考方向 下：下： i ul dt di lu dt di liuip 电感的瞬时功率电感的瞬时功率 i 恒定恒定,u=0 短直作用短直作用 若若0p 0p 说明电感吸收功率说明电感吸收功率 说明电感输出功率说明电感输出功率 t l i 储能元件储能元件 电感为

10、储能元件，它储存的能量为磁场能量，电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：其大小为： 2 0 2 1 lidtuiw t l 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电电 感的电路存在过渡过程。感的电路存在过渡过程。 k r e + _ t=0 il 三、换路定律三、换路定律: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的在换路瞬间，电容上的电压、电感中的 电流不能突变。电流不能突变。 设：设：t=0 时换路时换路 0 0 - 换路前瞬间换路前瞬间 - 换路后瞬间换路后瞬间 )0()0( cc uu )0()0( ll ii 则：则： 换路瞬间，电容上

11、的电压、电感中的电流不能突换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突 变的原因解释如下：变的原因解释如下： 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以释放需要一定的时间。所以 * 电感电感 l 储存的磁场能量储存的磁场能量）（ 2 2 1 ll liw l w不能突变不能突变 l i 不能突变不能突变 c w 不能突变不能突变 c u不能突变不能突变 电容电容c存储的电场能量存储的电场能量）（ 2 2 1 cuwc * 若若 cu 发生突变，发生突变， dt duc i 不可能不可能！ 一般电路一般电路 则则 所以电容电压

12、所以电容电压 不能突变不能突变 从电路关系分析从电路关系分析 k r e + _ c i uc c c c u dt du rcuire k 闭合后，列回路电压方程：闭合后，列回路电压方程： )( dt du ci 2.2.2 初始值的确定初始值的确定 求解要点求解要点： 1. )0()0( )0()0( ll cc ii uu 2. 根据电路的基本定律和换路后的根据电路的基本定律和换路后的等效等效 电路，确定其它电量的电路，确定其它电量的非独立非独立初始值。初始值。 初始值初始值（起始值）：（起始值）：电路中电路中 u、i 在在 t=0+ 时时 的大小。的大小。 求等效电路的方法：求等效电路

13、的方法：将将 、 )0()0( lc iu 在换路后的瞬间看成理想电源，分别用理想电压源、在换路后的瞬间看成理想电源，分别用理想电压源、 理想电流源代替而得到的电路叫等效电路理想电流源代替而得到的电路叫等效电路 独立初始值独立初始值用换用换 路定律求路定律求 已知已知: 电压表内阻电压表内阻 h1k1v20lru、 k500 v r 设开关设开关 k 在在 t = 0 时打开。时打开。 求求: k打开的瞬间打开的瞬间,电压表两端的电压表两端的 电压。电压。 解解: 换路前换路前ma20 1000 20 )0( r u i l (大小大小,方向都不变方向都不变) 换路瞬间换路瞬间 ma20)0(

14、)0( ll ii 例例1 k . u l v r il t=0+ 时的等时的等 效电路效电路 ma20)0()0( ll ii vlv riu )0 ()0 ( v10000 105001020 33 v ma20)0( ls ii v s i 注意注意:实际使用中要加保护措施实际使用中要加保护措施 k u l v r il r 已知已知: k 在在“1”处停留已久，在处停留已久，在t=0时合向时合向 “2” 求求: lc uuiii、 21 的初始值即的初始值即 t=(0+)时刻的值时刻的值,及新稳态值。及新稳态值。 例例3 i e 1k2k + _ r k 1 2 r2r1 1 i 2

15、i c u l u 6v 2k ma5 . 1)0()0()0( 1 1 rr e iii ll v3)0()0()0( 11 riuu cc 解：解： i e 1k2k + _ r k 1 2 r2r1 1 i 2 i c u l u 6v 2k 换路前的等效电路换路前的等效电路 e r1 + _ r c u r2 1 i 求初始值求初始值 ）（ 0 c u t=0 + 时的等效电路时的等效电路 ma5 . 1 )0()0()0( 1 ll iii ma3 )0( )0( 2 2 r ue i c ma5 . 4 )0()0()0( 21 iii v3)0()0( 11 rieul )0(

16、l i e 1k2k+ _ r2r1 i 1 i 2 i 3v 1.5ma + - l u 计算结果计算结果 电量电量i l ii 12 i c u l u 0t 0tma5 . 1 ma5 . 4 ma5 . 1 ma5 . 1 0 ma3 v3 v3v3 0 i e k2k + _ r k 1 2 r2r1 1 i 2 i c u l u 6v 2k t 3ma 3ma 0 6v 0 小结小结 1. 换路瞬间，换路瞬间， lc iu 、 不能突变。其它电量均可不能突变。其它电量均可 能突变，变不变由计算结果决定；能突变，变不变由计算结果决定； 0)0 ( 0 ii l 3. 换路瞬间，换路

17、瞬间，电感相当于恒流源，电感相当于恒流源， ； 0 i 其值等于其值等于 0)0 ( l i ，电感相当于开路。，电感相当于开路。 ； 0 u 2. 换路瞬间，换路瞬间，0)0( 0 uuc 电容相当于恒压电容相当于恒压 源，其值等于源，其值等于，0)0( c u电容相当于短电容相当于短 路；路； 4. 换路后的电路进入稳态时，由换路后的电路进入稳态时，由c相当相当 于开路、于开路、 l相当于短路，可得：相当于短路，可得： 0 l u 0 c i 其它量由换路后的电路求得其它量由换路后的电路求得 2.3 rc 电路的暂态分析电路的暂态分析 电路的响应电路的响应 零输入响应零输入响应 零状态响应

18、零状态响应 全响应全响应 (阶跃函数激励下的电路响应阶跃函数激励下的电路响应) 1 u0 + - k 2 r t=0 c c u 由换路后的电路列回路电压方由换路后的电路列回路电压方 程程(kvl) c i 0 cc uri 0 c c u dt du rc 是一阶线性齐次常系数微分方程，其通解为指数函数：是一阶线性齐次常系数微分方程，其通解为指数函数： st c aeu a为常数为常数 s为特征方程式的根为特征方程式的根 其中其中: 一、一、rc电路的零输入响应（电路的零输入响应（c放电）放电） 开关开关 k在在1处已达稳态，在处已达稳态，在t=0 时换到时换到2处。处。 01 rcs rc

19、 s 1 故：故： 求求s值值: 得得特征方程特征方程： st c aeu 将将代入齐次方程代入齐次方程: 0 c c u dt du rc 求求a值值: 将初始值将初始值 代入通解，得：代入通解，得： 0 0uuc 0 0uua c 故齐次方程故齐次方程 的通解为的通解为 ： t rc t tc eueuu 00)( 称为称为时间常数时间常数 定义：定义：rc s 1 单位单位 r: 欧姆欧姆 c：法拉：法拉 ：秒秒 u0 c u t )(u 的物理意义的物理意义: 决定电决定电 路过渡过程变化的快慢路过渡过程变化的快慢。 t 023456 c u u00.368u00.135u00.05u

20、00.012u00.007u00.002u0 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e t u0 0.368u0 1 2 3 越大越大，过渡过程曲线变化越慢，过渡过程曲线变化越慢，uc达到达到 稳态所需要的时间越长。稳态所需要的时间越长。 结论：结论： 1 2 3 321 关于时间常数的讨论关于时间常数的讨论 由由 dt du ci 可知其它电量的零输入响应可知其它电量的零输入响应 t rc t c eie r u i 0 0 rc t cr eiii 0 rc t rr euriu 0 1 us + - k 2 r2 t=0 c c u r0 r1 r3 例例1: 求求:响应响

21、应uc、 i1、 i2、i3 换路前换路前k在在1端已稳态，换路后到端已稳态，换路后到2端端 解解: vr rrr u u s c 16 3 310 0 换路后换路后c经经r2及及r1、 、 r3并联放电，等效并联放电，等效r 4 31 31 2 rr rr rr src 4 10 veeuu t t cc 4 10 0)( 16 aee r u i t t c 4 100)( 2 4 i1、 、i3依据并联分流公式计算，仍按照指数规律变化。 依据并联分流公式计算，仍按照指数规律变化。 i2 i3 i1 2 48v 6 4 1.6 25f sc c uu dt du rc 由数学分析知此种微分

22、方程的解由两部分组成：由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成： 方程的任一特解方程的任一特解 c u 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解 c u 即：即： ccc uutu)( k r us + _ c c u i 二二 、r-c电路的零状态响应电路的零状态响应(c充电）充电） 0t 一阶常系数一阶常系数 线性非齐次微线性非齐次微 分方程分方程 c无初始储能，无初始储能，t=0时开时开 关关k闭合。闭合。 scc uutu)()( )( c u作特解， 作特解，为定值。为定值。 在电路中，通常取换路后的新稳态值在电路中，通常取换路后的新稳态值 记做：记做： 所以该电路的特解为：所以该电路的

23、特解为： 1. 求特解求特解 c u 在求换路后的新稳态值作为特解时，要注意在直在求换路后的新稳态值作为特解时，要注意在直 流电路中电容相当于开路，电感相当于短路。流电路中电容相当于开路，电感相当于短路。 c u2. 求齐次方程的通解求齐次方程的通解 0 c c u dt du rc 通解即：通解即： 的解。的解。 c u 随时间而变化。随时间而变化。 其形式为指数。设：其形式为指数。设： st c aeu a为常数为常数 s为特征方程式的根为特征方程式的根 其中其中: 求求s值值: 求求a: 得特征方程：得特征方程： 01 rcs st c aeu 将将代入齐次方程代入齐次方程: rc s

24、1 故：故： 0 c c u dt du rc cc uu c tu)( rc t c aeu rc t s aeu （此（此a与前面方程中的与前面方程中的a不同。）不同。） 00 00 aeuaeuu scc )()( s uuua )()(0 所以所以 代入该电路的起始条件代入该电路的起始条件 0)0()0( cc uu得得: cc uu c tu)( rc t c aeu rc t s aeu rc t cc st c euuaeu 0 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 ： 3. 微分方程的全部解微分方程的全部解 rc t ss euu rc t ccc ccc euuu uutu

25、)()0()( )( rc rc t ssc euuu uc的变化曲线的变化曲线 t ss euu c u t us t 023456 c u 0 0.632us 0.865us0.950us0.982us 0.993us0.998us 当当 t3 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，uc认为达到稳态值认为达到稳态值。 0 0 2.63)( eu t 当当 时时: us t u 0.632u 1 2 3 越大越大，过渡过程曲线变化越慢，过渡过程曲线变化越慢，uc达到达到 稳态所需要的时间越长。稳态所需要的时间越长。 结论：结论： 1 2 3 321 t ssc euuu 动画动画 c

26、u c i t c u c i t o rc t sc c eie r u dt du ci rc t ssc euuu c i 怎样确定怎样确定 换路瞬间电容的电流发生了突变换路瞬间电容的电流发生了突变 i0 k r us + _ c c u c i t=0 s r1 us=30v + _ c c u i r2 例：例：s闭合前闭合前c无储能，求换路后无储能，求换路后uc、 、ic及 及uc=10v所需时间所需时间 (用戴维宁定理用戴维宁定理) k r0=4k ues=20v + _ c c u i scr1 . 0 0 veeuu t t esc )1 (20)1 ( 10 maee r

27、u i t t es c 10 0 5 时当vuc10 st069. 02ln 10 1 6k 12k 25f 三、三、r-c电路的全响应电路的全响应 换路前开关换路前开关 s 在在1端，端， 电路已处于稳态电路已处于稳态,t=0时时 打到打到2端。端。 u0 + _ r c u 求：求： 但依线性电路的叠加原理，可得全响应但依线性电路的叠加原理，可得全响应=零输入响应零输入响应+ us + _ 1 2 s i c cuc + _ 此电路既有内部储能，又有外部阶跃激励信号，是此电路既有内部储能，又有外部阶跃激励信号，是 阶跃激励下的全响应。仍可用阶跃激励下的全响应。仍可用kvl的微分方程求解的

28、微分方程求解 零状态响应零状态响应 )( )( t s t otc eueuu 1 t sotc euuusu )( )( 即即 t s t o tc e r u e r u i )( 而而 t os t os eiie r uu )( t us 0 uo uc 电容放电，如电容放电，如 则为零输入响应。则为零输入响应。 s u o u uc变化曲线与变化曲线与 和 和 的相对大小有关 的相对大小有关 us 0 uo uc s u o u 电容充电，如电容充电，如0 则为零状态响应。则为零状态响应。 t 2.4 rl 电路的暂态分析电路的暂态分析 us + _ r s t =0 l r u l

29、 i l u 0 rl uu 0 l l i dt di r l 2 1 s在在1端电路已稳定，端电路已稳定， 电感电流电感电流i0=u0/r，换，换 路到路到2端端,分析分析i il的变化的变化 规律。规律。 零输入响应零输入响应 0 l l i dt di r l 0rls 特征方程：特征方程： l r s 设其通解为设其通解为: st l aei 代入上式得代入上式得 r l s 1 则：则： 与与rc电路类似，可以进行电路类似，可以进行rl电路激励的零状态响电路激励的零状态响 应和全响应，有应和全响应，有对偶关系对偶关系，望同学们自学。，望同学们自学。 下面我们要从前面的分析中找规律，

30、得到比求解微下面我们要从前面的分析中找规律，得到比求解微 分方程更加简便的分析一阶电路阶跃响应的方法。分方程更加简便的分析一阶电路阶跃响应的方法。 r u iil 0 00 )( 将 0 iaaei st tl 得代入 )( t l eii 0 有 t l l eu dt di lu 0 ul il ul il -u0 i0 0 t k r u + _ c c u i 电压方程电压方程 c c c u dt du rcuriu 根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若 微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶

31、电 路中一般仅含一个储能元件。）如：路中一般仅含一个储能元件。）如： 1.一阶电路的概念一阶电路的概念: 2.5 一阶电路暂态分析的三要素法一阶电路暂态分析的三要素法 2.一阶电路过渡过程的求解方法一阶电路过渡过程的求解方法 (一一) 经典法经典法: 用数学方法求解微分方程；用数学方法求解微分方程； (二二) 三要素法三要素法: 求求 初始值初始值 稳态值稳态值 时间常数时间常数 . 本章重点本章重点 0f f 3.三要素法三要素法 rc t ccc ccc euuu uutu )()0()( )( 根据经典法推导的结果：根据经典法推导的结果： t effftf )()0()()( 可得可得一

32、阶电路阶跃全响应微分方程解的通用一阶电路阶跃全响应微分方程解的通用 k r e + _ c c u i 表达式表达式：（：（零输入响应和阶跃零状态响应是其特例）零输入响应和阶跃零状态响应是其特例） 其中三要素为其中三要素为: 初始值初始值 - )(f 稳态值稳态值 - 时间常数时间常数- )0( f t effftf )()0()()( )(tf代表一阶电路中代表一阶电路中任一任一电压、电流电压、电流函数。函数。式中式中 利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素 法。任何一阶电路阶跃响应，都可以用三要素法直法。任何一阶电路阶跃响应，都可以用三要素法直

33、 接求得而不必解微分方程。接求得而不必解微分方程。 三要素法求解过渡过程要点：三要素法求解过渡过程要点： . 终点终点)(f 起点起点 )0 ( f t 分别求初始值、稳态值、时间常数；分别求初始值、稳态值、时间常数；. . 将以上结果代入过渡过程通用表达式；将以上结果代入过渡过程通用表达式； 画出过渡过程曲线（画出过渡过程曲线（由初始值由初始值稳态值稳态值） （电压、电流随时间变化的关系）（电压、电流随时间变化的关系） 。 “三要素三要素”的计算（之一的计算（之一) 初始值初始值 )0 ( f 的计算的计算: （计算举例见前）（计算举例见前） 步骤步骤: (1)求换路前的求换路前的)0()0

34、( lc iu、 (2)根据换路定律得出：根据换路定律得出： )0()0( )0()0( ll cc ii uu )0( i (3)根据换路后的等效电路，求未知的根据换路后的等效电路，求未知的)0( u 或或 。 步骤步骤: (1) 画出换路后的等效电路画出换路后的等效电路 （注意（注意:在直流激励在直流激励 的情况下的情况下,令令c开路开路, l短路短路）；）； (2) 根据电路的解题规律，根据电路的解题规律， 求换路后所求未知求换路后所求未知 数的稳态值。数的稳态值。 稳态值稳态值)(f 的计算的计算: “三要素三要素”的计算（之二的计算（之二) v6 10 4/43 3 )( c u m

35、a2 33 3 4)( l i 求稳态值举例求稳态值举例 + - t=0 c 10v 4 k 3k 4k uc t =0 l 2 3 3 4ma l i 原则原则: 要由要由换路后换路后的电路结构和参数计算。的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的同一电路中各物理量的 是一样的是一样的) 时间常数时间常数 的计算的计算: “三要素三要素”的计算（之三的计算（之三) r l rc或 对于较复杂的一阶对于较复杂的一阶rc(l)电路，电路，将将c(l)以以 外的电外的电 路，视为有源二端网络，然后求路，视为有源二端网络，然后求 其等效内阻其等效内阻 r。则则: 步骤步骤:rc (1) 对于只含一个对于只含一个r和和c的简单电路，的简单电路， ； rc ed + - 21 /r