点估计-教学设计

1、概率论与数理统计教学设计课程名称概率论与数理 统计课时100分钟任课教师刘涛专业与班级时管 B1601B1606课型新授课课题6.1点估计教材分析“点估计”属于教材第七章第一节，位干教材的第184页至第 196页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统计部 分，统计部分的重点在统计推断，统计推断是根据样本所提供的 的信息对总体特性做出种种推断。参数估计是统计推断中的基本问题之一，主要是指在实际问 题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析知其分布类 型，但分布中的一个或几个参数未知，可根据样本信息构造合适 的统计量来估计总体中的未知参数。点估计是参数估计中的常用类型，是指根据样本信息计

2、算出 一个数值来估计总体中的未知参数。学 习 目 标知识与技能了解点估计的背景来源及点估计的概念；了解点估计的基本思想；掌握点估计的基本步骤及其在离散型和连续型 变量中的运用。过程与方法通过“零件疵点数”的案例引入，引导学生解决 问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能 力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进 而发展整合所学知识解决实际问题的能力。情感态度与价 值观通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运 用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的 创新意识和探索精神。教学分析教学内容1 参数点估计定义2矩估计法及其使用3极大似然估计法及其使用教学重点矩估计法及极大似然估计法适用范围、基

3、本步骤。教学难点矩估计法及极大似然估计法的理解与应用。教学方法 与策略板书设计一、矩估卄背罷来原引网“剰城点貂三、陋点估计（政j二拒估计斟聽0S拒估计求梓筠教学时间设计1 引导课题3分钟2学生活动5分钟3参数点估计定义22分钟4矩估计法20分钟5极大似然估计法45分钟5课堂小结5分钟教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结 合。教学进程教学意图教学内容教学理念激发学生的某工厂生产某种零件，零件上的疵点数X为一随 机变量，假定X服从参数为几的泊松分布，且引出课题（3分钟）兴趣，让学生 体矣数学来 源于生活。兄（几0）未知，设有以下的样本观察值，试估计未知参数兄0疵点数012345

4、6频数生活动（5分钟）问题细化，学生讨论，激发兴趣。从日常生活 的经验和常 识入手，调动 学生的积极 性。参数点估计定义（22分钟）参数估计：实际工作中碰到的总体X,它的分布类型往 往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。例如：产品的质量指标XN （m, o2）,但山未知， 借助干总体X的一个样本来估计。由T m=e （X）,可测得,疋，为,用天来估计Mo分为参数的点估计和参数的区间估计。教师给于引 导，回归到刚 提出的问题 上。参数点估计：总体X的分布函数f（X；q,$,q）的 形式是巳知的，其中 f g 是待估计的参数。点估

5、 计问题就是根据样本（xpx2,-,x）对q，2,q进 行估计。估计量：是来自总体x的样本，d = h（x,x2,- -,xw）叫做b的估计量（此时是随机变量）估计值:将样本值为心，益,代入,xj, 得到0 = h（xx2-,xn）叫做e的估计值（此 时是个具体数值）对于不同样本值，估计值一般是不同的。常用的方法：矩估计法，极大似然估计法矩估计法及其使用（20分钟）矩估计是基于一种简单的“替换”思想建立 的一种估计方法，是由英国统计学家K.Pearson 最早提出的。由大数定理可知，样本矩依概率收敛于总体矩，即当“越来越大时，样本矩接近总 体矩的概率会越来越大。由案例可知，样本矩依据具体的样本

6、信息是 可知的，而总体矩则是含未知参数0的函数形式, 因此，不防用已知的样本矩来近似代替含参形式 的总体矩，从而，确定未知参数&的估计值。 简而概之，就是用样本矩估计总体矩，用样本均 值估计总体期望。例1设总体X的分布律为X-102P20e1一3&其中&未知且0冷，用样本值-1,0,-1,2,0求参数&的矩估计值。分析1.因为样本矩较易得到，而总体矩为含参函 数形式，且本题中含有一个未知参数，需一个等 式关系，因此，不防先把总体一阶矩(数学期望) 求解出来，离散型数学期望的求解为E(X) = yjxip,“I =(X) = (l)x2& + 0x8 + 2x(l 3&) = 2 8&2.用样本

7、一阶矩(样本均值X )近似代替M 后，M可看做是已知的，在上述等式中可直接求通过具体的 例题展现极 大似然估价 法步骤，便于 学生更易掌 握。解未知参数即0=83.可用样本矩代替总体矩，即无代替， 得&的矩估计量为人2-X0 =8由于无=( 一 1 + 0一 1 + 2 + 0) = 0八 2壬 1故&的矩估计值为& =呼=：84注：1)矩估计量与矩估计值的表示6及其联系与 区别；2) %=/. =2-8是错误的，才只可近似代 替妙，并非相等。例2设X|,X2,-,X”是来自总 体X的一个样本，总体X的均值/及方差 a-(O-2 0)均存在，但“Q，未知，试求的 矩估计量C解(因为本题中有两个

8、未知参数，一个等式不 能够确定，故需考虑用样本二阶矩估计总体二阶 矩来构造第二个等式)M =E(X) = “2 = E(X2) = D(X) + E(X)2 = a2 +/F(反解上述两等式，得未知参数的表示形式)“ =M用样本矩人,金代替上式中的“,“2,得/ = A| = X1 “ _（T2 = Ai A2 =工 XF _ X 】=Bi注：无论总体X服从怎样的分布，总有E（X） = X,b（X） = B2极大似然估 计法及其使 用（45分钟）二、极大似然估计法基本思想：若事件A的概率依赖于未知参数B,如果观 察到A巳经发生，那么就取e的估计值便A的概率为最 大。（极大似然法的直观想法：如果

9、随机试验的结果得 到样本观察值-vpx2,.,a ,则我们应当这样选取&, 使这组样本观察值出现的可能性最大，作为&的估计值A&）1.设总体X为离散型，其分布律为px=Ahp （x； e）,OeO为待估参数，设X“X2,X”是来自总体X的样本，则样本取到的样本值讣，耳的概率为PX=心笛=“丫2X“ =兀=PX,=xPX2=x2-PXn=xnr-li-ln令L （9） =L （西宀，心；e）（兀;0）极f-1大似然函数LnL =lnh3；&）=f 4 /心;0）r-1r-1dL（e） n * 讥 n tl KFC = 0 或 一 =0 从而得到dOdO/%6 = y（xpx2-sxJ且冬岁0为待

10、估参数，设 XX2，-,X”是来自X的一个样本，试求A的极大似 然估计值和估计量。解：由题可知 PX=M=P（X；入）=一 （x = 0,12）/* xl难点：整理部分*/AL（A）=nr=v口邛thr-lnnLnL （A）=一八兄+工兀兄一工兀！r-l/-InV xdIn L（2）台._ /pt ; 1二.=_ +七_令=0,得几=一为兀=元估计clAAn 值A1n_其估计量A = Xi = X2.设总体X为连续型，其概率密度为/（x;6）eO,设xPx2,%是来自总体X的一个样本，则X|,X2,X”的朕合概率密度为/（州;0）/（吃;0）/ （兀;&）=fl/（兀;&）r-lLnL一极大似

11、然函数r-l（& + l）xtOvx-1,待估参0,其他数）通过具体的 例题展现极 大似然估价 法步骤，便于 学生更易掌 握。(-1 1-1nLnL (9) =ln(& + l) + &ln 兀r-lJin L(0)n&/ c(ndG _ +工啊令-0,得 0-1- d00+1 -1-1为极大似然估计值若含两个待估参数：l(91, 02)=fi/3；”2)或 fl(兀；&2)令i-lf-1onL门61n厶门=0, =0昭de.例 6.设 XN (y, o2); M, a?。未知，x“2, 为一个样本值，求U,，的极大似然估计。1F呼解：于(兀“&) m e Q (-00 x _上-丄也-1(从

12、,02)=口丁2 e lc =(2柯)2e n1“InL (p, a2) = - - In 2 + In a2 - (a; - /)222b (-1ainL1门-2(。“) _0 ,Sb铝Bin 厶“14、2 c亦22/ + 2(巧牙a )n解得J =x3评宦估计量好坏的标准对于总体分布中一个未知参数，可提出不同的估计量八1-2X如例I和例5中e的估计重，矩估计：6 =X 1极大似然估计：方=一1 一这就出现了比较好坏的问题，给出评定好坏标准下面介绍三个常用的评定估计量好坏的标准：1)无偏性设Q=3 =(X|,X2,X”)为参数e的一个估计量，若E( 6)=B,则称6为e的一个无偏估计量。称I

13、E(C&)1为系统误差。例7.试证：无论总体的分布如何，样本k阶原点矩1 n4 =韦工X：是总体k阶原点矩儿= E(Xk)的无偏估计(当k=l时，乂是u的无偏估计)证明11n1 nE(AQ = E(工 X：) = E(工卅)=工E(X 鳥=1 nn /.In j.in ;.i工 E(0) = E(0) = /4 分韦效性设a同为e的无偏估计,若d(玄)（X）= z）（lx1 + ix2）= iz）（x1）+lz）（x2）= 厶厶*厶12145D（A3） = D（-Xi+-X2） = -D（Xi） + -D（X2） = 显然人更有效3） 一致性若v$o, iimPi6m = i, eo.则称 J

14、IT*6为e的一致估计量。如弱大数定理limPfIX-/1） = 1 , X,同理A亠产E （兀）乂是总体均值U的无偏，有效，一致估计量S2是总体方差。2的无偏，有效，一致估计量课堂小结（5分钟）通过对课堂 内容的小结， 让学生对本 节课的内容 连贯化、系统 化。作业布直作业布置通过概率论与数理统计教学平台微信发布1 仔细阅读课本第184页至第196页；2浏览概率论与数理统计教学平台中相关内容。明确告知学 生作业要求。教学评价“点估计”属于教材第七章第一节，位于教材的第184页至 第196页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统 计部分，统计部分的重点在统计推断，统计推断是根据样本所 提供的的信息对总体特