华杯赛初二辅导第十讲高斯函数

1、华杯赛初二辅导 第十讲 高斯函数 一、 知识概要 ?xyx?xR?x称为高斯函，用则的最大整数1.定义：设.表示不超过?xy?的定义域是R，值域是Z.数，也叫取整函数.显然，任一实数都能写?1?ax?ax0，因此，数成整部分与非负纯小数之和，即?xxx?1?xx?x?xxx的小数为，这里，的整数部分，而为部分. 2性质 ?x?yx?x时，有是一个分段表达的不减的无界函数，即当（1）函数21?xx?； 21?x?nn?x?n?Z；，其中2） （?1xx?xx?1?；（3） ?nxy?x?n?a,y?n?b,0?a,b?1；（4）若 其中，则?yx?x?yy,x； 5（）对于一切实数有?y?xyx

2、0y?x?0,；）若，则 （6?1x?x不是整数时） （?x ）（7?x?x是整数时） （?xx?Nn?1?nxx?时，8（）若；当，则 ；? nn?a,ba?bq?rb?0,q,r0?r?b），则是整适整数（9）若合数，（a?q； ? b?xnxn的倍数共有是正实数，的正整数中，（10）是正整数，则在不超过x?个； ? n?!pnpp!n，则有：的最高乘方次数记为 11（）设中含为任一素数，在?nnn?1?mmLp?ppn!?n? ? m2ppp?ppn!n的各个因数中所含证明：由于的方次数等于是素数，所有?np1,2,Ln,n1,2,L,中，所含有的方次数之总和。由性质10可知，在? p?

3、nn23Lppp，当的倍数，的倍数，有个个个的倍数，有? 32pp?nnmm?1Lpp?n?0?，所以命题成立 时，? 2?m1?mpp?高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用 解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的、命题转换、数形结合、凑整、估值等有分类讨论（例如对区间进行划分）等 二、 解题示例 192091?L?r?r?546rr，求得1若实数使例? 100100100?r100 192091?rL,或都小于1，则每一项为项，且因解：等式左边共73 100100100?r1

4、，注意到 ?r773?773?8?35?54673?7?546?，所，故必有。进一步有：以原式左边从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即： 5657?r?7;r?8.?r?0.56?8,r?0.57?8?7.43?r?7.44 ? 100100?100n23? ，计算：的值例2? 101?1n?的任解：意：意得对于由题?n10123?n23n23?Z,?nQ1,2,L,100,?23， 101101101?n101101?n?2323?1002323nnn23?1;?1100?22.?22?50? 101101101101101?1n?说明：本例采用了分组凑整的思想 nx

5、，求证：及一切实数，对自然数3例12n?1?Lnx?x?xx?x? （厄尔密特等式） ? nnn?n，构造证明：对函数任意的自然数12n?1?L?x?f?xx?nx?xx：，则? nnn?112n?1?Lxx?x?x?1fx?nxf?1?x? nnnn?1?xxff0?T原命题只需证，其周期因此，所以，函数为周期函数， n1?0, 内成立即可。而这一结论显然是成立的在区间? n?N?n ，例4对任意的 ?3n?4n?1?n4?24n?n?1 证明：? ?4n?1x?n?11?1?4n?34，证首先令明则证明：?2?4n?x1 ?222?1?m?4n?1?n?x4mZ?mm2x? ，那么当时，于

6、是22?4n?4m?4n?3x4?； ?222?m?1mn?4m?14nx4?m?Zm?2x?m1即时，当，?2221m?n?m?1?4n?5?4n?3mx?4m? ，那么：是就也，立成题命以所? ?1n?n?3?141?4n?4n?2?44n?1故： ? ?3?4n?2n4?1n?4 ?2 2?n?2n?1?2?2nn?4n?n?n?11?2n?1 又：?2 ? 23n1?n?n?12n?1?24?2n?12nn?n? ?4n?1?n?n?1?4n?3 ? n?n?1?4n?1?4n?2?4n?3 ?注：本例的证明采用了“两边夹”法则 5?6x15x?7?例5， 解方程? 58?15x?75

7、n?7?xZ?nn?则，得：原方程整：解令 理，带入 51510n?3910n?39?n0?n?1，定义解得有：由，高斯函数的? 4040?113?n?n?0,n?1，则 301074x?x?1n?n?0，则；若，则 若 155?vu型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换注：本例中方程为元法求解 x?1x?1?，解方程6例 ? 42?1x?1x1?17x1?，令解：由高斯函数的性质，得：，即24x?1x?1,y?y? ，在同一坐标系中画出二者的图象：1142?,71?内的图象，分析两者在区间 x?1?,1?1x?0 显然，当时， ?4?x?1?1，方程不成立；而 ?2? x?1x?1?1,

8、3x?0 时，； 当?42?x?1x?1?3,5?x1?时，当； ?24?1?x?1x?5,7x?2?1?时，而 当 ，方程不成立?24?5x1x? 综上所述，原方程的解是：?v?ux1?v?1?u的取值区间。但注：本例为型方程。首先由，求出?x?fu和利用不必要条件，故还须但此条件为原方程成立的充分?x?gv的图象进行分析才能得到正确结果 ?3?xx?33 解方程例7?x的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。解：对于次数较高的含 ?30.1?2x?3xx?3x?1x?1x? 若，则原方程不成立；?333111?33x?xx?3x?0?1?x 。原方程不成立；，则若?3333.?x0?3x?

9、3xx?31x?0? ，则原方程不成立；若?3331.?3xx?3x?4x?32?1x：解，则得原方若程即为； 4?x； 33?33?3x?x?3x?x?3x?x2x?4.2x?原方程不成立；，则若 ? 4?xx。所以，原方程的解为： ?33?p? 1p?5?22?pp的质数，则例8 证明：若被整除 2是大于?证明：本例采用“构造法” ?pp 5Zp?,?52?2?是一个整由二项式定理知：对于任意的 数，又因为?pppp? 525?1?2?5?1,2?52? 于是有：， ?1?p?p? 1?p?14p?42p2p?2gLggggg5?C2222?5?2?C52?5?C2其, ?ppp?p 是质

10、数。因为中?L1p?2?kppp?1?kLp1k,p?2,4,C?整数都能被质 p!k 除，所以原命题成立 巩固练习三、-3.1 -7 = 7，用x表示不大于x的最大整数，例如：x1如果为任意实数，3 的范围是_=1，则满足等式x-3=0的= -4，x ） z 可以取值的个数是（ 2若x=5，y= -3，z=-1,mj x y 6 DC5 A3 B4 x,N?x，其中xM=1，3设x表示不超过x的最大整数，若则一定有（ ） AMN BM=N CM x Cx-x Ax = |x| Bx D 是自然数，且n8记号x表示不超过x的最大整数，设2221)1?n?I(n?1)n?n?(? BI0 D当n

11、取不同的值时，以上三种情况都可能出现 CI=0 xx? 0，求证：9设x，求证：如果x + y = 1的最大整数，a = a a为不大于10记aa x + y = x + y + 1则-2,3 ，a的最大整数，例如-5 = -5a11如果为任意实数，用a表示不大于2?y?2x?3 则满足方程x+y=_ =1，设x、y= -3，?16?y3x?2?23x- xx=_ x = 29 + 17 ,则12若3x?1=x 3，那么满足方程的13已知方程x是_ 42x- 8x + 7 = 0的所有解的平方和等于_ 14方程1的所有根的和3x + 1 = 2x - a的最大整数，那么方程15a表示不大于 2

12、 是_231x?x?x?x? _的解是方程16112,?a,bab?17a)?(1 设17的值求73?3?72x. zxx + 18求证： 233x?x? 19解方程：yy? 1, y 0，求证：20若x xx A卷 ；4C；5D13x 4；2A；3D11x?21?4(?)?y，因而u = x = 2时，u = 1, u = 1，则当若提示： 444Cx=3知x =2知B错；令与题设x = 2时y = 2矛盾。所以A错；同理，令 D正确。错，故 ；8A；6B；7D式以有等，提示：因为n是正整数所2222)1n?2)?(n?(n?1)n?(?1)n?(?1)(以成立。所220n?(n?1)?n?

13、(n?1)?IA 故选 44)a?1a?x(。由此得9对任意0，总存在这样的非负整数，使得xax?a1?x?a? 。，从而22)?1(a?x?a）式中取整数部分，得3别一方面（、（2）、在（ 1）22a?x?a?1.)a?x1?a(?是整数，所a因为 ，开平方，有x?a 以由（2）、（4）知原等式成立。 10x + y = x + y + xy = x + y + 1,由于x + y + 1是整数， 所以 x + y = x + y + 1。 B卷 114；226； 3由原方程可知，x必为整数再根据aa a + 1有3x?1?(x?3)?1?4x?3?x?8，x = 5,6,7,8. 4412

14、4； 15设x = n + a（n为整数，0a 1），代入原方程得3n + 3a + 1 2n + 2a - 211, n + 3a = 2a - (3n + 1 + 3a = 2n + 2a - ) 221是整数， 0于是2a - a 1 2331323?2a?，因此只有2a - =0,当2a - =0,即a = 时，代入() 2222349式，n + =0, 4321x?2?。当2a - = -1时，于是得 n = -2. a = 代入()式，n + 143431x?1?，是n = -1. 于得 -1, = 24431x?x?(?2?)?(?1?)?2 2144故意抽有根的和是-2。 ；x = -161?1713?77?,?ba?2?2?,? 7， 22273?210?1)7?(1?7)(a?(1?7)ab?4 于价等式等），则原不nn + a（为整数，0a18设x