甘肃省兰州市第一次诊断考试(数学理)doc(20201223024110)

1、兰州市2010年高三诊断考试试卷数学（理科）注意事项：1 .本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。2 .本卷满分150分，考试用时120分钟。3 .答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么球的表面积公式其中R表示球的半径F工$ JT勢球的体积公式其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件次的概率A恰好发生K第1卷（选择题，共60分）、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有个选项是符合题目要求的.1.已知集合W = h I J, y = f 1 * 4,

2、2A.B.0)c.-1) D.2-当0a 対CD r V-y A- = 1(42 0, i 0)11. 已经点P (-3,1 )在双曲线的左准线上，过点 P且方向向量为IS的光线，经直线y=-2反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率为A .B.C. D.桝i 112 设二元一次不等式组l所表示的平面区域为 M.若曲线尸-砂?=丨总经过区域 M，则实数的取值范围是A.B.CD.第n卷（非选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分13。（i为虚数单位）的展开式中含/项的系数等于-28，则n=14 .为了解高三学生的数学学习情况，现抽取某班60名学生的数学成绩进行分

3、析，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图）已知从左到右各长方形高的比为2: 3: 5: 6: 3: 1，则该班学生数学成绩在 （80, 100）之间的学生人数是 15 .在半径为R的球面上有不同的三点A、B、C,已知A、B、C三点中任意两点的球面距离均为.0为球心，则三棱锥。O 一 ABC的体积为60to-n16 .如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30方向2km处，河流的沿 岸PQ （曲线）上任意一点到 A的距离比到B的距离远2km .现要在曲线 PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从 M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/ km、2a万元

4、/ km，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分IO分）A为锐角，已知向量在厶ABC中，a, b , c分别是角 A, B, C的对边,-(it/jcos)tg = (2sin*l-cos2J)*2 2（I）若.，求实数m的值。（II）若,求厶ABC面积的最大值.18 .(本小题满分12分)已知在各项不为零的数列中，现LWiWr ”代-i丸仃字肚卜；(I)求数列的通项；(H )若数列 满足，数列 的前n项和为 ，求19 .(本小题满分12分)在美化校园的植树活动中，某同学共种了6棵树，各棵树的成活

5、与否是相互独立的2每棵树成活的概率均为 p.已知该同学所种树中有3棵成活的概率为.(I) 求p的值；(II) 若有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，求需要补种的概率；(川)设为成活树的棵数，求20 .(本小题满分12分)如图.在四棱锥 S - ABCD中，底面 ABCD是正方形，SA丄底面 ABCD, SA= AB点M是SD上的点，AN丄SC,垂足为点(I) 求证：SB /平面(II) 求直线AC与平面SDC所成的角;(川)求二面角 N-AM-C的大小.AM与BC所成的角为 ，N.ACM ;B己知椭圆wm的离心率半,过点A(O, -b)和B (a, o)的直线到原点的距离为问：是否存在常数

6、 k，使得以CD 若不存在，请说明理由.(I)求椭圆的方程；(H )若直线y=kx+2(kz o)与椭圆交于 C D两点.为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k,22。(本小题满分12分)已知1 -川心-/7：(I)求函数的单调区间;（n）求函数上的最小值；（川）对一切的恒成立，求实数 a的取值范围2010高三诊断试题数学（理科）参考答案、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分。）题号123456789101112答案CCDBABCCDDAD12.解析：当m ： 0且m = -1时，曲线为椭圆，则不经过区域M ；当m二-1时，曲线为以原点为圆心，1为半径的圆，不经过区域 M当m=0时，x

7、=：1，不经过区域M 当m 0时，曲线为焦点在总经过区域M，则有34 -4m =1 解得 m = 4根据双曲线的性质可得:和 16 - m =1 解得 m = 15即有 16 V 1 7 所以 3 m 1515 m 34二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分。)313. 814. 3315.R31216. 5a 解析：依题意知曲线 PQ是以A、B为焦点、实轴长为 2的双曲线的一支，此双曲线的离心率2为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为x2 -工=1，3点C的坐标为(3, J3)则修建这条公路的总费用 W = a|MB |+2a|MC I =

8、 2a(丄|MB| + |MC |), 21设点M、C在双曲线右准线上射影分别为点M1、G ，根据双曲线的定义有IMMjr |MB |，所211以 W =2a( |MB | MC |) =2a(| MM 1 | MC |) _ 2a | CC1 2a (3) =5a22当且仅当点M为曲线PQ与线段CG的交点时取等号，故 W的最小值是5a .三、解答题(本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.解:(I)由 p / q 得 1 -cos2A = 3sin A，所以 2sin2 A = , 3sin A又A为锐角sinA 亠,2cos A而a2 -c2 =b2 -

9、mbc可以变形为b2 c2 - a22bcm 1即cos A，所以m = 12 21 73 cos A , sin A =-2 2b2 c22a2bc所以 be = b2 c2 a2 丄 2bc a2 即 be 三 a2故 S ABC =1 bcsin A 乞丄 a2 上3 二2 2 2当且仅当b = c.3时,ABC面积的最大值是18解：（I）依题意，an=O，故可将anan j an-an=0（ n_2）整理得:=1(n _2)an J11所以 11 (n 1) = n 即 an ：ann1n=1,上式也成立，所以an =丄n（n）t 0 =anan 1bn11 一丄n n 1 n(n 1

10、) n n 1二 Sn =bi b2b3|l( bn1 1 1 1 1 1書一2）（厂3）（3一4）lll+(- n lim Sn=lim =1j n 110分12分19.解：（I）：各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为p3 3 3 20二 C6 P (1 _ P) 2 分641解得p 4分2（n）记“需要补种”为事件A,则包括有 a : 3颗未成活、 A :有4颗未成活、 A :有5颗未成活、A :有6颗未成活共四种情况31313p（a）二巧（2）2064，P（A2）心吗215645 151 1P2C6”)64， P(A)二20 15 6 1642132卫1（川）由题意知，服从二

11、项分布B（6,丄）27分8分10分12分或的分布列为0123456p164664156420641564664164 E =0 丄1 A.2 3 204 155 A.6 丄=3646464646464643120.解法一：依题意有 AD / BC，所以 MAD 4所以点M是SD的中点，且 AM _SD(I)证明：连结 BD交AC于E ,连结ME:ABCD是正方形，E是BD的中点:M是SD的中点，ME是DSB的中位线CMJ6 ME /SB又 ME二平面ACM,SB 二平面 ACM , SB / 平面 ACM .(n)由题可得， CD _平面SAD，所以有CD _ AM，又SD _ AM AM 平

12、面 SCD , . ACM为直线AC与平面SDC所成的角在 Rt . AMC 中，AM冷 SD 诗 AD , ACADACM飞，即直线AC于平面SDC所成的角为-(川) AM 一平面 SCD . NMC为二面角N - AM -C的一个平面角10分且 AM _ SC，又 AN SC _ 平面 AMN在Rt . MNC中CM 二 CD2 MD26 AD ,2:Rt SNM s Rt SDC MNCD SMSCAD AD 兰 ad63AD-ad.MN-cos NMC AD 212分1 二面角N - AM -C的大小为arccos3解法二：依题意有 AD / BC，所以.MAD =-4所以点M是SD的

13、中点，且 AM _SDyAM为平面SCD的一个法向量如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 O - xyz，由SA = AB故设AB = AD = AS = 1则COS :-H TAM,AC 二AC| AM | | AC|Tt : AM , AC 治3直线AC于平面SDC所成的角为ji ji(川) AM 平面 SCD AM _ SC，又 AN-SC SC _ 平面 AMN SC = (1,1,-1)为平面AMN的一个法向量。设平面AMC的一个法向量为 (x, y, z)，贝y n -As _0n AC =0n sc 1令 x =1，则 z 二讨-1 即 n = (1, -11) cos ：

14、n, SC = C-In ,SC| 312分1二面角N AM C的大小为arccosc46 ?ia 3L 解得丿a = 73,1 abQ3b = 1ja2 +b2一 221.解：(I)直线 AB 方程为：bx_ay_ab=O依题意2椭圆方程为y23=1(n)假设存在这样的 k ,12kx 9 = 0y=kx+2,2x2+3y2-0 得(2)Xi设 C。，yj、D(X2，y2)，则Xi12kX22，1 3k29X221 3k2当且仅当OC _OD，即乂呈二-1时，以CD为直径的圆过原点 O(0,0),Xi X2即 yMNX? =010分, 2而 yi y2 = (kxi 2)( kx2 2) =

15、 k Xi X22k (xi X2) 4.2(k1)x2 2k(x.f x2) 4=0.将式代入整理解得 k39经验证，k = 39，使成立33综上可知，存在k =更，使得以CD为直径的圆过原点0(0,0)312分1 122解：(I ) f (x) =1 nx 1 令 f (x) ：0 解得 0 x f(x)的单调递减区间为(0,) ee1i令f(x)0解得x f (x)的单调递增区间为(J：) ee1(n )当 0 ：t ：t 2 时，t无解e1ii当 0 tt 2，即 0 ：t 时， f (X)min 二 f ()二eee则厶=(12k)2 -36(1 3k2)011当：:t：t2，即t 时，f(x)在t,t 2上单调递增, ee f (x)min = f (t) =tl ntf ( x) minetin tte(川)由题意：2xln x 空