材料力学教学课件PPT弯曲变形

1、第第 六六 章章 弯弯 曲曲 变变 形形 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 一一. . 工程实例工程实例 6-1 6-1 基本概念和工程实例基本概念和工程实例 二二. .基本概念基本概念 挠曲线方程：挠曲线方程： )( 1 xfw c w 1.1.挠度：截面形心在挠度：截面形心在y y方向的位移方向的位移w向上为正向上为正 x f 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计 3.3.挠度转角关系为：挠度转角关系为： dx dw tan 2.2.转角：截面绕中性轴转过的角度。转角：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正逆时针为正 )( 2 xf 转角方程：转

2、角方程： w x 推导纯弯曲正应力时，得到：推导纯弯曲正应力时，得到： z z e ei i m m 1 1 横力弯曲时，忽略剪力对横力弯曲时，忽略剪力对 弯曲变形的影响弯曲变形的影响 z ei xm x )( )( 1 6-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 6-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 2 2 1 dx wd 所以所以 z ei xm dx wd)( 2 2 略去高阶小量，得略去高阶小量，得 由数学知识可知：由数学知识可知： m(x) 0 o dx d y 0 2 2 y x m(x) 0m(x

3、) 0 o d y dx 2 0 x y 2 2 0 d v dx w 2 2 dx wd 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号总是一致，所以挠曲线的近似微线的二阶导数符号总是一致，所以挠曲线的近似微 分方程为：分方程为： z ei xm dx wd)( 2 2 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。和挠度。 6-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为： 积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为： cdxxmei dx

4、 dw ei zz )( 再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为： dxcdxdxxmwei z )( 7-3 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 z ei xm dx wd)( 2 2 )( 2 2 xm dx wd ei z 积分常数积分常数c c、d d 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。条件确定。 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 a w 0 a w 0 a 位移边界条件位移边界条件 光滑连续条件光滑连续条件 aral ww aral aral ww 6-3 6-3

5、 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 f x ei ab 例例1 1 求：求：1.1.梁的转角方程和挠度方程梁的转角方程和挠度方程 2.2.最大转角和最大挠度最大转角和最大挠度 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 解：1）求支反力. ,0 ax f),( ff ay )(flm a 2）建立弯矩方程 )()(xlfxm 3）建立挠曲线近似微分方程并积分 flfxxm dx wd ei)( 2 2 cflxfxei dx dw ei 2 2 1 dcxflxfxeiw 23 2 1 6 1 积分一次 再积分一次 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 f x ei ab 4

6、）由位移边界条件确定积分常数 0, 0 a wx 0, 0 a x 0, 0dc 代入求解 5）确定转角方程和挠度方程 6）确定最大转角和最大挠度 flxfxei 2 2 1 23 2 1 6 1 flxfxeiw ei fl w ei fl lx 3 , 2 , 3 max 2 max 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 cflxfxei 2 2 1 dcxflxfxeiw 23 2 1 6 1 ei fl w ei fl 3 2 3 max 2 max f x ei ab q l 例例2 2 求：求：1.1.梁的转角方程和挠度方程梁的转角方程和挠度方程 2.2.最大转角和最大

7、挠度最大转角和最大挠度 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 ei ql w ei ql 384 5 24 4 max 3 max l f ab ab c 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 例例3 3 求：求：1.1.梁的转角方程和挠度方程梁的转角方程和挠度方程 2.2.力作用在中点时的最大挠度力作用在中点时的最大挠度 解：1）求支反力 l fa f l fb ff byayax ,0 2）建立弯矩方程 axx l fb xfxm ay 1111 0 , ac 段： lxaaxfx l fb axfxfxm ay 222222 ),()( cb 段： max w a

8、b 1 x 2 x a cd f x ay f by f a b y b 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 1 x 2 x a c f b ac ac 段：段：ax 1 0 2 1 1 2 dx wd ei 1 2 1 1 1 1 2 )(cx l fb xei dx dw ei 111 3 1 1 6 dxcx l fb eiw cb cb 段：段：lxa 2 2 2 2 2 dx wd ei 2 2 2 2 2 2 2 )( 22 )( 2 cax f x l fb xei dx dw ei 222 3 2 3 2 )( 66 2 dxcax f x l fb eiw 3）

9、建立挠曲线近似微分方程并积分 4）由位移边界、光滑连续条件确定积分常数 0)(, 22 lwlx 0)0(, 0 11 wx)()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 awawaxx 代入求解，得 l fb fblcc 66 1 3 21 0 21 dd )( 62 222 1 1 bl l fb x l fb ei 1 223 1 )( 66 1 xbl l fb x l fb eiw )( 6 )( 22 222 2 2 22 bl l fb ax f x l fb ei 2 223 2 3 22 )( 6 )( 66 xbl l fb ax f x l fb eiw 5）确定

10、转角方程和挠度方程 11) (x l fb xm)()( 222 axfx l fb xm 6）当f作用于中点时，最大转角和最大挠度： ei fl ab 16 2 max ei fl ww c 48 3 max 6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 a c f b 2 l 2 l l f 2 l ab c 2 l ei fl w 48 3 max 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？ q f f q )()()(xwxwxw qf 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 )()()(xxx qf x x

11、 x 7-4 ei ql w qc 384 5 )( 4 ei fl w fc 48 )( 3 f q c q c f c ei ql 384 5 4 ei fl 48 3 fcqcc www)()( c w求 查表 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 n i i 1 n i i ww 1 结论：结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，转角为个

12、载荷同时作用，转角为 ，挠度为，挠度为 ， 则有：则有： 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 w 例例4 4 求最大转角和最大挠度。求最大转角和最大挠度。 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 常量ei ab l a q c a b l a q c 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 21 www b 1 w 2 f c w c c f a f c 2 tan c c a a q c ei ql 8 4 ) 6 ( 3 ei ql a c b ei ql 6 3 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 ab 2 l q c 2 l 例例5 5

13、求最大转角和最大挠度。求最大转角和最大挠度。 常量ei ab q c 2 l 2 l ab q c ab q c 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 21bbb www = 1b w ei ql 8 4 2b w 22 2 cc l w ei l q 8 ) 2 ( 4 6 ) 2 ( 3 ei l q 2 l ei ql w b 384 41 4 1b w 2b w ab q c 2 l 2 l ab q c ab q c 6-4 6-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 21bbb = 1b ei ql 6 3 2b 2c ei l q 6 ) 2 ( 3 ei ql b 4

14、8 7 3 1b 2b 梁的刚度条件：梁的刚度条件： 关于梁的刚度校核关于梁的刚度校核 应用积分法或叠加法，可以求出梁的应用积分法或叠加法，可以求出梁的 maxmax 及w max max w 一般情况下，梁的强度条件起控制作用，由一般情况下，梁的强度条件起控制作用，由 强度条件选择的梁，大多能满足刚度要求。强度条件选择的梁，大多能满足刚度要求。 因此，在设计梁时，一般先由强度条件选择因此，在设计梁时，一般先由强度条件选择 梁的截面，再校核刚度。梁的截面，再校核刚度。 6-5 6-5 静不定静不定梁梁 ab l q 常量ei 求：求：1.1.b b 端支反力；端支反力；2.2.作剪力图、弯矩图

15、。作剪力图、弯矩图。 变形比较法变形比较法 ab q b f ab q ab q ab b f =+ 超静定超静定梁梁 静定静定梁梁 0 b w = 2b w 1b w 21bbb www ei ql 8 4 ei lfb 3 3 0 qlfb 8 3 解：解：1. 1. b b 端支反力端支反力 6-5 6-5 静不定静不定梁梁 ab q qlfb 8 3 qlf b 8 3 qlf a 8 5 2 8 1 qlm a ql 8 5 ql 8 3 2 8 1 ql 图 s f 图m 2.2.作剪力图、弯矩图作剪力图、弯矩图 6-5 6-5 静不定静不定梁梁 2 128 9 ql l f 2 l ab c 2