第11章 状态空间模型和卡尔曼滤波s

1、1 上世纪上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡 尔曼滤波尔曼滤波 (kalman filtering)。进入。进入70年代初，人们明确提出年代初，人们明确提出 了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。 80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许许 多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和arima模型都模型都 能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经能作为特例写成状态

2、空间的形式，并估计参数值。在计量经 济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量：济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量： 理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循 环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量 应用请参见应用请参见 harvey（1989）和）和 hamilton（1994） 。 2 状态空间模型一般应用于多变量时间序列。设状态空间模型一般应用于多变量时间序列。设 yt 是包含是包含 k 个经济变量的个经济变量的 k 1 维可观测向

3、量。这些变量与维可观测向量。这些变量与 m 1 维向维向 量量 t 有关有关，。定义。定义“” (measurement equation) 或称或称“”(signal equation) 为为 (11.1.1) 其中：其中：t 表示样本长度，表示样本长度，zt 表示表示 k m 矩阵矩阵，称为量测矩阵，称为量测矩阵， dt 表示表示 k 1 向量，向量，ut 表示表示 k 1 向量，是均值为向量，是均值为0，协方差矩，协方差矩 阵为阵为 ht 的连续的不相关扰动项，即的连续的不相关扰动项，即 (11.1.2) , ttttt udzytt,2, 1， ttt ehuu)var(0)( 3 一

4、般地，一般地， t 的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马 尔可夫尔可夫(markov)过程。下面定义过程。下面定义(transition equation) 或称或称(state equation)为为 (11.1.3) 其中：其中：tt 表示表示 m m 矩阵矩阵，称为状态矩阵称为状态矩阵，ct 表示表示 m 1 向量向量， rt 表示表示 m g 矩阵，矩阵， t 表示表示 g 1 向量，是均值为向量，是均值为0，协方差矩阵，协方差矩阵 为为 qt 的连续的不相关扰动项，即的连续的不相关扰动项，即 (11.1.4) 量测方程和状态方程的扰动项的协方差

5、矩阵用量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示表示 , 1tttttt rct ttt eq)var(0)( tt,2, 1， t t t t q h u 0 0 var 4 量测方程中的矩阵量测方程中的矩阵 zt , dt , ht 与转移方程中的矩阵与转移方程中的矩阵 tt , ct , rt , qt 统称为统称为。如不特殊指出，它们都。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变，被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变， 但是都是可以预先确定的。对于任一时刻但是都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被能够被 表示为当前的和过去的表示为当前的和

6、过去的 ut 和和 t 及初始向量及初始向量 0 的线性组的线性组 合，所以模型是线性的。合，所以模型是线性的。 5 (11.1.9) 其中：其中：e( t )=0，var( t)= 2，cov( t , t-s)=0, 通过定义状态向量通过定义状态向量 t =( yt , t ) 可以写成状态空间形式可以写成状态空间形式 量测方程量测方程： (11.1.10) 状态方程状态方程： (11.1.11) 这种形式的特点是不存在量测方程噪声这种形式的特点是不存在量测方程噪声。 ， 1 ttt y tt y)0, 1 ( ttt 1 00 10 1 tt,2, 1 6 例例11.2 二阶自回归模型二

7、阶自回归模型ar(2) (11.1.14) 其中：其中：e(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut-s) = 0, 考虑两个可能的考虑两个可能的 状态空间形式状态空间形式( k=1, m=2 )是是 (11.1.15) (11.1.16) 换一种形式换一种形式 (11.1.17) , tttt uyyy 2211 tt t t t u y y 0 1 0 1 1 2 1 12 tt t t t u y y 0 1 01 1 21 1 tt y)0,1 ( tt y)0,1 ( tt,2, 1 7 系统矩阵系统矩阵 zt ，ht ，tt ，rt ，qt 可以依赖于一个可以

8、依赖于一个 的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数， 在例在例11.1的的ma(1)模型中的参数模型中的参数 , 2 和例和例11.2的的ar(2)模型模型 中的参数中的参数 1， 2， 2 是未知的，这些参数将通过是未知的，这些参数将通过 向量向量 表示，并被称为表示，并被称为。超参数确定了。超参数确定了 模型的随机性质，在模型的随机性质，在 ct 和和 dt 中出现的参数仅影响确定性的可中出现的参数仅影响确定性的可 观测变量和状态的期望值。在状态空间模型中可以引入外生观测变量和状态的期望值。在状态空间模型中可以引入外生 变

9、量作为解释变量，也可以引入变量作为解释变量，也可以引入 yt 的延迟变量，这些都可以的延迟变量，这些都可以 放到放到 dt 中去。如果中去。如果 ct 或或 dt 是未知参数的一个线性函数，这些是未知参数的一个线性函数，这些 未知参数也可以作为状态变量或者超参数的一部分元素。未知参数也可以作为状态变量或者超参数的一部分元素。 8 由于各种各样的外界冲击和政策变化等因素的影响，经济由于各种各样的外界冲击和政策变化等因素的影响，经济 结构不断发生变化，用结构不断发生变化，用ols等固定参数模型：等固定参数模型： 表现不出来这种经济结构的变化，因此，需要考虑采用表现不出来这种经济结构的变化，因此，需

10、要考虑采用 (time-varying parameter model)。下面利用状态空间模型。下面利用状态空间模型 来构造变参数模型。来构造变参数模型。 量测方程：量测方程： 状态方程：状态方程： ),( tt u , 0 0 , 0 0 2 q n ttttt uyzx ttt 1 ， ttt uyxtt,2, 1 tt,2, 1 9 xt 是具有随机系数是具有随机系数 t 的解释变量的集合，的解释变量的集合，zt 是有固是有固 定系数定系数 的解释变量集合，随机系数向量的解释变量集合，随机系数向量 t 是对应于是对应于 (11.1.1)中的状态向量，称为可变参数。中的状态向量，称为可变参

11、数。 。假定变。假定变 参数参数 t 的变动服从于的变动服从于ar(1) 模型（也可以简单地扩展为模型（也可以简单地扩展为 ar(p) 模型），扰动向量模型），扰动向量 ut , t 假定为相互独立的，且服假定为相互独立的，且服 从均值为从均值为0，方差为，方差为 2和协方差矩阵为和协方差矩阵为 q 的正态分布。的正态分布。 10 当一个模型被表示成状态空间形式就可以对其应用当一个模型被表示成状态空间形式就可以对其应用 一些重要的算法求解。这些算法的核心是一些重要的算法求解。这些算法的核心是kalman滤波。滤波。 kalman滤波是在时刻滤波是在时刻 t 基于所有可得到的信息计算状态基于所有

12、可得到的信息计算状态 向量的最理想的递推过程。向量的最理想的递推过程。kalman滤波的主要作用是：滤波的主要作用是： 当扰动项和初始状态向量服从正态分布时，能够通过预测当扰动项和初始状态向量服从正态分布时，能够通过预测 误差分解计算似然函数，从而可以对模型中的所有未知参误差分解计算似然函数，从而可以对模型中的所有未知参 数进行估计，并且当新的观测值一旦得到，就可以利用数进行估计，并且当新的观测值一旦得到，就可以利用 kalman滤波连续地修正状态向量的估计。滤波连续地修正状态向量的估计。 11 以下设以下设 yt 表示在表示在 t = t 时刻所有可利用的信息的信息时刻所有可利用的信息的信息

13、 集合，即集合，即 yt = yt , yt-1 , , y1 。状态向量的估计问题根。状态向量的估计问题根 据信息的多少分为据信息的多少分为3种类型：种类型： (1) 当当 t t 时，超出样本的观测区间，是对未来状态时，超出样本的观测区间，是对未来状态 的估计问题，称为的估计问题，称为； (2) 当当 t = t 时，估计观测区间的最终时点，即对现在时，估计观测区间的最终时点，即对现在 状态的估计问题，称为状态的估计问题，称为； (3) 当当 t t 时，是基于利用现在为止的观测值对过去时，是基于利用现在为止的观测值对过去 状态的估计问题，称为状态的估计问题，称为。 12 进一步，假定进一

14、步，假定 at t-1 和和 pt t-1 分别表示以利用到分别表示以利用到 t-1 为止为止 的信息集合的信息集合 yt-1 为条件的状态向量为条件的状态向量 t 的条件均值和条件误的条件均值和条件误 差协方差矩阵，即差协方差矩阵，即 在本节假定系统矩阵在本节假定系统矩阵 zt , ht , tt , rt 和和 qt 是已知的，设是已知的，设 初始状态向量初始状态向量 0 的均值和误差协方差矩阵的初值为的均值和误差协方差矩阵的初值为 a0 和和 p0，并假定，并假定 a0 和和 p0 也是已知的。也是已知的。 )( 11 tttt eya )var( 11 tttt yp 13 考虑状态空

15、间模型考虑状态空间模型(11.1.1)和和(11.1.3)，设，设 ，也是基于信息集合，也是基于信息集合 yt-1 的的 t-1 的的， pt-1 表示估计误差的表示估计误差的 m m 协方差矩阵，即协方差矩阵，即 (11.2.1) )( 11111 ttttt eaap 14 当给定当给定 at-1 和和 pt-1 时，时， t 的条件分布的均值由下式给定，的条件分布的均值由下式给定， 即即 (11.2.2) 在扰动项和初始状态向量服从正态分布的假设下，在扰动项和初始状态向量服从正态分布的假设下， t 的的 条件分布的均值条件分布的均值 at t-1 是是 t 在最小均方误差意义下的一个最在

16、最小均方误差意义下的一个最 优估计量。估计误差的协方差矩阵是优估计量。估计误差的协方差矩阵是 (11.2.3) 。 ttttt ct 11 aa tttttttt rqrtptp 11 15 一旦得到新的预测值一旦得到新的预测值 yt ，就能够修正，就能够修正 t 的估计的估计 at t -1， (11.2.4) 和和 (11.2.5) 其中其中 (11.2.6) 上述上述 )( 1 1 11tttttttttttt dzyfzp aaa 1 1 11 tttttttttt pzfzppp tttttt hzpzf 1 tt,2, 1 16 给出一步向前状态条件均值，我们还可以得到给出一步向前

17、状态条件均值，我们还可以得到 ： （11.23） 一步向前预测误差可以通过下面的公式得到：一步向前预测误差可以通过下面的公式得到： （11.24） 预测误差的方差被定义为；预测误差的方差被定义为； （11.25） tt ttttttttt eedzyyy 1111 a)a()( ， ttttttt hzpzvf 1 )var( ,)a( ttttttttt uzyyv 11 tt,2, 1 tt,2, 1 17 kalman滤波的初值可以按滤波的初值可以按 a0 和和 p0 或或 a1 0 和和 p1 0 指指 定。这样，每当得到一个观测值时，定。这样，每当得到一个观测值时，kalman滤波提

18、供了滤波提供了 状态向量的最优估计。当所有的状态向量的最优估计。当所有的 t 个观测值都已处理，个观测值都已处理， kalman滤波基于信息集合滤波基于信息集合 yt ，产生当前状态向量和下，产生当前状态向量和下 一时间期间状态向量的最优估计。这个估计包含了产生一时间期间状态向量的最优估计。这个估计包含了产生 未来状态向量和未来观测值的最优预测所需的所有信息。未来状态向量和未来观测值的最优预测所需的所有信息。 18 平滑（平滑（smoothing）( t =t-1 , t-2 , , 1 ) (11.2.10) (11.2.11) 其中：其中：at|t , pt|t 是平滑的初值，由是平滑的初

19、值，由kalman滤波最后的迭代滤波最后的迭代 得到。得到。 还可以计算得到还可以计算得到 yt 的平滑估计和协方差矩阵的平滑估计和协方差矩阵 )( | 1 1 | 1|tt tttttt tt ttt ctptp aaaa t tttttttttt tt ttt| 1 | 1| 1| 1 1 | 1| )(ptpppptppp tttttt dzya ttttt zpzs 19 如果量测方程如果量测方程(11.1.1)的扰动项和初始状态向量服从多的扰动项和初始状态向量服从多 元正态分布，则元正态分布，则 yt 关于关于 yt-1 的条件分布也是正态的。且这个的条件分布也是正态的。且这个 条件

20、分布的均值和协方差矩阵可以直接由条件分布的均值和协方差矩阵可以直接由kalman滤波给定。滤波给定。 以信息集以信息集 yt-1 为条件，为条件， t 服从具有均值服从具有均值 at t 1 和协方差和协方差 矩阵矩阵 pt t 1 的正态分布。如果量测方程被写为的正态分布。如果量测方程被写为 (11.2.12) 可以直接看出可以直接看出 yt 的条件分布是正态的，的条件分布是正态的，yt 的条件均值记为或，的条件均值记为或， (11.2.13) tttttttttt udzzy )( 11 aa tttttttt edzyy 111 )(a 20 预测误差向量预测误差向量 (11.2.14)

21、 误差协方差矩阵由式误差协方差矩阵由式(11.2.6)的的 ft 给定，即给定，即 (11.2.15) 由后面由后面11.2.2节的论述可以知道条件均值节的论述可以知道条件均值 是是 yt 的最的最 小均方误差意义的最优估计量小均方误差意义的最优估计量(mmse)。因此，可以利用式。因此，可以利用式 (11.2.13)，以及，以及kalman滤波公式滤波公式(11.2.2)(11.2.6)，对，对 yt ， t（t = t+1 , t+2 , ）进行预测。）进行预测。 , 1 tttt yyvtt,2, 1 , 1tttttt hzpzf tt,2, 1 1 tt y 21 当量测方程和转移方

22、程的扰动项是相关的时候，需要修改当量测方程和转移方程的扰动项是相关的时候，需要修改 kalman滤波。考虑具有量测方程和转移方程的状态空间形式滤波。考虑具有量测方程和转移方程的状态空间形式 (11.2.26) (11.2.27) 假设假设 (11.2.28) 其中其中 gt 是已知的是已知的 g k 矩阵。量测方程和状态方程的扰动项的矩阵。量测方程和状态方程的扰动项的 协方差矩阵用协方差矩阵用 表示表示 ttttt udzy , 1tttttt rct tt,2, 1 st st e t st , , )( 0 g u tt tt t t qg gh u var 22 注意当量测方程和转移方程

23、的干扰项在同时点相关，注意当量测方程和转移方程的干扰项在同时点相关， 在不同时点不相关时，在不同时点不相关时，kalman滤波中的预测公式滤波中的预测公式(11.2.2)， (11.2.3)不变，更新方程进行如下修改：在不变，更新方程进行如下修改：在 (11.2.4)和式和式 (11.2.5)中矩阵中矩阵 pt t 1zt 变为变为 pt t 1zt + rt gt ，式，式(11.2.6)变变 为为 (11.2.29) tttttttttttt hzrggrzzpzf 1 23 在在11.2节讨论利用节讨论利用kalman滤波递推公式求状态向量的滤波递推公式求状态向量的 估计量时，假定状态空

24、间模型的系统矩阵估计量时，假定状态空间模型的系统矩阵 zt , ht , tt , rt 和和 qt 是已知的。但实际上是已知的。但实际上 。例。例 如，在例如，在例11.1的一阶移动平均模型的一阶移动平均模型ma(1)中中 = ( , 2)， 在例在例11.2的二阶自回归模型的二阶自回归模型ar(2)中中 = ( 1, 2, 2)。超。超 参数的估计方法参见第参数的估计方法参见第8章。章。 24 在定义和估计一个状态空间模型时，第一步是创建一个状在定义和估计一个状态空间模型时，第一步是创建一个状 态空间对象。从主菜单中选择态空间对象。从主菜单中选择objects/new object/ssp

25、ace，或，或 在命令窗口键入命令在命令窗口键入命令sspace。eviews将创建一个状态空间对象，将创建一个状态空间对象， 并打开一个空的状态空间说明窗口。并打开一个空的状态空间说明窗口。 25 有两种方法定义一个状态空间模型，最简单的方法就有两种方法定义一个状态空间模型，最简单的方法就 是利用是利用eviews中的中的“自动指定自动指定”功能引导状态空间模型的功能引导状态空间模型的 标准形式。这种方式只需在状态空间过程标准形式。这种方式只需在状态空间过程procs中选择中选择 define state space功能功能 ，就可以弹出定义对话框，指导创，就可以弹出定义对话框，指导创 建一

26、个状态空间的过程。这一方式的详细介绍见建一个状态空间的过程。这一方式的详细介绍见“自动定自动定 义义”一节。一节。 描述状态空间模型的更一般方法是使用关键字和文本描述状态空间模型的更一般方法是使用关键字和文本 来描述量测方程、状态方程、误差结构、初始条件和待估来描述量测方程、状态方程、误差结构、初始条件和待估 参数的初值。下面来介绍描述状态空间对象的一般语法。参数的初值。下面来介绍描述状态空间对象的一般语法。 26 作为缺省，如果一个方程通过关键字作为缺省，如果一个方程通过关键字“”来明确定义，或来明确定义，或 没有用关键字，没有用关键字，eviews将把其作为量测方程处理。要注意以下几点：将

27、把其作为量测方程处理。要注意以下几点： （1）量测方程的因变量可以包含表达式。）量测方程的因变量可以包含表达式。 （2），包括出现，包括出现 在右端表达式的所有变量。在量测方程中任何滞后量测变量都被看作多在右端表达式的所有变量。在量测方程中任何滞后量测变量都被看作多 步向前预测的预测值看待步向前预测的预测值看待。 （3）。状态向量的非线性。状态向量的非线性 或存在超前或滞后状态变量将导致错误的信息。或存在超前或滞后状态变量将导致错误的信息。 （4）量测方程中可以包含外生变量和未知参数，也可以是这些元素）量测方程中可以包含外生变量和未知参数，也可以是这些元素 的非线性形式。的非线性形式。 量测方

28、程可以包含误差或误差方差指定的选项，如果方程中不包含量测方程可以包含误差或误差方差指定的选项，如果方程中不包含 误差或误差方差，方程是确定性的。状态空间模型中误差指定的详细内误差或误差方差，方程是确定性的。状态空间模型中误差指定的详细内 容参看后面的容参看后面的“误差和方差误差和方差”。 27 下面是有效的量测方程的定义（注：下面量测方程中的下面是有效的量测方程的定义（注：下面量测方程中的sv1, sv2, sv3, sv4是状态向量）是状态向量） signal y =sv1+sv2*x1+sv3*x2+sv4*y(-1)+var=exp(c(1) log(p)= sv1 + c(1) + c

29、(3)*x + sv2*y z = c(1) + sv1+sv2*x1+sv3*x2 + var=exp(c(2) 下面是不正确的方程的指定：下面是不正确的方程的指定： signal y=sv1*sv2*x1+var=exp(c(1) log(p)=c(1)+c(3)*x+sv1(-1) z = sv1+sv2*x1+ c(3)* z(1)+c(1)+var=exp(c(2) 因为它们至少违背了上面描述条件中的一个条件（其顺序是：状态向因为它们至少违背了上面描述条件中的一个条件（其顺序是：状态向 量的非线性、状态向量的滞后、量测向量的超前）。量的非线性、状态向量的滞后、量测向量的超前）。 28

30、 状态方程的定义必须包含关键字状态方程的定义必须包含关键字“”，后面跟随一个有效的状，后面跟随一个有效的状 态方程。必须注意以下几点：态方程。必须注意以下几点： (1) 。因。因 为为eviews对状态方程不能自动建立工作文件序列。对状态方程不能自动建立工作文件序列。 (2) ，或因变量的超前和滞后变量。，或因变量的超前和滞后变量。 (3) 每一个状态方程每一个状态方程。如果在状态方。如果在状态方 程中存在状态变量的非线性关系、同期、超前或多期滞后将产生错误信息。程中存在状态变量的非线性关系、同期、超前或多期滞后将产生错误信息。 需要强调的是，在状态方程中一期滞后约束条件不是限定的，因为更高阶

31、的需要强调的是，在状态方程中一期滞后约束条件不是限定的，因为更高阶的 滞后被当作新的状态变量。关于这种情况的例子在后面的滞后被当作新的状态变量。关于这种情况的例子在后面的ar(2)模型中提供。模型中提供。 (4) 状态方程中可以包含外生变量和未知参数，可以是它们的非线性形式。状态方程中可以包含外生变量和未知参数，可以是它们的非线性形式。 在状态方程中还包含误差或误差方差指定选项。如果在方程中不包含误在状态方程中还包含误差或误差方差指定选项。如果在方程中不包含误 差或误差方差，状态方程被假定为确定的。关于状态空间模型误差结构指定差或误差方差，状态方程被假定为确定的。关于状态空间模型误差结构指定

32、的详细介绍参看后面的的详细介绍参看后面的“误差和方差误差和方差”。 29 下面两个状态方程定义了一个服从下面两个状态方程定义了一个服从ar(2)过程的不可观测误差过程的不可观测误差: : state sv1=c(2)*sv1(-1)+c(3)*sv2(-1)+var=exp(c(5) state sv2=sv1(-1) 第一个关于第一个关于sv1的方程，根据的方程，根据ar(1)的系数的系数c(2)，和，和ar(2)的系数的系数c(3)，确，确 定定ar(2)模型的参数。误差方差的指定在方框中给出。模型的参数。误差方差的指定在方框中给出。sv2的状态方程定义为的状态方程定义为 变量变量sv1的

33、一步滞后，所以的一步滞后，所以sv2(-1)表示表示sv1的两步滞后。的两步滞后。 下面是不正确的状态方程：下面是不正确的状态方程： state exp(sv1)=sv1(-1)+var=exp(c(3) state sv2=log(sv2(-1)+var=exp(c(3) state sv3=c(1)+c(2)*sv3(-2)+var=exp(c(3) 因为它们至少违背了上面描述条件中的一个条件（其次序是：状态方程因为它们至少违背了上面描述条件中的一个条件（其次序是：状态方程 因变量是表示式，状态变量是非线性的，出现状态变量的多期滞后）。因变量是表示式，状态变量是非线性的，出现状态变量的多期

34、滞后）。 30 在误差项的处理中，状态空间对象方程的指定在某种程度上是唯一在误差项的处理中，状态空间对象方程的指定在某种程度上是唯一 的。的。eviews总是把一个隐含的误差项加到一个方程或系统对象的各个方总是把一个隐含的误差项加到一个方程或系统对象的各个方 程中去。但如不特殊指定，状态空间量测或状态方程中不能包含误差项。程中去。但如不特殊指定，状态空间量测或状态方程中不能包含误差项。 误差项必须被加到（在方括号中）指定方程的后面。误差项必须被加到（在方括号中）指定方程的后面。 把一个误差项加到状态空间方程中最简单的方法是指定误差项的方把一个误差项加到状态空间方程中最简单的方法是指定误差项的方

35、 差。即加一个误差表达式到已存在的方程中去。差。即加一个误差表达式到已存在的方程中去。 。 signal y=c(1)+sv1+sv2+var=1 state sv1=sv1(-1)+var=exp(c(2) state sv2=c(3)+c(4)*sv2(-1)+var=exp(c(2)*x) 指定的方差可以是已知常数值，也可以是包含待估计未知参数的表指定的方差可以是已知常数值，也可以是包含待估计未知参数的表 达式。还可以在方差中使用序列表达式建立时变参数模型。达式。还可以在方差中使用序列表达式建立时变参数模型。 31 这种方差的直接指定方法不允许不同方程的误差之间存在相关关这种方差的直接指

36、定方法不允许不同方程的误差之间存在相关关 系。作为默认，系。作为默认，eviews假定误差项之间的协方差为零。如果指定误差假定误差项之间的协方差为零。如果指定误差 项间存在相关关系，需要使用项间存在相关关系，需要使用“命名误差命名误差”方法指定它们间的关系。方法指定它们间的关系。 “： (1) 首先，必须通过加一个由关键字首先，必须通过加一个由关键字“”后接等号和变量名后接等号和变量名 的误差表达式为方程中的残差序列命名。的误差表达式为方程中的残差序列命名。 y =c(1)+sv1*x1+ename=e1 state sv1=sv1(-1)+ename=e2 (2) 其次，需要键入由关键字其次

37、，需要键入由关键字“”后接一个误差的方差或两后接一个误差的方差或两 个误差之间的协方差的赋值语句。个误差之间的协方差的赋值语句。 evar cov(e1,e2)=c(2) evar var(e1)=exp(c(3) evar var(e2)=exp(c(4)*x 32 可以在单个状态空间方程中合并命名误差和直接方差表达式：可以在单个状态空间方程中合并命名误差和直接方差表达式： state sv1=sv1(-1)+ename=e1,var=exp(c(3) evar cov(e1,e2)=c(4) evar方程的语句结构可以进行自我辨别。简单的辨别有：该项方程的语句结构可以进行自我辨别。简单的辨

38、别有：该项 是方差还是协方差，指定误差，记入方差和协方差的指定。在每一个是方差还是协方差，指定误差，记入方差和协方差的指定。在每一个 希望指定的命名误差方差或协方差之间要分行指定。如果误差项被命希望指定的命名误差方差或协方差之间要分行指定。如果误差项被命 名，但没有相应的名，但没有相应的“var=”或或evar说明，分别地，缺少的方差或协说明，分别地，缺少的方差或协 方差的默认值为方差的默认值为“na”或或“0”。 用用 “ename =”语句定义的误差项只能存在于语句定义的误差项只能存在于evar赋值语句中，赋值语句中， 而不能直接进入状态或量测方程中。而不能直接进入状态或量测方程中。 33

39、 设设 y 表示收入，表示收入，yd 表示个人可支配收入，是居民户在得表示个人可支配收入，是居民户在得 到政府的转移支付到政府的转移支付(tr)和向政府纳税和向政府纳税(tax)后可用于支出的净后可用于支出的净 收入，即收入，即 (11.27) 设税收在收入中所占的比例为设税收在收入中所占的比例为 t ，则则 tax=ty，消费函数消费函数 可写为可写为 (11.28) 式中式中 是自发消费，是自发消费，c 是边际消费倾向，是边际消费倾向， 。构造。构造 消费方程的变参数模型，消费方程的变参数模型， gdpeat 是年度支出法的是年度支出法的gdp，pt 是是 消费价格指数，消费价格指数，cs

40、t 是居民消费。是居民消费。 taxtryyd ytcaytcctrccydcc)1 ()1 ( cctrca 34 量测方程：量测方程： (11.29) 状态方程：状态方程： (11.30) (11.31) 按前面的规则在空白的文本窗口上直接键入如下语句：按前面的规则在空白的文本窗口上直接键入如下语句： signal csp = c(1) + sp1*(1-t)*gdpea/p + var = exp(c(2) state sp1 = c(3)+c(4)*sp1(-1)+ var = exp(c(5) param c(1) 442.7 c(2) 14.48 c(3) 0.155 c(4) 0

41、.82 c(5) 7.53 其中量测方程中的其中量测方程中的 是是c(1)，状态方程的一阶自回归的系数，状态方程的一阶自回归的系数 0， 1 是是 c(3) 和和 c(4) ，模型的方差，模型的方差 u2， 2 由参数由参数c(2)，c(5)确定，确定， 方差被限制为参数的非负函数，协方差方差被限制为参数的非负函数，协方差 g = 0。 t t u 2 2 0 0 g g n u , ttttttt upgdpeatcapcs/)(/1 ttt cc 110 a 35 也可以写成下面的形式，当协方差也可以写成下面的形式，当协方差 g 0 时时, 要这样写要这样写: signal csp = c

42、(1) + se1*(1- t)*gdpea/p + ename = e1 state se1 = c(3) + c(4)*se1(-1)+ ename = e2 evar var(e1) = exp(c(2) evar var(e2) = exp(c(5) evar cov(e1, e2) = c(6) param c(1) 442.7 c(2) 14.48 c(3) 0.155 c(4) 0.82 c(5) 7.53 c(6) 0.5 36 上例中上例中c(1) , c(2) 的初值可以通过建立回归方程的初值可以通过建立回归方程 csp = c(1) + sp1*(1-t)*gdpea/p

43、 确定为确定为c(1)=442.7, 求方程的残差平方和求方程的残差平方和(rss/t)作为方差作为方差 的估计值，其对数为的估计值，其对数为 c(2)=log(1954144/26)=11.227，根，根 据经验，状态方程的初值据经验，状态方程的初值c(3), c(4), c(5)可先给为可先给为0.1, 0.9, -9。如果不指定。如果不指定eviews将用系数向量将用系数向量c的当前值初始化的当前值初始化 所有参数。所有参数。 可以通过指定中使用可以通过指定中使用param语句来明确指定合语句来明确指定合 适的参数值，适的参数值， 例：例： param c(1) 442.7 c(2) 1

44、1.227 c(3) 0.1 c(4) 0.8 c(5) -8 37 缺省时，缺省时，eviews将自动处置初始条件。对一些平稳模将自动处置初始条件。对一些平稳模 型，其稳定状态条件使我们能够解出型，其稳定状态条件使我们能够解出 0 和和 p0 的值。当不的值。当不 能解出初始条件时，能解出初始条件时，eviews将把初始值处理为扩散先验的，将把初始值处理为扩散先验的， 设置设置 0 = 0 0，给给 p0 一个任意大的正数乘单位矩阵代表其值一个任意大的正数乘单位矩阵代表其值 的不确定性。的不确定性。 可能有可能有 0 和和 p0 的先验信息，这样，可以使用关键字的先验信息，这样，可以使用关键

45、字 mprior或或vprior创建一个包含适当值的向量或矩阵。向创建一个包含适当值的向量或矩阵。向 量对象的长度必须与状态空间的维数相匹配。其元素的顺量对象的长度必须与状态空间的维数相匹配。其元素的顺 序要与指定窗口中状态向量的顺序相一致。序要与指定窗口中状态向量的顺序相一致。 mprior v1 vprior m1 38 为了帮助创建一个状态空间模型，为了帮助创建一个状态空间模型，eviews提供了一个提供了一个“自自 动指定动指定”工具栏，可以在对话框中为模型创建一个文本表示。工具栏，可以在对话框中为模型创建一个文本表示。 如果模型是具有固定参数、递归参数、及不同的随机系数，或如果模型是

46、具有固定参数、递归参数、及不同的随机系数，或 者误差项有一般者误差项有一般arma结构的标准回归模型，这个工具是非常结构的标准回归模型，这个工具是非常 有用的。有用的。 在状态空间过程在状态空间过程 procs 中，选择中，选择procs/define state space。 eviews将打开一个三标签的对话框。将打开一个三标签的对话框。 第一个标签对话框第一个标签对话框 basic regression 被用来描述模型的基被用来描述模型的基 本回归部分。键入因变量和带有固定或递归系数的回归变量。本回归部分。键入因变量和带有固定或递归系数的回归变量。 在建立指定时在建立指定时eviews使

47、用系数对象代表未知参数。在底部，可使用系数对象代表未知参数。在底部，可 以指定误差项一个以指定误差项一个arma结构。在这里，我们为上面的例子指结构。在这里，我们为上面的例子指 定一个说明。定一个说明。 39 40 第二个标签对话框第二个标签对话框stochastic regressors被用来加带有随被用来加带有随 机系数的回归变量。在四个编辑区域中键入合适的回归变量。机系数的回归变量。在四个编辑区域中键入合适的回归变量。 eviews允许定义具有如下五项组合的回归变量：无系数、固允许定义具有如下五项组合的回归变量：无系数、固 定均值系数、定均值系数、ar(1)系数、随机游动系数、带有漂移的

48、随机游系数、随机游动系数、带有漂移的随机游 动系数。例动系数。例11.3是是ar(1)系数的形式。系数的形式。 41 最后，最后， eviews允许选择状态空间模型的基本方差结构。点允许选择状态空间模型的基本方差结构。点 击第三个标签对话框击第三个标签对话框variance specification， 为量测方程或状态为量测方程或状态 方程选择方差矩阵类型：单位矩阵（方程选择方差矩阵类型：单位矩阵（identity）、共同对角矩阵）、共同对角矩阵 （common diagonal，对角元素是共同的方差）、一般对角矩阵，对角元素是共同的方差）、一般对角矩阵 （diagonal）、无限制矩阵（）

49、、无限制矩阵（unrestricted）。对话框还允许为）。对话框还允许为 量测方程和状态方程选择非零的误差协方差阵。量测方程和状态方程选择非零的误差协方差阵。 42 一旦已经指定了一个状态空间模型，并且验证模型定义一旦已经指定了一个状态空间模型，并且验证模型定义 是正确的，打开估计对话框估计模型，点击工具菜单的是正确的，打开估计对话框估计模型，点击工具菜单的 esimate按钮或者选择按钮或者选择procs/estimate。 43 在选择各选项并点击在选择各选项并点击ok以后，以后，eviews在状态空间窗口在状态空间窗口显显 示协方差示协方差 g = 0 时的估计结果时的估计结果(方程记

50、为方程记为csp_1): 44 协方差协方差 g 0 时的估计结果时的估计结果(方程记为方程记为csp_2): 45 eviews提供了一系列专门的工具用来指定和检提供了一系列专门的工具用来指定和检 验状态空间模型。与其他的估计对象相比较，状态验状态空间模型。与其他的估计对象相比较，状态 空间对象提供了附加的视窗和过程来检验估计结果，空间对象提供了附加的视窗和过程来检验估计结果， 处理推断和指定检验，并且提取结果到其他处理推断和指定检验，并且提取结果到其他eviews 对象中去。对象中去。 46 状态空间模型是比状态空间模型是比 较复杂的。为了帮助检验模型定义，较复杂的。为了帮助检验模型定义，

51、eviews提供了视窗功提供了视窗功 能，允许在交互方式下查看模型文本定义，系数和协方差能，允许在交互方式下查看模型文本定义，系数和协方差 定义。点击定义。点击view菜单选择菜单选择specification，不管状态空间，不管状态空间 模型是否被估计，下面的指定窗口都可以被使用。模型是否被估计，下面的指定窗口都可以被使用。 47 48 注意，除了注意，除了label和模型定义（和模型定义（specification）视窗之）视窗之 外，其余的视窗只有在状态空间模型被正确估计的情况下外，其余的视窗只有在状态空间模型被正确估计的情况下 才可以使用。才可以使用。 49 当点击当点击view/si

52、gnal views，eviews显示一个包含视窗显示一个包含视窗 选择的次级菜单。选择的次级菜单。 graph signal series，可以打开一个对话框，选择显，可以打开一个对话框，选择显 示结果。示结果。 50 为了检验不可观测的状态变量，点击为了检验不可观测的状态变量，点击 view/state views 显示状态方程子菜单。显示状态方程子菜单。 graph state series菜单，显示包含状态向量信息选项菜单，显示包含状态向量信息选项 的对话框。的对话框。 51 可以使用可以使用eviews过程创建、估计、预测状态空间模型和过程创建、估计、预测状态空间模型和 从指定的状态

53、空间模型生成数据。从指定的状态空间模型生成数据。 （make endogenous group） （make gradient group） （make kalman filter） （make model） （update coefs from sspace） 52 53 我们分别利用动态预测，平滑预测和我们分别利用动态预测，平滑预测和1期期(n=1)向前预测三种方法在期间向前预测三种方法在期间 1978至至2003对对csp进行拟合，分别得到预测结果进行拟合，分别得到预测结果cspf_2_d、cspf_2_s、 cspf_2_1。下面是。下面是3个预测值和实际值个预测值和实际值y画在一起的

54、图形，可以看出动态预画在一起的图形，可以看出动态预 测测cspf_2_d和平滑预测和平滑预测cspf_2_s的结果重合了。的结果重合了。1期向前预测期向前预测cspf_2_1与与 实际值接近。实际值接近。 54 eviews允许创建序列保存各种量测变量的计算结果。只需点击菜单就可允许创建序列保存各种量测变量的计算结果。只需点击菜单就可 进入显示结果对话框。进入显示结果对话框。 可以选择一步向前预测量测变量可以选择一步向前预测量测变量 ，一步预测残差，一步预测残差 ，平滑量测，平滑量测 变量或量测方程扰动项估计变量或量测方程扰动项估计 或或 。eviews还允许存储这些变量的相应的还允许存储这些

55、变量的相应的 标准误差（标准误差（ ft t-1 、st 和和 对角线元素的平方根），或一步预测残差和平滑对角线元素的平方根），或一步预测残差和平滑 扰动项扰动项 和和 。 1tt y 1tt u t y t u t 1tt e t e 55 选择一步向前预测量测变量选择一步向前预测量测变量 ，则，则eviews将在工作文件将在工作文件 中用名为中用名为cspf的序列来存储。点击的序列来存储。点击csp和和cspf_2 ，建立组，可，建立组，可 以通过画图观察以通过画图观察csp的模拟情况：的模拟情况： 可以在编辑区通过一列变量或通配符给序列命名，生成一组可以在编辑区通过一列变量或通配符给序列

56、命名，生成一组 量测变量序列。当量测方程变量是表达式时，量测变量序列。当量测方程变量是表达式时，eviews将只输出整将只输出整 个表达式的结果。个表达式的结果。 1 tt y 56 打开一个对话框保存各种状态变量的计算结果。打开一个对话框保存各种状态变量的计算结果。 可以选择存储一步向前预测状态变量估计结果可以选择存储一步向前预测状态变量估计结果 at t 1 ，滤波滤波 状态变量均值状态变量均值 at ，平滑状态变量平滑状态变量 ，状态变量扰动项，状态变量扰动项 ，标准，标准 化的状态扰动项，或相应的标准误差序列化的状态扰动项，或相应的标准误差序列( (pt t 1 , , pt , ,

57、pt t 和和 对角线元素的平方根）。对角线元素的平方根）。 t t t 57 选择存储一步向前预测选择存储一步向前预测 状态变量估计结果状态变量估计结果 at t 1 ， 则消费模型中边际消费倾则消费模型中边际消费倾 向的变参数向的变参数 t ，即状态变即状态变 量量se1，用，用se1f的名字存的名字存 储在工作区里。画图如下。储在工作区里。画图如下。 可以看到可以看到1978年以来按可年以来按可 比价格计算的我国居民边比价格计算的我国居民边 际消费倾向变化很大，在际消费倾向变化很大，在 0.4566 0.5714之间变动，之间变动， 收入每增加收入每增加100亿元，将有亿元，将有 45.

58、6657.14亿元被用于居亿元被用于居 民消费。民消费。pt 是以是以1978年为年为1 的年度居民消费价格指数。的年度居民消费价格指数。 58 采用量测方程和状态方程协方差采用量测方程和状态方程协方差 g 0 的模型的模型: 量测方程：量测方程： (11.4.5) 状态方程：状态方程： (11.4.6) r2=0.997 d.w.=1.73 从边际消费倾向从边际消费倾向 ct 的曲线图，可以看到的曲线图，可以看到1978年以来按年以来按 可比价格计算的我国居民边际消费倾向变化很大，大约在可比价格计算的我国居民边际消费倾向变化很大，大约在 0.4566 0.5714之间变动。收入每增加之间变动

59、。收入每增加100亿元，将大约有亿元，将大约有 4657亿元被用于居民消费。并且在亿元被用于居民消费。并且在1986年达到高峰，年达到高峰，1990 年年1995年出现了大幅的下降，年出现了大幅的下降，1995年达到谷底。年达到谷底。 ttttttt upgdptcpcs/)(./187478 ttt cc 1 720140. tt,2, 1 59 由于由于eviews5不显示不显示r2和和dw统计量的值可以利用公式计算：统计量的值可以利用公式计算： 在过程在过程proc中选择中选择make signal series，然后选择然后选择one- step-ahead中的中的prediction

60、 residual，存储一步预测残差，存储一步预测残差 ， 记为记为e_2， e_2_1 = e_2(-1)。还可以检验。还可以检验e_2是平稳的是平稳的. scalar tss=sumsq(csp-mean(csp) scalar r2=1-sumsq(e_2)/tss=0.997 scalar dw= sumsq(e_2 -e_2_1) / sumsq(e_2) = 1.52 其中其中sumsq是求序列平方和的函数是求序列平方和的函数 ， mean是求序列均值的是求序列均值的 函数。函数。 1tt u 60 本例选用中国钢压延加工业销售收入（本例选用中国钢压延加工业销售收入（steelt）