人教A版高中数学空间向量与立体几何教学指导意见解读及教学体会

1、选修21 空间向量与立体几何教学指 导意见解读及教学体会 基本思想 根据立体几何问题的特点，以适当的 方式 （例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空 间向量表示空间图形中的点、线、面等元素， 建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过 空间向量的运算，研究相应元素之间的关系 （平行、垂直和夹角等）；最后对运算结果的 几何意义作出解释，从而解决立体几何问题， 教科书通过例题，引导学生对解决立体几何问 题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法） 进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适 当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问 题的能力。 利用向量来解决立体几何问题是学 习这部分内容的重点，要让学生体

2、 会向量的思想方法，在数学2“立 体几何初步”中，侧重于定性地研 究线、面的位置关系，而本章则借 助于空间向量，侧重于定量研究。 一“空间向量与立体几何”教学中 几个问题的探析 1.如何进行空间向量及其运算的教学？ 空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向 空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思 想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广 过程中可能带来的问题，并尝试如何解决这些 问题，同时，在这个过程中，也让学生感知一 个数学概念的推广可能带来很多更好的性质， 同时注意空间向量与平面向量的区别的联系， 教学中，要引导学生主动学习类比、归纳、推 广、化归等思想方法，提高数学素养。 向量运算的引

3、人，使数学运算对象发生了重大变 化：从数、字母与代数式到向量，这为进一步理 解其他数学运算（如函数的运算、映射、变换的 运算，等等）创造了条件，特别是当学生利用向 量运算解决了立体几何中的问题时（如证明直线 与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会 数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现 中的作用，体会数学研究方法的模式化特点，感 受理性思维的力量。 教材定义：平行于同一平面的向量叫做共面向 量，为此，先规定向量与平面平行的含义；若表 示向量的有向线段平行于平面或在平面内，则称 向量与平面平行，共面向量实质为：“能平移到 同一平面内的向量，突出了空间向量是“自由向 量”的特征，所以任意两

4、个空间向量都是共面向量。 定理的教学要注意与平面向量基本定理加以类 比，两者不仅在形式上是相同的，而且在本质上 也是一致的，这是因为任意两个空间向量a,b都 可以平移到同一个平面，当a,b不共线时，它们 可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向 量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性 表示。 2.注意“共面向量”的有关概念教学 3.注意空间向量的数量积的教学 由于任意两个空间向量都是共面向量，所以空间两 个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的 定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平 面向量相同。教学中，应引导学生自己将平面向量 中数量积的有关概念、运算和方法推广到空间，要

5、求学生理解向量的数量积是实施向量等式向数量等 式转化的重要途径，教材中引入了两个向量a与b夹 角的符号，要求学生能正确使用，例如， =bac，空间向量数量积运算律的证 明不作要求。 4:为何引入直线的方向向量和平面的法向量？ 空间线线、线面、面面的位置关系中，角是 反映了它们在“方向”上的差异，因此，用向 量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的 “方向”。这样，就需要引入直线的方向向量 和平面的法向量。 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线 的方向向量。直线的方向向量不止一个，它们 都是共线向量；两条平行直线的方向向量是共 线向量，因此，研究空间直线与直线、直线与 平面的平行与垂直关系

6、，以及它们所成的角的 问题，即研究它们在“方向”上的差异程度时 ，就可以用直线的方向向量来刻画直线的“方 向”。 由于垂直于同一平面的直线是互相平等的 ，因此可以用平面的垂线的方向向量来刻 画平面的“方向”。平面的法向量不止一 个，它们都是共线向量。两个平行平面的 法向量是共线向量，也就是说，两个平行 平面的“方向”是相同的。因此，研究空 间直线与平面、平面与平面的平行与垂直 关系，以及它们所成角的问题，即研究它 们在“方向”上的差异程度时，就可以用 平面的法向量来刻画平面的“方向”。 5.如何利用空间向量解决立体几何问题？ 关于度量计算，只要求用向量法解决线线、线面、面面 的夹角的计算，而不

7、要求去解决有关距离的计算等问题。 用向量法求线线、线面、面面所成的角时，一般可结合 图形来确定，由于两个向量夹角的取值范围是0， 空间两条直线所成的角的范围是0，/2，所以空间两 条直线所成的角等于这两条直线的方向向量的夹角（或 者其补角）；平面的斜线与平面所成的角的范围是0， /2），所以平面的斜线与平面所成的角等于这条斜线 的方向向量与平面法向量的夹角（或者其补角）的余角； 二面角的取值范围是（0，所以它的大小等于两个 平面的法向量夹角的补角（当两个法向量“指向”相同 时），或者就等于法向量的夹角（当两个法向量“指向” 相反时）。 6.如何把握三垂线定理的教学？ 在数学2立体几何中，三垂线

8、定理淡出，只是在 例题中用综合法通过直线与平面的垂直证明了这 个定理，但是没给出“三垂线定理”的名称，选 修2-1中要求学生会用向量方法证明三垂线定理， 进一步体会向量方法在研究几何图形中的作用， 但不要求将三垂线定理作为推理的依据。 课程目标课程目标 空间向量为处理立体几何问题提供了新 工具和新方法。通过学习本章，可以使 学生在对平面向量已有认识的基础上， 进一步学习空间向量，并运用空间向量 研究立体几何中的问题，进一步体会向 量方法在解决几何问题中的作用。 (一一)、课程目标与学习目、课程目标与学习目 标标 二.指导意见解读 学习目标学习目标 1 . 经历向量及其运算由二维平面情形向三 维

9、空间情形推广的过程。 2. 了解空间向量的概念，了解空间向量的 基本定理，掌握空间向量的正交分解及其 坐标表示。 3. 掌握空间向量的线性运算及其表示。 4. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积判断向量的共线（平 行）与垂直。 5.理解直线的方向向量与平面的法向量。 6.能用向量语言描述直线与直线、直线与 平面、平面与平面的垂直、平行关系。 7.能用向量方法证明有关直线、平面位置 关系的一些定理。 8.能用向量方法解决直线与直线、直线与 平面、平面与平面的夹角等的计算问题， 体会向量方法在研究几何问题中的作用。 (二)、与原大纲教材的比较 大纲教材新教材 重点立体几何知识

10、空间向量和向量 方法 空间向量 知识 对空间向量只是作为 解决部分问题的工具 强调对向量方法 的一般性认识 立体几何 知识 有系统性要求不作系统性要求 原大纲目标表述新课标目标表述 1.理解空间向量的概念掌 握空间向量的加法、减 法和数乘. 2.了解空间向量基本定理； 理解空间向量的坐标的 概念，掌握空间向量运 算. 3.掌握空间向量的数量积 的定义及其性质，掌握 用直角坐标计算空间向 量数量积的公式；掌握 空间两点间的距离公式. 1.经历向量及其运算由平面 向空间推广的过程 . 2.了解空间向量的概念，了 解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交 分解及其坐标表示 . 3.掌握空间

11、向量的线性运算 及其坐标表示 . 4.掌握空间向量的数量积及 其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂 直. 原大纲目标表述新课标目标表述 4.理解直线的方向向量、 平面的法向量、向量在平 面内的射影. 5.掌握直线和直线、直线 和平面、平面和平面所成 的角、距离的概念(对于 异面直线的距离,只要求 会利用给出公垂线计算距 离)；掌握直线和平面垂 直的性质定理；掌握两个 平面平行的判定定理和性 质定理；掌握两个平面垂 直的判定定理和性质定理. 5.理解直线的方向向量与平 面的法向量. 6.能用向量语言表述线线、 线面、面面的垂直、平行关 系 . 7.能用向量方法证明有关线、 面位置关

12、系的一些定理(包括 三垂线定理). 8.能用向量方法解决线线、 线面、面面的夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用 . (三三)、内容与要求、内容与要求 本章共分两节： 31 空间向量及其运算 32 立体几何中的向量方法 3.13.1空间向量及其运算空间向量及其运算 空间向量及其加减法运算 空间向量数乘运算（直线的方向向量,共 面向量定理） 空间向量的数量积运算 空间向量的正交分解及其坐标表示（空 间向量基本定理） 空间向量运算的坐标表示 3.1节的重点与难点 “空间向量及其运算”是本章的基 础，这一节的重点是空间向量的基 本概念和基本运算、空间向量的基 本定理。 难点是空间向

13、量的基本定理。 3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 立体几何中的向量方法（三步曲）立体几何中的向量方法（三步曲） 1. 1.向量表示向量表示 2. 2.向量运算向量运算 3. 3.回归几何回归几何 3.2节的重点与难点 “立体几何中的向量方法”从一个侧面 （立体几何）反映了空间向量的应用， 同时也是对空间向量的再认识。重点是 理解并掌握向量方法解决立体几何问题 的一般方法（“三步曲”）。 难点是建立立体图形与空间向量之间的 联系，把立体几何问题转化为向量问题。 阅读与思考 本章在3.1 节“空间向量及其运算” 之后安排了一个“阅读与思考“向 量概念的推广与应用”，介绍了三

14、 维以上的高维向量，并通过例子说 明高维向量的应用。它可供学有余 力的学生学习。 本章知识结构 (四)、课时分配（12课时） 3.1.1 空间向量及其加减运算1课时 3.1.2 空间向量的数乘运算1课时 3.1.3 空间向量的数量积运算1课时 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1课时 3.1.5 空间向量运算的坐标表示1课时 复习小结1课时 32 立体几何中的向量方法5课时 复习小结1课时 1、把重点放在空间向量和向量法上。、把重点放在空间向量和向量法上。 空间向量和向量方法是重点，而对于立体几何知识空间向量和向量方法是重点，而对于立体几何知识 并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问

15、题并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题 的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应 用，要使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。用，要使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。 空间向量的教学中，用好平行六面体；类比平面向空间向量的教学中，用好平行六面体；类比平面向 量提出空间向量中的问题和研究方法量提出空间向量中的问题和研究方法可以自学。可以自学。 3.23.2节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法 学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量表示。学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量表示。 向量

16、法中，要抓住根据条件选择适当的向量法中，要抓住根据条件选择适当的“基底基底”， 建立空间坐标系的训练。建立空间坐标系的训练。 (五五)、教学建议教学建议 2、注意数与形的关联。、注意数与形的关联。 向量向量数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系，数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系， 特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如：特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如： 2、注意数与形的关联。、注意数与形的关联。 向量的特征之一是其本身具有数与形两重向量的特征之一是其本身具有数与形两重 含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及

17、 的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横 向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运 用向量及其运算中数与形的关联。教学中应结用向量及其运算中数与形的关联。教学中应结 合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体 的模型作用，引导学生借助图形理解它们，注的模型作用，引导学生借助图形理解它们，注 意避免不联系几何意义的死记硬背。意避免不联系几何意义的死记硬背。 3、平面的法向量的计算： （待定系数法）（待定系数法） 例如：在棱长为例如：在棱长为a a的正方体的正方体abcdabcd

18、 a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中，e e，f f 分别是分别是abab与与bcbc 的中点，求平面的中点，求平面b b1 1ef ef 的法向量。的法向量。 f e c1 c d a b d1 a1 b1 4、空间角的计算 (1)线线角 设e e1，e e2分别为直线l1，l2的方 向向量，直线l1，l2 所成的 角为，则 21 21 cos ee ee e2 e1 l2 l1 a 1 a b 1 b 1 f x y z 解：以点c为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示， 设 则 1 1cc (1,0,0), (0,1,0),ab cxyz c ) 1 , 2 1 ,

19、 2 1 (),1 , 0 , 2 1 ( 11 df ) 1 , 2 1 , 2 1 (,) 1 , 0 , 2 1 ( 11 dbfa 10 30 2 3 4 5 | 1 4 1 | | | 11 11 dbfa dbfa 11 cos,af bd | 所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 1 bd 1 af 30 10 例：三棱柱例：三棱柱 111 abca b c中中, ,90bca , , 1 bccacc, ,、ef 分别是棱分别是棱 1111 、a bac的中点的中点, ,求求 1 bd与与 1 af所成的角的余弦值所成的角的余弦值. . c1 d (2)线面角 设e

20、为直线l的方向向量，n 为平面的法向量，l与 平面所成的角为，则 ) 2 cos(sin ne ne l n e x y z (1)(1)求证：求证：cm em ; 例例 (07浙江卷浙江卷) 在如图所示的几何体中，在如图所示的几何体中， ea 平面平面abc，db 平面平面abc，ac bc 且且ac=bc=bd=2ae，m是是ab的中点的中点. (2)(2)求求cm与平面与平面cde所成的角所成的角. a c b m e d (3)二面角 设n n1，n n2分别为平面1，2的法向量，平面1， 2 所成的二面角为，则cos 21 21 nn nn 2 1 n2 n1 用法向量求二面角用法向量求二面角. . b b p p a a 1 n 2 n p p a a b b o o 1 n 2 n 图1图2 a b c d s 解： 建立空直角坐系a-xyz如所示, ),0 , 2 1 , 0(da( 0, 0, 0) ,c ( -1, 1, 0) ,(0,0,1