高考数学讲义随机变量及其分布列.版块五.条件概率.学生版

1、条件概率知识内容1离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量x来表示，并且x是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量x叫做一个随机变量随机变量常用大写字母x,y,l表示如果随机变量x的所有可能的取值都能一一列举出来，则称x为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量x所有可能的取值x与该取值对应的概率p(i=1,2,l,n)列表表示：iixx1x2xixnpp1p2pipnp(x=m)=(0ml，l为n和m中较小的一个)我们称这个表为离散型随机变量x的概率分布，或称为离散型随机变量x的分布列2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量x的

2、分布列为x10ppq其中0p0，-m+式中的参数m和s分别为正态变量的数学期望和标准差期望ox为m、标准差为s的正态分布通常记作n(m,s2)正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布重要结论：正态变量在区间(m-s,m+s)，(m-2s,m+2s)，(m-3s,m+3s)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%+正态变量在(-，)内的取值的概率为1，在区间(m-3s，m+3s)之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x=m三倍标准差之内，这就是正态分布的3s原2则s若xn(m，2)，f(x)为其概

3、率密度函数，则称f(x)=p(xx)=xf(t)dt为概率分布-1x-m函数，特别的，1n(0，2)，称f(x)=xe-2dt为标准正态分布函数-s2t2p(xx)=f()则e(x)=，d(x)=x-ms标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量x所有可能的取的值是x，x，x，这些12n值对应的概率是p，p，p，则e(x)=xp+xp+l+xp，叫做这个离散型随12n1122nn机变量x的均值或数学期望（简称期望）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离

4、散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量x所有可能取的值是x，x，x，这些值对应的12n概率是p，p，p，则d(x)=(x-e(x)2p+(x-e(x)2p+l+(x-e(x)2p叫12n1122nn做这个离散型随机变量x的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）d(x)的算术平方根d(x)叫做离散型随机变量x的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量b3x为随机变量，a，为常数，则e(ax+b)=ae(x)+b，d(ax+b)=a2d(x)；4典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型

5、随机变量x的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量x的期望取值为np二项分布：若离散型随机变量x服从参数为n和p的二项分布，则e(x)=np，d(x)=npq(q=1-p)n超几何分布：若离散型随机变量x服从参数为n，m，的超几何分布，nmn(n-n)(n-m)mnn2(n-1)4事件的独立性如果事件a是否发生对事件b发生的概率没有影响，即p(b|a)=p(b)，这时，我们称两个事件a，b相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件a，a，a相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发12n生的概率的积，即p(aiailia)=p(a)p(a)lp(a)，并且上式中任意

6、多个事12n12n件a换成其对立事件后等式仍成立i5条件概率对于任何两个事件a和b，在已知事件a发生的条件下，事件b发生的概率叫做条件概率，用符号“p(b|a)”来表示把由事件a与b的交（或积），记做d=aib（或d=ab）3典例分析【例1】把一枚硬币抛掷两次，事件a“第一次出现正面”，事件b“第二次出现反面”，则p(ba)_【例2】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为【例3】掷两枚均匀的骰子，记a“点数不同”，b“至少有一个是6点”，求p(a|b)与p(b|a)【例4】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为

7、0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率【例5】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是4，刮风的概率是，既刮风又下21515雨的概率是110p，设a“刮风”，b“下雨”，求p(ba)，(ab)4【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是【例7】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率?abcd【例8】在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，3在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）32515935【例9】从1100

8、个整数中，任取一数，已知取出的数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率【例10】袋中装有2n1个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?【例11】一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率6【例12】有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件

9、均不放回），试求：先取出的零件是一等品的概率；（在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率保留三位有效数字）【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，求先抽到的一份是女生表的概率p己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q【例14】一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第j站停车的概率，并判断“第i站停车”与“第j站停车”两个事件是否独立7【例15】在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求：1次抽到理科题的概率；1次和第2次都抽到理科题的概率；第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率【例16】一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从09中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；如果他记得密码的