通信工程毕业设计（论文）基于FPGA自适应滤波器的设计与研究

1、北京邮电大学世纪学院北京邮电大学世纪学院 毕业设计毕业设计( (论文论文) ) 题 目 基于 fpga 自适应滤波器的 设计与研究 学 号 0000000 学生姓名 专业名称 通信工程 所在系（院） 通信与信息工程 指导教师 2012 年 5 月 30 日 北京邮电大学世纪学院北京邮电大学世纪学院 毕业设计（论文）诚信声明毕业设计（论文）诚信声明 本人声明所呈交的毕业设计（论文） ，题目基于 fpga 自适应滤波器的设计 与研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，除了文中 特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，毕业设计（论文）中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不

2、包含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 日期： 毕业设计（论文）使用权的说明毕业设计（论文）使用权的说明 本人完全了解北京邮电大学世纪学院有关保管、使用论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影 印、缩印或其它复制手段复制并保存论文；学校可允许论文被查阅或借阅；学 校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容。 本人签名： 日期： 指导教师签名： 日期： 题目 基于 fpga 自适应滤波器设计与研究 摘要 自适

3、应滤波器是统计信号处理的一个重要组成部分。在实际应用中，由于没有 充足的信息来设计固定系数的数字滤波器，或者设计规则会在滤波器正常运行时改 变，因此我们需要研究自适应滤波器。凡是需要处理未知统计环境下运算结果所产 生的信号或需要处理非平稳信号时，自适应滤波器可以提供一种吸引人的解决方法， 而且其性能通常远优于用常方法设计的固定滤波器。此外，自适应滤波器还能提供 非自适应方法所不可能提供的新的信号处理能力。 本文从自适应滤波器研究的意义入手，介绍了自适应滤波器的基本理论思想， 具体阐述了自适应滤波器的基本原理、算法及设计方法。自适应滤波器的算法是整 个系统的核心。本文中，对两种最基本的自适应算法

4、，即最小均方误差(lms)算法 和递归最小二乘（rls)算法进行了详细的介绍和分析，并针对两种算法的优缺点进 行了详细的比较。 关键词 fpga lms rms 自适应滤波器 title design and research of auto-adapted filter based on fpga abstract the auto-adapted filter is an important part of the digital signal processing. in practical application, there havent sufficient information

5、 to design the fixed coefficient digital filter, or the design rule will be changed when the filter normally operated. therefore, we need to research the auto-adapted filter. whenever needs to process the signal under the unknown statistical environment, or the non-steady signal, the auto-adapted fi

6、lter can provide a appealing solution. moreover, its performance usually over the normally fixed filter. in addition, the auto-adapted filter can also provide the ability of the recent signal process which the non-auto-adapted method is impossible to provide. firstly this thesis proposed the importa

7、nce of auto-adapted filter research and introduced its elementary theory , algorithm and design method. the core of the whole system is the auto-adapted filters algorithm . in this article, two of the most basic auto-adapted algorithms, the smallest mean error (lms) algorithm and the recursive least

8、 squares (rls) algorithm, have particularly introduced and analyzed. keywords fpga lms rms auto-adapted filter 目录 1前言.1 1.1 引言.1 1.2 课题研究意义和目的.2 1.3 国内外研究发展状况.2 2 自适应算法研究及分析.5 2.1 滤波器的基本概念.5 2.2 数字滤波器的基本概念.5 2.3 自适应滤波器的原理.7 2.4 自适应滤波算法种类 .8 2.4.1 最小均方（lms）算法.8 2.4.2 递推最小二乘法（rls）算法.12 3 自适应滤波器的设计.15

9、3.1fpga 背景及工作原理.15 3.1.1 背景.15 3.1.2 fpga 工作原理.15 3.2 滤波器设计.16 3.2.1、ale 的基本原理.16 3.2.2 对 ale 性能的相关讨论.18 3.2.3 仿真结果.20 4 结论.21 致谢.22 参考文献.23 1前言 1.1 引言 随着信号处理技术的不断发展，对信号处理速度的要求也不断提高。由于受到 目前技术水平的限制，特别是集成电路技术发展的限制，许多理论上已经很成熟的 信号处理算法很难得以实用，这里面一个最重要的原因是硬件速度问题。要求处理 的信号形式越来越复杂，使得现代信号处理的方法大都以大数据量、高复杂度为其 主要

10、特点。在这种情况下，寻找有效的实时信号处理方法是非常有必要和迫切的。 滤波技术是信号处理中的一种基本方法和技术，尤其数字滤波技术使用广泛，数字 滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家的重视。从总的来说滤波可分为 经典滤波和现代滤波。经典滤波要求已知信号和噪声的统计特性，如维纳滤波和卡 尔曼滤波。现代滤波则不要求己知信号和噪声的统计特性，如自适应滤波。自适应 滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果，自动地调节现时刻的滤波 参数，从而达到最优化滤波。自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于 平稳和非平稳随机信号的检测和估计。自适应滤波一般包括 3 个模块：滤波结构、 性能判据

11、和自适应算法。其中，自适应滤波算法一直是人们的研究热点，包括线性 自适应算法和非线性自适应算法，非线性自适应算法具有更强的信号处理能力，但 计算比较复杂，实际应用最多的仍然是线性自适应滤波算法。线性自适应滤波算法 的种类很多，有 lms 自适应滤波算法、r 路自适应滤波算法、变换域自适应滤波 算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等。 随着数字信号处理技术的发展，可编程门阵列 fpga 的应用迅速的普及起来， fpga 具有高逻辑密度，高可靠性，用户可编程以及可并行运算等特点，可缩短开 发周期，降低成本，很好的同时满足通用性和实时性要求。自 1985 年 xilinx 公司 推出的第一块现场可编程逻

12、辑器件至今，以 fpga 为代表的数位系统现场集成获得 了惊人的发展，从最初 1200 个可编程逻辑门电路发展到到 90 年代的 25 万个逻辑 门电路。发展最早两大著名 fpga 厂商即是以 fpga 器件系列为代表的 xilinx 公司 和以 cpld 器件系列为代表的 altera 公司。随着集成电路技术和数字信号处理技术 的日新月异，fpga 技术以现场可编程、现场修改、现场验证、现场实现的应用优 势，已经跃升为电子电路应用领域广受欢迎的实用技术。 1.2 课题研究意义和目的 对自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一。 windrow 等于 1967 年提出的

13、自适应滤波系统的参数能自动的调整而达到最优状况， 而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。 这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波器性能几乎如卡尔曼滤波 器一样好。自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤波参数是随外部环 境的变化而变化的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤波的要求。自适应滤 波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参量信号按 照一定准则修改滤波参量，以使它本身能有效的跟踪外部环境的变化。因此，自适 应数字系统具有很强的自学习、自跟踪能力和算法的简单易实现性。自适应滤波技 术的核心问题是自适应算法的性能问

14、题，提出的自适应算法主要有最小均方(lms) 算法、递归最小二乘(rls)算法及相应的改进算法如：归一化(nlms)算法、变步长 (svslms)算法、递归最小二乘方格形(rlsl)算法等。这些算法各有特点，适用于 不同的场合。研究自适应算法是自适应滤波器的一个关键内容。最小均方误差 (lms，the least mean square)算法是线性自适应滤波算法中最基本的两类算法之一， 其主要思想是基于最小均方误差准则，使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的 均方误差最小2。由于 lms 算法简单有效、鲁棒性好、易于实现，得到了广泛的应 用。目前应用最多的是系统辨识、回波消除、自适应谱线增强、

15、自适应信道均衡、 语音线性预测、自适应天线阵等诸多领域。 1.3 国内外研究发展状况 自适应滤波的基本理论通过几十年的发展已日趋成熟，近十几年来自适应滤波 器的研究主要针对算法与硬件实现。算法研究主要是对算法速度和精度的改 进，其方法大都采用软件 c、matlab 等仿真软件对算法的建模和修正。通常， 自适应滤波器的硬件实现都是用 dsp 通用处理器(如 ti 的 tms320 系列)。dsp 器 件采用改进的哈佛结构，具有独立的程序和数据空间，允许同时存取程序和数据， 内置高速的硬件乘法器(mac)，增强的多级流水线。dsp 具有的硬件乘法模块 (mac)，专用的存储器以及适用于高速数据运行

16、的总线结构，使 dsp 器件具有高速 的数据运算能力。目前，用 dsp 器件处理数字信号已经成为电子领域的研究热点。 在自适应信号处理领域，对于数据处理速度在几兆赫兹以内的，通用 dsp 器件也是 首选。迟男等人在 tms320c32 芯片上扩展 eprom 和 ram，实现了 30 阶 lms 自 适应滤波器，使用的刀 d 转化器件为 ad1674，最高采样频率为 l00khz。陆斌等人 采用 tms320c30 数字信号处理器与 imsa110 专用滤波器并行处理的方法设计出了 自适应滤波器并应用于直接序列的扩频接收系统 1221。赵慧民等人在 tms320c31 上实现了自适应权向量滤波

17、器，完成了信号采样频率为 80khz 的自适应滤波。在 数据处理速度只要求在几兆赫兹以内的应用场合，这些用 dsp 实现的自适应滤波器 能很好的满足系统实时的需求。在这种需求场合下，dsp 具有不可媲美的性价比3。 但是随着信息化的进程加快和计算机科学与技术、信号处理理论与方法等的迅 速发展，需要处理的数据量越来越大，对实时性和精度的要求越来越高。以迅 速发展的移动通信技术为例，从 ig 时代只能传送语音的模拟通信，到 2g 时代的传 送语音和数据的 gsm、tdma 与 cdma1595，到 2.5g 时代传送语音、数据、图片、 彩信 mms、简短视频、收发 e-mail、网页浏览等的 gp

18、rs 与 cdma2000lx，到目 前正处于研发与测试阶段的能够传送图像、音乐、视频流等多种媒体形式，提供包 括网页浏览、电话会议、电子商务的 3g 通信，以及目前正在研发与憧憬中的能够 传送高质量流畅的视频流与多种实时流媒体业务的 4g 通信。系统的功能是越来越 强大，但对数据传送与处理的速率要求也是越来越高。目前广泛使用的 gsm 系统 的数据传输速率只有 9.6kbit/s，窄带 cdma 传输速率也只有 14.4kbit/s，但到 2.5g 的 gprs 系统数据传输速率达到了 150kbit/t 左右，而根据 imt2000 协议，3g 通信 室内或静止状态下的数据传输速率将达到

19、2mbit/s，到了基于全 ip 网络的 4g 时代， 在慢速或静止状态下数据传输速率将达到 100mbit/s。而自适应接收技术包括自适应 均衡器、智能天线、自适应调制、自适应编码等，是数字通信系统中的关键技术之 一。通信系统发展到 3g 后，几十甚至上百兆比特每秒的数据传输速率对自适应接 收技术是个极大的挑战。dsp 处理器虽然具有良好的通用性和灵活性，虽然其在硬 件结构上得到了很大的改进，比如增加了多个硬件乘法器和使用多乘法器的并行指 令等，但并没有摆脱传统的 cpu 工作模式，而且 dsp 处理器是通过软件指令完成 dsp 算法，其顺序的工作方式制约了其数据处理速率，而使用多片 dsp

20、 组合电路 和过多的外部接口电路将导致信号通道过长、过于复杂，成本也成倍地提高，因此 dsp 处理器对于 3g 和 4g 通信中几十甚至上百兆比特每秒的数据处理速率显得无 能为力。 常用的数字系统目标器件除了 dsp 处理器外还有专用集成电路(asic)、专用标 准电路模块(assp)和现场可编程门阵列(fpga)。asic 和 assp 是专门针对完成某 种数字信号处理算法的集成电路器件，因此其在性能指标、工作速度、可靠性和成 本上优于 dsp 处理器。其优秀的工作性能主要源于特定的算法全部由 assp 和 asic 中的硬件电路完成。assp 是半定制集成电路，在许多 dsp 算法的实现方

21、面 都优于 dsp(数字信号处理器)，但在功能重构，以及应用性修正方面缺乏灵活性; asic 专用集成电路使用超大规模专用集成电路 asic 的实现方法是实用化的产品唯 一可行的方法，只有使用 ic，才有高可靠性和可接受的价格及体积功耗等。asic 虽然有一定的可定制性，但开发周期长，而且有一个最小定制量，在实验室研制开 发阶段，开发成本非常高。现代大容量、高速度的 fpga 在可重配置的数字信号处 理应用领域，特别是对于任务单一、算法复杂的前端数字信号处理运算，有独特的 优势。例如对于需要经常更新滤波器权系数的自适应滤波器，由于特定 dsp 处理器 的位数是固定的，采用 fpga 处理器相比

22、 dsp 处理器就具有总线可调整的优势。 另外，fpga 所具有的大规模并行处理能力和可编程的灵活性使得设计的系统能获 得极高的处理性能，并且能够适应日益变化的标准、协议和性能需求。用 fpga 实 现自适应滤波器，国外起步比较早，发展也非常迅速。hesener a.于 1996 年提出了 用 fpga 实现自适应滤波器的设想，并在 fpga 上实现了处理速度可达 sm 的 8 阶 8 位 fir 滤波器。woolfries n.等人用 fpga 实现了自适应栈滤波器，并应用于图象 处理。dawood a.等人用 fpga 开发了自适应 fir 滤波器并与 dsp 处理器方案进行 了比较研究。

23、国内有一些关于自适应算法硬件实现的研究，但基本是针对自适应滤 波器中的算法，如南开大学李国峰的博士论文用 vhdl 语言描述了正负数的运算问 题和浮点数运算问题，完成了基于 fir 的 lms 自适应滤波器的硬件设计与逻辑综 合。国防科学技术大学江和平等人讨论了自适应卡尔曼算法的简化，并完成了 fpga 的设计。同济大学梁甲华等人重点讨论了编码方法在 fpga 的技术问题。上 海交通大学范瑜等人介绍了用 vhdl 语言实现并行延时 lms 算法的自适应数字波 束成形器的 fpga 设计过程。而针对自适应格型结构采用 fpga 硬件实现的文献报 导很少，国内中国科学技术大学王显洁等人通过采用流水

24、线结构和运算单元分时复 用，提高了运算速度，能够满足实时性预测编码要求。1998 年弗吉尼亚大学的 stephenj.hevey 在其硕士论文中利用 dsp 处理器和自适应格型递归滤波算法完成了 对线性二次型最优控制器的设计，通过实验表明了在宽带干扰下格型结构的滤波器 性能优于 lms 滤波器，在窄带和谐波干扰下两者的区别不大，但所需阶数至少比 lms 滤波器减少一半，可以节省大量硬件资源。 2自适应算法研究及分析 2.1 滤波器的基本概念 凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信装备和各类控 制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要 算滤波器了

25、。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历 来为各国所重视。 滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的 交流电。您可以通过基本的滤波器积木块二阶通用滤波器传递函数，推导出最 通用的滤波器类型：低通、带通、高通、陷波和椭圆型滤波器。传递函数的参数 f0、d、hhp、hbp 和 hlp，可用来构造所有类型的滤波器。转降频率 f0 为 s 项 开始占支配作用时的频率。设计者将低于此值的频率看作是低频，而将高于此值的 频率看作是高频，并将在此值附近的频率看作是带内频率。阻尼 d 用于测量滤波器 如何从低频率转变至高频率，它是滤波器趋向振荡的一个指标，实际

26、阻尼值从 0 至 2 变化。高通系数 hhp 是对那些高于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。带 通系数 hbp 是对那些在转降频率附近的频率起支配作用的分子的系数。低通系数 h lp 是对那些低于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。设计者只需这 5 个参 数即可定义一个滤波器3-5。 2.2 数字滤波器的基本概念 从输入信号中滤出噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，相应的装置称 为滤波器。如果滤波器的输入和输出均为离散信号，称该滤波器为数字滤波器。当 滤波器的输出信号为输入端的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，否则就称为 非线性滤波器。一个典型的数字滤波器的框图如图 2-1 所示。

27、 x(n)y(n) h(n) 图2-1 数字滤波器 设输入信号为 x(n)，输出信号为 y(n)，该数字滤波器可用以下差分方程来表示： 式(2-1) 1 0 1 1 )()( m i n i ii inybinxany 式中，称为滤波器系数。 i a i b 当时，上式变为：0 i b 式(2-2) 1 0 m i i inxany 这种滤波器称为全零点滤波器。 如果，时，则称为全极点滤波器或递归滤波器。0 i a0 i b 由上式，可知数字滤波器的传递函数为: 式(2-3) m i i i m i i zb za zh 1 1 0 1 1 其单位冲击响应函数为: 式(2-4) zhznh 1

28、 式(2-5) i inxihnxnhny 如果当 n0 时，有 h(n)=0，这样的滤波器系统称之为因果系统。如果冲激响应函数 是有限长的，即 式(2-6) else nnnh nh , 0 0 , 则称此滤波器为有限冲激响应 fir(finiteimpulseresponse)滤波器，否则，称之为无 限冲激响应 iir(infiniteimpulseresponse)滤波器。 如果 h(n)满足如下条件: cnh nnh n 0 0, 0 则称此滤波器是因果的，并且是稳定的。 2.3 自适应滤波器的原理 所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果，自动的调 节现时刻的滤波器

29、参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而 实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的 维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用 于实时处理。由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅 用 fir 和 ii 种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须 设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。自适应滤波器的特性变化是由自适 应算法通过调整滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由两部分组成，一 是滤波器结构，二是调整滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的结构采用 fir 或 ii

30、r 结构均可，由于 iir 滤波器存在稳定性问题，因此一般采用 fir 滤波器作为 自适应滤波器的结构。图 2-2 示出了自适应滤波器的一般结构。 图 2-2 为自适应滤波器结构的一般形式，图中 x (k)输入信号，通过权系数可调 参考可调滤波器 自适应算法 + 输入信号 标准信号 + - 误差信号 y（k） 图2-2 自适应滤波器结构的一般形式 的数字滤波器后产生输出信号 y (k)，将输出信号 y (k)与标准信号（又称期望信号 ）d(k)进行比较，得到误差信号 e (k)。e (k)和 x (k)通过自适应算法对滤波器的权 系数进行调整，调整的目的使得误差信号 e (k)最小。重复上面过

31、程，滤波器在自己 的工作过程中逐渐了解到输入信号和噪声的统计规律，并以此为根据自动调整滤波 器权系数，从而达到最佳的滤波效果。一旦输入的统计规律发生了变化，滤波器能 够自动跟踪输入信号变化，自动调整滤波器的权系数，最终达到滤波效果，实现自 适应过程。图 2-3 是使用自适应滤波器的系统识别原理图。 自适应滤波器的结构可以采用 fir 或 iir 滤波器存在稳定性问题，因此一般采 用 fir 滤波器作为自适应滤波器的结构。自适应 fir 滤波器结构又可分为 3 种结构 类型：横向型结构（transversal structure） 、对称横向型结构（symmetric transvers al

32、structure）以及格型结构（lattice struture） 。本文采用自适应滤波器设计中最常 用的 fir 横向型结构5-8。 2.4 自适应滤波算法种类 2.4.1 最小均方（lms）算法 由 widrow 和 hoff 引入的最小均方(lms)算法，由于其简单性、运算高效性各 种运行条件下良好的性能，而被广泛应用。基于梯度的最小均方(lms)算法是最基 本的算法，其含义相对简单明了。选定均方误差为权矢量二次函数时，性能度量曲 线可以形象地看成一个碗形曲面这样自适应处理器的任务便是不断地向最低点逼近， 即可以通过计算梯度的方法实现性能度量的最优化。而基于梯度的算法中，最简单 的一种

33、就是最小均方算法 lms 算法，lms 算法使用的准则是使均衡器的期望输出 h(z) w(z) x(n) y(n) d(n) e(n) - + 图2-3 自适应滤波器的系统识别框图 值和实际输出值之间的均方误差(mse)最小化的准则，依据输入信号在迭代过程中 估计梯度矢量，并更新权系数以达到最优的自适应迭代算法9。这算法不需要计算 相应的相关函数，也不需要进行矩阵运算。自适应滤波器最普通的应用就是横向结 构。滤波器的输出信号 y(n)是 y(n) 式(2-7) 1 0 n i i t inxnwnxnwny t 表示转置矩阵， n 是时间指针，n 是滤波器次数。这个例子就是有限脉冲响 应滤波器

34、的形式，为 x(n)和 w(n)两个矩阵卷积。 这种自适应算法使用误差信号 式(2-8) nyndne 为了方便起见，将上述式子表示为向量形式，则上述式子表示为: 式(2-9) nxnwny t 误差序列可写为 式(2-10) nxnwndnyndne t 其中 d(n)是期望信号，y(n)是滤波器的输出。使用输入向量 x(n)和 e(n)来更新自适应 滤波器的最小化标准的相关系数。 显然，自适应滤波器控制机理是用误差序列 e(n)按照某种准则和算法对其系数 wi(n)，i=1，2，n 进行调节的，最终使自适应滤波的目标(代价)函数最小化， 达到最佳滤波状态。 本节所用的标准是最小均方误差(m

35、se)。 式(2-11) neee 2 e表示算子期望。假如公式中的 y(n)被公式(3.3)取代，公式(3.5)就可以表示为 式(2-12) pnwnwrnwneee tt 2 2 是自相关矩阵，是输入信号的自相关矩阵。 nxnxer t nn 是互相关向量，也指出了期望信号 d(n)和输入信号向量 x(n) nxndep1n 的相互关矢量。 由式(2-12)可见，自适应滤波器的代价函数是延迟线抽头系数的二次函数。当 矩阵 r 和矢量 p 己知时，可以由权系数矢量 w 直接求其解。 最优解最小化 mse，源自解这个公式 t no wwww 110 式(2-13) 0 nw 将式(2-12)对

36、 w 求其偏导数，并令其等于零，假设矩阵 r 满秩(非奇异)， 可得代价函数最小的最佳滤波系数 式(2-14)prw 1 0 这个解称为维纳解，即最佳滤波系数值。因为均方误差(mse)函数是滤波系数 w 的二次方程，由此形成一个多维的超抛物面，这好像一个碗状曲面又具有唯一的 碗底最小点，通常称之为自适应滤波器的误差性能曲面。当滤波器工作在平稳随机 过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自适应滤波系数的 起始值wi(0)，i=1，2，n 是任意值，位于误差性能曲面上某一点，经过自适 应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向移动，最终到达 碗底最小点，实现了最佳

37、维纳滤波。 自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的，即在误差性能曲面 的最陡下降法方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底最小 点，获得最佳滤波或准最优工作状态。广泛使用的 lms 算法是一种选择性法适应 采样和采样基础。这个方法可以避免复杂的计算。lms 算法是最陡下降法，在这个 算法中，向量 w(n+1)通过改变对最小均方误差性能的负梯度比例自适应滤波算法及 应用研究来增强。 对于 lms 算法梯度 v(n)通过假设平方误差。2(n)作为公式 2-13 的 mse 来预测。 因此，梯度预测可以单一化表示为: 式(2-15) nxne nw ne n2 2 在实际

38、应用中，2u 经常用来代替 u。瞬间梯度预测产生的 widrow 一 hoff lms 算法，w(n)为自适应滤波器在 n 时刻的滤波系数或权矢量。按照最陡下降法调节滤 波系数，则在 n+1 时刻的滤波系数或权矢量 w(n+l)可以用下列简单递归关系来计算: 式(2-16) nxneunwnw21 u 是自适应步长来控制稳定性和收敛率。这种瞬时估计是无偏的，因为它的期 望值 e等于最陡下降法的梯度矢量。 以任意初始向量 w(0)来开始，向量 w(n)集中在最佳解决方法，假如选择 u 0 w 式(2-17) max 1 0 u 为矩阵 r 的最大特征值，受限制于 max 式(2-18) 00 1

39、 0 max nrrrtr n i tr.为指示矩阵的轨迹，是平均输入功率。 nxer 2 0 对于自适应信号处理应用，最重要的实际考虑是收敛速度，决定滤波器跟踪不稳定 型号的能力。总体来说，权向量要获得收敛只有当最缓慢的权集中一点。这个最慢 的时间 式(2-19) min 1 u t 这个指出时间连续相反的以 u 的比例收敛，并且依靠输入矩阵的自相关特征值。 具有全异的特征值，规定时间是受最慢模式的限制。以梯度预测为基础的自适应导 致噪声矩阵的权向量，因此会有性能的损失。这个自适应处理的噪声导致稳态权向 量随意的改变为最适宜的权向量。稳态权向量的精度通过超额的最小均方误差来测 量。这个 lm

40、s 算法超过 ems 的是 式(2-20) min rtruexcessems 是 mse 在稳态的最小值。 min 公式(2-19)和(2-20)产生 lms 算法基本协定:为了在稳态获得高精度(低超自适应 滤波算法及应用研究额 mse)，需要 u 的最小值，但是也会降低收敛率。后面会有 进一步关于 lms 算法特征的讨论。 对于 n 维更新 u*e(n)是常数，误差信号 e(n)乘以 u 得到 u*e(n)。这个常数首先 计算，然后乘以 x(n)来更新 w(n)。自适应 lms 算法如同最陡下降法，利用时间 n=0 的滤波系数矢量为任意的起始值 w(0)，然后开始 lms 算法的计算，其步

41、骤如 下: l)由现在时刻 n 的滤波器滤波系数矢量估值 w(n)，输入信号矢量 x(n)及期望信 号 d(n)，计算误差信号 e(n): 式(2-21) nyndne 2)利用递归法计算滤波系数矢量的更新估值。 3)将时间指数 n 增加 1，回到第一步骤，重复上述计算步骤，一直到达稳定状 态为止。由此可见，自适应 lms 算法简单，它既不需要计算输入信号的相关函数， 又不要求矩阵之逆。因而得到了广泛的应用。 2.4.2 递推最小二乘法（rls）算法 从 2.1 节的分析得知，lms 算法的收敛速度很慢，为了得到较块的收敛速度， 有必要设计包含附加参数的更复杂的算法。特别是，如果矩阵 r 是

42、nn 的且特征 值为，则可以使用一种含有 n 个参数的算法，其中每个参数对应一个 n ， 21 特征值。 在快速收敛算法的推导中，我们将采用最小二乘法。因此，将直接处理接收数 据，使二次性能指数最小，而以前是使平方误差的期望值最小。这意味着，用时间 平均而不是统计平均来表示性能指数。 基于时间平均的最小平方误差被定义如下： 式(2-22) nienienj n n i , * 1 1 式中， 是接近 1,但是小于 1 的加权因子，e*(i,n)是 e(i,n)的复共轭，且误差 e(i,n) 为： 式(2-23) nwixidnie t ,ni 0 且 式(2-24) t nixixixix1,

43、1, 式中，x(i)是 i 时刻的输入数据向量，w(n)是 n 时刻的新的抽头增益向量。因而 e(i,n)是用 n 时刻的抽头增益向量测试 i 时刻的旧数据所得的误差，j(n)是在所有旧 数据上用新抽头增益所得的累计平方误差。 要完成 rls 算法就要找到均衡器的抽头增益向量 w(n)，使得累计平方误差 j(n) 最小。为了测试新的抽头增益向量，会用到那些先前的数据。而因子 会在计算时 更依赖于新近的数据，也就是说，j(n)会丢掉非稳定环境中的较旧的数据。如果信 道是稳定的，那么 可以设为 1。 为了获得 j(n)的最小值，可使 j(n)的梯度为 0,即，通过运算可知： 0 nj nw 式(2

44、-25) npnwnr 式中，是 rls 均衡其的最佳抽头增益向量。 nw 式(2-6) ixixnr t n i n * 1 1 式(2-27) ixndnp n i n * 1 1 式(2-26)中的方阵 r(n)是输入数据向量 x(i)的确定相关矩阵，式(2-26)中向量 p(n)是输入向量 x(i)和期望输出 d(i)之间的确定互相关矩阵。要用式(2-25)计算均衡 器的抽头增益向量，就需要计算。 w nr 1 从式(2-26)中 r(n)的定义可知，我们可以得到关于 r(n-1)的递归公式。 式(2-28) nxnxnrnr t 1 由于式(2-28)中的三项都是 nn 的方阵，我们

45、可以使用方程倒数的引理得到 递归公式： n r 1 式(2-29) n nrnxnxnr nrnr t 11 1 1 11 11 式中 式(2-30) nxnrnxn t 1 1 根据上述递归公式，可知： 式(2-31) 1,*1nnengnwnw 式中 式(2-32) n nxnr ng 1 初始化： 是一个正常数 ,0, 000 1 irgw 计算： 对于 n=1,2，计算 nxnwny t 1 nyndne nxnrnx nxnr ng t 1 1 1 1 11 1 111 nrnxngnrnr t nengnwnw * 1 是一个可以改变均衡器性能的抽头系数。如果信道是非时变的，那么

46、可以 设为 1。而通常的 取值为 0.8 式(2-31) 2 tt ex ee x1x2x2x2 rx1x2hx2x2rhr0 = （1） 1 x1x2x2x2 hrr 设计线性变换矩阵 h 使之满足(1)式，则可以使输出 y2 是 x1 和 x2 的相关部分， y1 是 x1 和 x2 的不相关部分。而(1)式正是 wiener-hopf 方程的直接解。 而wiener-hopf方程又是基于最小均方误差准则的最佳线性滤波器的系数向量应该满 足的条件。但是其直接解因为有矩阵求逆，所以运算量太大，所以一般对wiener- hopf方程的求解，都用简化算法，而lms（最小均方算法）就是最常用的一种

47、用来 求wiener-hopf方程的迭代算法。而lms正是ale中用的自适应算法。所以图（1）、 图 （2）结构的ale等价于图（3）的结构，可以实现上述功能。 这也解释了为何人们公认ale的起源是b. widrow3。因为自适应噪声消除器 和ale的基本结构是一样的。 图 3-4 图 3-5 图（3-4）是用作ale的情况，两个输入中n0和n1是不相关的噪声，则以y2为输出， 其为两个输入中相关的部分，即信号s。图（3-5）是用作自适应噪声消除器的情况， n0和n1是相关的噪声，而噪声和信号s不相关，（在b. widrow3中，s和n0分别是 胎儿的心电信号和孕妇的心电信号，从孕妇腹部取得；

48、n1是孕妇的心电信号，从孕 妇胸口取得），则以y1作为输出，其为两个输入中不相关的部分，即信号s。 附：lms算法步骤 滤波器输入向量，系数向量，参考信号d(n)，步长因子 滤波输出： 估计误差： 滤波器系数自适应： 用在ale中，只是换成了，而参考信号d(n)成了x(n)。 3.2.2 对 ale 性能的相关讨论 1.延迟的选取： 根据上述原理，要能保证使噪声n和之间的相关性降到很小，而信号s和却依然 有相关性。对于信号是正弦信号的情况，如果能是正弦信号周期的整数倍，则ale 的性能会在一定程度上增强。 2.步长因子的选取： 因为ale采用lms算法，是一种具有反馈的迭代算法，所以存在稳定性

49、问题。 而lms的稳定性与步长因子有关。虽然对lms算法稳定性的分析曾是活跃的研究领 域，但是有关步长因子稳定性界的充要条件的严格推导仍然是一个尚未解决的问题。 【2】 因为虽然lms算法在物理方面很简单，但由于其高度非线性特性，其数学分析 非常复杂。但是，通过假设不同的前提，还是可以得到对于lms稳定性的步长因子 的必要条件。 表(1) lms滤波器步长因子的三种不同上界 必要条件步长因子的上界参数说明 lms滤波器零阶解的稳定 性 max 2 =输入矢量自相关矩阵的 特征值的最大值 长lms滤波器的稳定性 max 2 ms m=滤波器长度 =输入功率谱密度的最大 值 lms滤波器的最优性

50、2 1 1 min | ( )| nn nu = n=lms的迭代次数 =输入向量 注: (1)和 适用于 和 适用于 (2)第一个上界是必要条件，由小步长理论导出的零阶解得稳定性要满足该条件。 忽略了高阶量的影响，因此只适用于取足够小值时；第二个上界是从lms滤波器的 统计理论推出的，既考虑了零阶影响，也考虑了高阶影响。计算机模拟表明该阶是 “紧致的”，一旦超过，lms算法就会震（butterweck5）第三个上界是时变的。 (3)jpl实验室的h.-g. yeh和t. m. nguyen4中提出 ，(l+1)是滤波器阶数。(也 是申请表中提到的的取值)。实际上可以由第一个上界推导而来.为了免去求r(输入 矢量自相关矩阵)特征值的麻烦，所以，,又trr=n n=滤波器抽头数，是输入的功率,所以这实际上，是对更保守的估计。 以上是从lms算法稳定性角度，对步长因子取值上界的讨论。总之，较小时， lms算法性能较好，即ale更易于稳定，误差也较小。 但另一方面，太小，ale 的收敛速度会很慢，致使其跟不上频率快速变化的信号。 3.2.3 仿真结果 8阶ale（即自适应滤波器阶数8）, 步长因子u=1/1024，输入数据8位，输出数 据8位，内部