理科数学第一轮复习圆锥曲线含教案和课件第二节双曲线

1、第二节双曲线、基本知识概要:1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点Fi,F2距离的差的绝对值等于 2a（2a ：| RF? |）的点的轨迹，即点集9卄尸片PF? =2a。（ 2a=FiF?为两射线；2&丁店2无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左 -右为右支，上-下为下支等。第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数（e .1）的动点的轨PRPF2迹。即点集P| = P |= e1 ，个比产生整条双曲线。.diJd22.双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2 y2 笃=1(a 0,b0) ab2 2y2 x2 =1g0,b:0)ab图形mV.J、一才Lx ps性质焦占八

2、 、八、F1 (- c,0), F2 ( c,0)F1 ( 0 -c) , F2 ( O,c)焦距| F 1F2|=2ca2 十b2 =c2 个 Rt 也范围| x|“, y e r| y |a,xE R对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(-a , 0 )。(a, 0)(0, -a) (0, a)轴实轴长2a,虚轴长 2b准线2+ ax =c2.ay =兰c渐近线xy = 0= y = 匕 x a bax J ca二=0二 y = _ xb ab共渐近线的双曲线系方程斗-耳=k或= k（k工0）aba b2焦半径P在右支上，口 =阡寸=ex + ar2 = |PF2| = ex - aP在左支

3、上，A = PF1 = (ex +a) r 2 = PF 2 = (ex a)P在上支上，口 =| PFf = ey + a r2 =| PF2| = ey - aP在下支上， =|PF=-(ey+ a) r2 =| PF2 -(ey - a)PF| .=c-a11 min平面几何 性质ce = ( e 1)， e 大开口大a离心率2 2 2焦准距p =乞，准线间距-J,焦渐距=b。cc说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。(2)双曲线方程中的a,b,c,e, p与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方

4、程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b，个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有 关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。X 2利用共渐近线的双曲线系x2ay2b22=k或y2ab7二k(k = O)方程解题，常使解法简捷 。双曲线的焦半径,当点P在右支(或上支)上时，为ex。 a,(ey _a);当点p在左支(或下支)上时，为 -(ex。_a),-(ey。-a);利用焦半径公式，

5、解题简洁明了，注意运用,3. 重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。4. 思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。二、例题：例1:根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线2 2x _ y916=1有共同渐近线，且过点(-3,2 3)；2 2 与双曲线 哲 L =1有公共焦点，且过点（3、2,2）。1642【解】：（1）设所求双曲线方程为 2y16=（=0），将点（-3,2、3）代入得二丄，4所以双曲线方程为2y16x2（2 ）设双曲线方程为16 k将点（3、2,2）代入得k = 4,9x22y 1所以双曲

6、线方程为。12 8【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。22例2:在双曲线 丄 =1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。169【解】：设P点的坐标为（x, y），Fl, F2分别为双曲线的左，右焦点。双曲线的准线方程为X = 16。5IPF11 _|x ：I I516x -5 IPF1 |=2|PF2 | PI在双曲线的右支上。2IPF2I |PF2 |16x5 x二坐。把x二兰代入方程552x1623 .1 得 y = _3 *119。95所以,P点的坐标为4853_3 J19 )5【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了 例3. （

7、2002年全国，19）设点P到点 轴距离之比为2,求m的取值范围。M(- 1, 0), N ( 1, 0)距离之差为2m,到x轴、y解：设点P的坐标为（x,y ）,依题意得y =2,即y2x(x7)。x(1)因此，点P (x.y ) ,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得|PM| PNMN =2PM-PN=2m 0八 0 m 1,因此，点2P在以M N为焦点，实轴长为 2 m的双曲线上，故m2丄1 (2)将(1代入(2),并解得x22 2m (1 -m ),1 - 5m291 - m 0, 1 - 5m 0解得0v m v二，即m的取值范围为( ,0)U(0,_)。555【思维点拨】本题

8、考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析 问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。2 2例4:已知双曲线 务一召=1的离心率e V 2 ,左，右焦点分别的为 F2，左准线a b为li，能否在双曲线的左支上找到一点P,使得| PR |是P到I的距离d与|PF2 |的等比中项。【解】：设在左半支上存在点P，使| PR |2 PF2 |d，由双曲线的第二定义知于=需，即肛內叽再由双曲线的第一定义，得| PF2 | - | PF1卜2a由，解得：| PF1 卜-2a,| PF2 I二 2aee-1e1由在 PF1F2 中有 | PF2 | | PR |_ 2c

9、,空.進 _ 2Ce1 e1C2利用e ，从式得e -2e -1辽0 a符合条件的点P不存在。e 1 1 ： e 乞12 , 与已知e 1 - 2 矛盾。【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。2 2例5.如图，在双曲线 -1的上支有三点 A(x., ,y1),B(x2,6),C(x3,y3)，它们与点1213F (0, 5)的距离成等差数列。(1) 求 y1 - y3B 值(2) 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解：(1) c - 12 15,故F双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e,由题设有2FB = FA + FC(1)分别过A B、C作x轴的垂线AA2,B

10、B2,CC2,交l于A1? B1? C1，则由双曲线的第二定义有 FB = eBB1 , FA =eAA , FC =eCG代入 (1 ) 式，得2eBBi| =eAAi +eCG ,即2BB“ = AA“ + CC“，于是两边均加上准线与 x轴距离的2倍，有 2 BB2 = AAe + CC2，此即 2x6=比 + y3=力 + y3 = 12AC3_宁),即 y-6y1 - y322 2x1 - X3x1x3xy1 - y32(力 - y3)(2)由于A2 2C在双曲线上，所以有里_乞1213=1,相减得2 2 2 2 2x1 x3y1y3于是有x1x12% - y313故(2)式化为=匹

11、(力 y3)=匹 12 =1312 a 12為-x3252513x，易知此直线过定点 D(0,)。% - y322【思维点拨】题往往把利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦 A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。AC的中点，中点问例6：(备用)已知双曲线的焦点在 x轴上，且过点 A(1,0)和B(-1,0)，P是双曲线上异于A B的任一点，如果 APB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。2【解】：设双曲线方程为X2 -爲=1, P(x0,y0)为双曲线上任一点，bn PM是 A APB的两条b1 _ x高，则BN方程为y = (x+1) PM 方程为X = X

12、。 y。2 22 V0V02 v0又X0r=1,得H(X0, 0)，又H在双曲线上， X00T =1bbb- b =1，所以双曲线方程为 x -y =1【思维点拨】设方程，消参数。例7:(备用)双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为,3，它的两个焦点分别为 F1, F2,直线1 .l过F2且与直线FF2的夹角为：，且tan, I与线段FF2的垂直平分线的交点为 P,2线段P F2与双曲线的交点为 Q,且| PQ |: |QF2 | = 2: 1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。【解】：以F1F2的中心为原点，F1, F2所在的直线为X轴建立坐标系，2 2则所求双曲线方程为H =1(a .0,b . 0)，设 F2(c,0), a b不妨设I的方程为y21亍（x-c），它与y轴交点P（0,21 、tc)由定比分点坐标公式0 2c 2xc3Q点的坐标为3.21c2321c即 c, 21 c)6由点Q在双曲线上可得竺一竺=19a 36bab=3 a2 b2 = c2 解得a = 1, b