绪论 第一章光辉灿烂的几何文化详解

1、初等几何研究 广西民族师范学院数学与计算机科学系 张龙军13123411259909242428 主要内容 几何发展 几何证明 几何计算 几何变换 几何作图 几何解题 几何应用 几何教学 几何课程 每个板块，每组下载1篇 关于初等几何研究的论 文进行研读，并上台讲 解。 考核方式 理论知识考查与实践能力考察相结合。理论知识考查与实践能力考察相结合。 课堂内考察（听讲，参与和思考）于课堂外考察（课外作业）作为课堂内考察（听讲，参与和思考）于课堂外考察（课外作业）作为 平时成绩共计平时成绩共计30%。 期末考核占期末考核占70%；时间形式为期末集中考试的形式进行，考试时；时间形式为期末集中考试的形

2、式进行，考试时 间120分钟，完成一套试题。 教学方式 一、一、3 人一组，以课题加习题的形式向各小组下达学习任务，以小人一组，以课题加习题的形式向各小组下达学习任务，以小 组团队为单位参与“初等数学研究”课程的学习。 二、分几何证明、计算、变换、作图、解题五个研究学习板块，三 周为一个学段完成一个板块。小组结合教材内容研究各自的课题和周为一个学段完成一个板块。小组结合教材内容研究各自的课题和 习题，课堂上进行互动交流，主要介绍自己小组的研究成果，在交 流的过程中，有师生的提问和评议。流的过程中，有师生的提问和评议。 三、每人撰写一篇关于初等几何的小论文。三、每人撰写一篇关于初等几何的小论文。

3、 课题来源 中国初等数学研究杂志中国初等数学研究杂志 初等数学研究作者初等数学研究作者: 甘志国，图书馆有藏书甘志国，图书馆有藏书 1 第章 光辉灿烂的几何文化 几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科，在 人类的理性文明中，它是当之无愧的老大哥。数 千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方法 论的创建上，几何学总是扮演着“开路先锋”的 角色。 今天，几何学仍然是一门方兴未艾、蓬勃 发展的学科，在整个数学体系中，几何一直是一 个重要的主角。 题 记 本章提纲本章提纲 一、几何的发展历史线索 二、几何学发展概述 三、中学几何的逻辑结构 四、小结 一、几何的发展历史线索 经验几何 （远古元前 600年

4、） 论证几何 （欧氏几何） 演绎化 （元前600年 400年） 积累了丰富的 经验，但未上 升成系统理论 埃及几何跟希腊逻辑 方法相结合，以抽象 化、逻辑化为特点 非欧几何 几何基础 （公理几何） 解析几何 射影几何 微分几何 拓扑学 画法几何 仿射几何 代数几何 解析几何 (17世纪) （坐标法） 代数法 代数曲线 代数曲面 代数族 域上多胞形 微分几何 (19世纪) （分析方法） 张量分析 微分流形、黎曼流形、复流形 大范围微分几何 射影几何 (19世纪) （综合法、爱尔 兰根纲领代数法） 非欧几何 黎曼几何（19世纪） 拓扑学 （几何与代数、 分析相结合， 多样化发展） 点集拓扑 代数拓

5、扑 解析拓扑 分形几何 微分拓扑 微分流形 纤维丛 罗巴切夫斯基几何 1.几何学的产生无意识几何阶段 ?几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的 历史和算术是相似的。在远古时代(公元前5000年以前)， 人们在实践中积累了十分丰富的有关平面、直线、方、 圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识 了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量 关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。 二、几何学发展概述二、几何学发展概述 ?恩格斯说：“数学是从计算时间和器皿制造中产生 的”。计算时间产生了“数”，而器皿制造则产生了 “形”。正是这些有如器皿制造等生产实践的需要， 原始的几何概

6、念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。 虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但 是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几 何知识之上的。 ?几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个 领域里最基础的分支之一。领域里最基础的分支之一。古巴比伦、古埃及、古印 度、中国、古希腊都是几何学的重要发源地。都是几何学的重要发源地。 ?在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本 知识，这有大量出土文物可以证明，知识，这有大量出土文物可以证明， ?如甘肃省景泰县张家台（如甘肃省景泰县张家台（新石器时代，约公元前新石器时代，约公元前2000 年左右年左右）出土的彩陶罐上发现的大量的平行线、三角

7、）出土的彩陶罐上发现的大量的平行线、三角 形、正方形、圆弧等。形、正方形、圆弧等。 ?在西安半坡遗址（新石器时代）的考古过程中发现一 些陶罐片上绘有方格、米字、回文方格、米字、回文等几何图案。看一等几何图案。看一 看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、 对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容 积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识 是多么丰富了。 2.2.几何学的初步发展几何学的初步发展经验几何阶段经验几何阶段 ?当人们经历了无意识几何的漫长的酝酿之后、初步形 成了“形”的意识，进而尝试了一些简单的“度量” 工作，同时对几何

8、“结构”关系的探索也慢慢地开始 了。这样，几何就从无意识几何阶段步入了经验几何 阶段。 ?所谓所谓经验几何，就是人们通过对大量的具体几何素 材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般 的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从 中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的 历史阶段。 ?经验几何最大的好处就是它包含了很重要的思想方 法特例研究发现法，即对具体事例进行分析、研 究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现 几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解 决问题的办法，从而达到解决问题的目的。 ?但是在经验几何阶段，人们的思维发展水平不高限制但是在经验几何阶段，人们的思维发展

9、水平不高限制 了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采 用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。在这 些问题中，人们首要考虑的是实际应用迫切需要但理些问题中，人们首要考虑的是实际应用迫切需要但理 论上又暂时得不到解决的问题，比如论上又暂时得不到解决的问题，比如“如何求圆的面如何求圆的面 积”，“球体体积如何计算”等等。 ?林永伟先生认为：对于现今中小学几何教学而言，经 验几何的思想方法无疑给我们提供了许多更深层次的 启示意义：启示意义：经验几何能够提供学生广阔的数学活动空 间，使数学教学成为真正意义上的“数学活动的教 学”。 ?以经验几何的

10、活动方式对几何问题进行探索，不仅能 使学生充分体会到几何原理的来龙去脉，加深对其本 质意义的理解，而且其过程本身就包含了丰富的内容， 体现一定的趣味性和吸引力，从而使提高学生学习数 学的主动性；经验几何中所包含的还有另一主要思想 方法不完全归纳法，而这一方法在发展学生“策 略创造”思维方面具有独特的效能。 ?所以在几何教学，尤其是初等几何教学中，我们主 张先从张先从“宏观宏观”生动活泼的生动活泼的“策略效能策略效能”出发，出发， 再以再以“微观微观”一丝不苟的一丝不苟的“逻辑演绎逻辑演绎”予以补予以补 正。 3.3.由哲学而来的新几何由哲学而来的新几何论证几何论证几何 ?几何之所以能成为一门系

11、统的学科，希腊学者的工作 曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁 荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研 究几何就是最感兴趣的内容之一。在这里应当特别关 注的是古希腊著名哲学家、几何学家柏拉图和亚里士 多德对发展几何学的贡献。 ?论证几何有两大基本要素：论证几何有两大基本要素：一是几何的基本原理一是几何的基本原理 公理是否可靠，即出发点是否正确；公理是否可靠，即出发点是否正确；二是逻辑推理的 过程是否严密。古希腊的哲学为论证几何的产生和发古希腊的哲学为论证几何的产生和发 展提供了坚实的理论基础和思想支柱，因为哲学研究展提供了坚实的理论基础和思想支柱，因为哲学研究 的思想方法就是

12、从最简单的始点出发演绎出最复杂、的思想方法就是从最简单的始点出发演绎出最复杂、 最丰富的世界。另外，对理性的追求，对严谨的渴望，最丰富的世界。另外，对理性的追求，对严谨的渴望， 深深扎根于古希腊人的心灵深处。深深扎根于古希腊人的心灵深处。 ?事实上，古代中国的数学研究者注重的是实际问题的 解决，如土地面积计算等，这也正是为什么论证几何 没有也不可能在中国产生的原因。 ?柏拉图把逻辑学的思想方法逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几 何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向 发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运 用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。 ?亚里士多德被公认是逻

13、辑学的创始人，他所提出的 “三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展， 影响更为巨大。到今天，在初等几何学中，更多的仍 然运用三段论的形式来进行推理。 ?但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这 些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几 何总结成一门具有比较严明理论的学科的，是古希腊 杰出的数学家欧几里得。 ?欧几里得(Euclid of Alexandria) 的生平， “从生活年代来说，属于希腊历史 上第二个大分期，即 亚历山大里亚 时期。 4.4.欧几里得的几何原本欧几里得的几何原本 ? 欧几里得在公元前 300年左右生活在亚历山大里亚 城并在该处授徒，这一点是很肯定的，虽

14、然他本人 的教育可能得自雅典学院。我们对欧几里得个人的 生平几乎就只知道这点情况，而且连这点情况也还 是从Proclus 评述的一段文字中得来的。” （见M.克莱因古今数学思想史 65页）。 ?几何原本是欧几里得最出名的著作。它最突出的 是从一些特别提出的公理、公设和定义有计划地来论 证其它命题，其次是它第一次把丰富而散漫的几何材 料整理成了系统严明的读本。正因为如此，它成为人 类历史上最作大的科学杰作。所以他的几何原本 一直被后世所推崇，以至于二千多年来所有初等几何 教科书以及初等几何的论著无不以他的几何原本 为根据。 ?由于几何原本有其无与伦比的历史意义，我们有由于几何原本有其无与伦比的历

15、史意义，我们有 必要对其作一个基本的介绍，特别是平面几何部分。必要对其作一个基本的介绍，特别是平面几何部分。 ?几何原本共有十三篇。几何原本共有十三篇。 （一）（一）第一篇先给出书中第一部分的所用概念的定义，第一篇先给出书中第一部分的所用概念的定义， 共23个。 定义1. 点是没有部分的东西 。 定义2. 线只有长度而没有宽度。 定义3. 一线的两端是点。 定义4. 直线是它上面的点一样地平放着的线。 定义5. 面只有长度和宽度。 定义6. 面的边缘是线。 定义7. 平面是它上面的线一样地平放着的面。 定义8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两 条相交线相互的倾斜度。 定义9. 当包含角

16、的两条线都是直线时，这个角叫做 直线角。 定义10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时， 这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于 另一条直线。 定义11. 大于直角的角称为钝角。 定义12. 小于直角的角称为锐角。 定义13. 边界是物体的边缘。 定义14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的 。 定义15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点 与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。 定义16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 定义17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方 向被圆截得的线段，且把圆二等分。 定义18. 半圆是直径与被它切割的圆弧所围

17、成的图形， 半圆的圆心与原圆心相同。 定义19. 直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成 的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直 线围成的。 定义20. 在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有 两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边 三角形。 定义21. 此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三 角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫 做不等边三角形。 定义22. 在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做 正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边 相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等, 但边不全相等且角不

18、是直角的,叫做斜方形;其余的四 边形叫做不规则四边形。 定义23. 平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不 能相交的直线。 ?五个公设（公设只应用于几何）五个公设（公设只应用于几何）： 1.从任一点到任一点作直线是可能的。 2.把有限直线不断循直线延长是可能的。 3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。 4.所有直角彼此相等。 5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小 于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。 ?第五条公设就是著名的平行公设,它引发了几何史上最 著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并 最终诞生了非欧几何。 ?五个公理（公理是适用于一切科学

19、的真理）： 1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 2.等量加等量，总量仍相等。 3.等量减等量，余量仍相等。 4.彼此重合的东西是相等的。 5.整体大于部分。 （二）第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质第一 篇的内容是关于全等形的一些熟知的定理，平行线， 毕达哥拉斯(Pythagoras)定理，初等作图法,等价形(有 等面积的图形)和平行四边形所有图形都是直边的, 就是说都是由直线段组成的 ?特别值得指出的是以下几个定理： 命题1在给定直线上作一等边三角形 命题4.若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全 等 命题5.等腰三角形两底角相等 命题16.三角形一角的外角大于其他两

20、角中的任一角 命题20.任何三角形的两边之和必大于第三边 命题27.若一直线与两直线相交并使内错角相等，则该 两直线平行 命题29.一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角 相等，且同傍内角之和等于两直角 命题44.在给定直线上作一平行四边形，使其一角等于 已给角，而其面积等于已知三角形. 命题47.直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的 两个正方形之和。 ?这定理告诉我们怎样作出一个正方形使其面积为所给 两正方形之和。因此这是几何代数法的又一个例子。 命题48.若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正 方形之和，则其他两边的夹角是直角。 ?第二篇中的突出内容是对于几何代第二篇中的突出内容是

21、对于几何代 数法的贡献。数法的贡献。 如：如： 命题4若把一线在任意一点割开，则 在整个线上的正方形等于两段上的正 方形加上以两段为边的矩形。 命题11、分割一已给直线，使整段与 其中一分段所成矩形等于另一分段上 的正方形。 ?第三篇含37个命题它开头给出有关圆的一些几何定 义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角 等等这些定理大多是中学几何里所熟知的。 ?第四篇在它的16个命题里论述圆的内接和外切图形， 如三角形、正方形、正五边形和正六边形。最后的命 题讲怎样在一给定圆内作正15边形。 ?第五篇：比例论第五篇：比例论 这一篇被认为是欧几里得几何的最大成就。 ?第六篇：相似形第六篇：相似

22、形 ?第六篇里利用第五篇的比例理论讨论相似形。 ?这里从33个定理中举出几个来看看欧几里得怎样用 几何来处理现代代数里的几个基本结果 命题1.等高的三角形和等高的平行四边形的面积之比 等于它们的底边之比。 命题4.在各角对应相等的两个三角形里，夹等角的边以 及所等角所对的相应边都成比例。 命题5.若两三角形的边成比例，则两三角形有同样的角 且此两三角形对应边所对之角相等。 命题12.从三根已给直线求其比例第四项 命题13.求两根已给直线的比例中项。 命题19.相似三角形面积之比等于其对应边的二次比 命题31.直角三角形斜边上的一直边形，其面积为两直 角边上两个与之相似的直边形面积之和 ?这是毕

23、达哥拉斯(Pythagoras) 定理的一个推广 ?第七、八、九篇：数论第七、八、九篇：数论 这三篇讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的这三篇讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的 性质。这三篇是几何原本中纯粹讨论算术的唯一性质。这三篇是几何原本中纯粹讨论算术的唯一 篇章。篇章。 ?第十篇：不可公度量的分类第十篇：不可公度量的分类 几何原本第十篇着手对无理量几何原本第十篇着手对无理量(与给定量不可与给定量不可 公度的量公度的量)进行分类。本篇共有进行分类。本篇共有115个命题。其中就有个命题。其中就有 我们熟悉的是无理数的证明等。我们熟悉的是无理数的证明等。 ?第十一、十二、十三篇：立体几何及穷

24、竭法第十一、十二、十三篇：立体几何及穷竭法 ?原本十三篇中共含467个命题 ?综上可以看出，人们普遍认为欧几里得的几何原本 是一本几何学的经典著作，其实不尽然。甚至，我们 说几何原本是古代所有数学成果之大成也一点不 为过。在几何原本出版以来到16世纪， 几何原 本几乎成了数学的代名词。 ?在中国，因明代利玛窦、徐光启合译几何原本而 介绍到中国，当时称为“形学”。在1857年李善兰、 伟烈亚力再续译了几何原本后9卷。第11次印刷成 翻刊本时，徐树勋就将其改名为续几何。至此， “几何学”就被国人普遍使用。 ?欧几里得几何原本的诞生标志着欧几里得几何原本的诞生标志着几何学已成为一几何学已成为一 门有

25、着比较严密的理论系统和科学方法的独立学科。门有着比较严密的理论系统和科学方法的独立学科。 ?从欧几里得发表几何原本到现在，已经过去了两从欧几里得发表几何原本到现在，已经过去了两 千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何 学仍然是中小学学生学习数学基础知识的经典著作。 特别是公理化思想已经成为影响几乎所有科学学科乃 至所有文化的重要思想。或者说，公理化思想是影响 世界文化的重要思想之一。世界文化的重要思想之一。 ?但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和 名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限名家，都不可能把问题全部解决。由于历史

26、条件的限 制，欧几里得在几何原本中提出几何学的制，欧几里得在几何原本中提出几何学的“根据根据” 问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完 美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知 的定义来解释另一个未知的定义。又如，欧几里得在的定义来解释另一个未知的定义。又如，欧几里得在 逻辑推理中使用了逻辑推理中使用了“连续连续”的概念，但是在几何原的概念，但是在几何原 本中从未提到过这个概念。 5.5.笛卡儿和他的几何笛卡儿和他的几何 ?一千年后，法国数学家笛卡儿 （Rene Descartes，15961650） 在其著作方法论（Discours

27、 de la mthode）的附录几何中， 将“坐标”引入几何。由此给几何 带来了革命性的进步实现了几 何问题“代数化”和代数问题“几 何化”。 ?文艺复兴使“理性精神”得以复苏和发扬。欧洲 学者继承了古希腊的严谨的逻辑的几何学，同时 也接受了东方传入的代数学。用数学方法描述运 动成为人们关心的中心问题之一。 ?笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去 “寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们 的缺点的方法”。他在几何学卷一中，。他在几何学卷一中，用平面上 的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐 标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，表 明了几何问题不仅可以归结成为代数

28、形式，而且可以 通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。 ?解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何相解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何相 互分离的趋向，把相互对立着的互分离的趋向，把相互对立着的“数”与与“形”统一统一 起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一 天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓 了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所说：。正如恩格斯所说：“数学中 的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数 学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分 和积分也就立

29、刻成为必要了。” 6.6.球面几何球面几何 ?我们生活在地球上，虽然地球的局部地貌是丘陵起伏、 山川纵横，但是其全局的形状十分接近于一个球面。 远在公元前3世纪，古希腊亚历山大城的依茨都山尼就 应用简单的几何知识和日光观察，对地球的大小作了 一个初步的估计，他的计算结果化为现代单位，地球 半径约为7270千米，比近代人造地球卫星测得的数据 6378千米仅相差15%. ?在空间，到定点的距离等于定长的点的集合，构成一在空间，到定点的距离等于定长的点的集合，构成一 个封闭曲面个封闭曲面球面。专门研究球面上几何图形性质。专门研究球面上几何图形性质 和有关的数量关系的理论叫做和有关的数量关系的理论叫做

30、球面几何。球面几何产。球面几何产 生于大地测量，航海，航空等实际需要，具有重要的生于大地测量，航海，航空等实际需要，具有重要的 实用价值。近实用价值。近200200年来，随着几何学与拓扑学的发展，年来，随着几何学与拓扑学的发展， 人们把球面看作高斯曲面为正的长曲率曲面；把球面人们把球面看作高斯曲面为正的长曲率曲面；把球面 看作一类非欧几何的代表，并且把球面几何与拓扑学看作一类非欧几何的代表，并且把球面几何与拓扑学 联系起来，这样球面几何的研究又具有重要的理论意联系起来，这样球面几何的研究又具有重要的理论意 义。义。 ?球面几何与欧氏几何相比较，有如下的特点：球面几何与欧氏几何相比较，有如下的特

31、点： （1）在相对于半径来说，很小的一片球面看起来几乎 是一片平面。 （2）一个过球心的平面与球面的截线叫做该球面的一 个大圆。大圆在球面几何中扮演的角色相当于平面几 何中的直线。 （3）在球面上任意两条直线都相交，三角形的内角和 是一个变式，且大于平角。 ?三角形的研究是平面几何学的核心问题，同样的，球面三角形的研究是平面几何学的核心问题，同样的，球面 三角形(球面上连接三个顶点的大圆圆弧，每一段均小 于R/2)的研究也是球面几何的核心问题。 ?大约在公元16世纪，球面几何就成为航海、天文学研究 的基本工具了。 ?2001年，中国的第八次基础教育课程改革，将“球面中 的几何”作为选修系列4中

32、的一个专题，开设这个专题 的目的就是：通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异 和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。 7.现代几何公理体系希尔伯特公理体系 ?前面提到，欧几里得几何原本并不是完美无缺的， 或者说其“公理体系”存在逻辑漏洞。特别是“第五 公设”的“独立性”受大家质疑。而正是这种“质疑” 极大地推动了几何学的发展。 ?德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他 1899年发表的几何基础一书中提出了一个更加完 善的几何学的公理体系。这个公理体系叫做希尔伯特 公理体系。 ?希尔伯特不仅提出了希尔伯特不仅提出了个完善的几何体系个完善的几何体系,并且还提出并且还提出 了建立一个公

33、理系统的原则。了建立一个公理系统的原则。 第一、和谐性(无矛盾性)。就是在一个公理系统中，各 条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统 中。 第二、独立性。公理体系中的每条公理应该是各自独立 而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸 出来的。 第三、完备性。公理体系中所包含的公理应该是足够能 证明本学科的任何新命题。 ?这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关 系的研究方法，成了数学中所谓的系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法公理化方法” ”， ， 而把欧几里得在几何原本提出的体系叫做古典公 理法。理法。 ?公理化的方法给几

34、何学的研究带来了一个新颖的观点， 在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不 必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对 象之间的关系、性质。 ?从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面 代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理 中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关 系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何 学。 ?因此，凡是因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每符合公理系统的元素都能构成几何学，每 一个几何学的直观形象不止只有一个几何学的直观形象不止只有个，而是可能有无个，而是可能有无 穷多个，每一种直观形象我们

35、把它叫做几何学的解释，穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释， 或者叫做某种几何学的模型。或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何平常我们所熟悉的几何 图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过 是一种直观形象而已。是一种直观形象而已。 ?就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义 比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的 发展带来了深远的影响。可以说，希尔伯特公理体系发展带来了深远的影响。可以说，希尔伯特公理体系 是现代几何的奠

36、基石。是现代几何的奠基石。 ?下面简单地介绍一下希尔伯特公理体系。下面简单地介绍一下希尔伯特公理体系。 ?希尔伯特公理体系的结构是： 1.基本概念（不加定义） 基本元素：点，线，面 基本关系 结合关系 顺序关系 合同关系 点与直线结合， 点与平面结合 一点在两点之间 线段合同 角合同 公理（五组公理共20条）： 结合公理： 1-8 顺序公理： 1-4 合同公理： 1-5 连续公理： 1-2 平行公理： ? 以上公理组满足和谐性、独立性、完备性。 （公理详细内容后面介绍。）；使用公理体 系时，除逻辑法则和实数理论外，不允许利 用其它知识。 ?希尔伯特公理体系的产生源于两个方面：一个是对 “第第公

37、设公设”的试证，另一个是对古典公理体系的完 善。这个公理体系是希尔伯特集前人研究之大成： ?1866年，霍姆霍尔兹（1821-1924 ）提出了“运动” 的概念，为合同公理的产生奠定了基础。 ?1871年，康托（1845-1918 ）和戴德金(1831- 1905)拟成了连续公理。 ?帕须(1843-1931)首先给出了顺序公理；皮亚诺 （1858-1932 ）和他的学生给出了结合公理，改进了 帕须的顺序公理。 ?希尔伯特（1862-1943）完成了希尔伯特公理体系， 对前人的公理作了许多修正和精炼。在所有的初等几 何公理体系中，希尔伯特公理体系的概念最简单、陈 述最简明，闯出的路子最接近欧几

38、里得，最受人们的 欢迎。 ?希尔伯特在他的名著几何基础中指出：“公理化 就是抽象化。几何空间叫做几何元素的对象或 物的集合，它们互相之间的关系满足一定的公理 要求。这样，所谓欧几里得空间可以看作满足欧几里 得几何公理的元素的集合，所谓罗巴切夫斯基空间可 以看作满足罗巴切夫斯基公理要求的元素的集合。” 附录：附录：皮阿诺算术公理体系 1.基本概念：1 基本关系：“后继” 2.公理 ：1是数（1N*, N*表示正整数集。） ：数的后继是数（若aN*,则a N*） ：任何两个数的后继都不相同（若 a、b N*, 且 a=b ，则a=b.） :1不是任何数的后继（若aN*, a有后继a， 则a 1）

39、：归纳公理：若两个条件：“1M”及“若 aM , aM ”得到满足，则N*是M的子集。 1.2 中学几何的逻辑结构 在一般的中学数学教材中，大体上是按 照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的： 原始概念的描述 定义的叙述 公理的叙述 命题 定理推论 公式 各章节教材在具体展开时，为便于学生 接受，一般都增添了便于理解教材内容的实 例，采用如下的块状结构： 感性材料感性材料 实实例例、背背 景景 设置公理 定定义义、概概 念念 引进并证明 定理、公式 应用 举例 一、中学几何对公理体系的处理方法 从它的逻辑结构和具体内容上看，基本上沿 用了欧氏几何的不完善的公理系统。首先选定一 批基本元素和一批关

40、系（包括基本关系）作为基 本概念，采用了扩大公理体系，然后以此为出发 点，用逻辑方法定义有关概念，推导一系列定理， 把有关的几何知识贯穿起来。如“在内”、“在 外”、“一旁”、“之间”、“在同一侧”、 “在异侧”等概念在中学几何例是作为普通常识 性语言使用的。 中学平面几何的公理之间是相容（不矛盾）的，但 所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的。其 中新增了一些公理，强化了一些公理，默认(减少)了一 些公理和定理。“两点之间，线段最短”，“同位角相 等，则两直线平行”等都是新增的公理；而“过直线外 一点，有且只有一条直线和这条直线平行”是强化了的 平行公理。教材的这种处理方案，虽然从公理

41、系统来说 是不够严格的，有悖于公理体系的完备性和独立性。但 是，这样做能减少初学者的困难，便于学生接受，从教 学论的角度看是有积极作用的。 附录一： 1794年勒让德尔编写的新几何教材内容： 第一章 一般原则，直线型； 第二章 圆，角之测定，作图题； 第三章 相似性，面积，作图题； 第四章 正多边形，圆之度量。 二、中学几何内容及系统 附录二： 我国中学平面几何采用扩大公理体系的 直线安排，主要内容有： （1）基本概念：几何图形，线段，角等； （2）直线形：相交线和平行线，三角形 和四边形，全等形和相似性，锐角三角函 数，定理和证明，画图和作图，几何变换 初步，面积； （3）圆：圆，直线和园，

42、两圆的位置关 系，正多边形和圆，基本轨迹。 附录三：中学几何公理体系 中 学 几 何 公 理 系 统 基本概念 公理 原始概念“ 在内”、“在外”、“一旁”、“同侧”、“异侧”、 “长度”等 基本关系 运动关系放，重合等 顺序关系在之间 结合关系 点在平面上 点在直线上 基本元素 平面 直线 点 结合公理（ 4条） 线段公理（3条） (刻度尺公理 1条，量角器公理 1条) 求积公理(3条) 平行公理(3条) 全等公理(3条) 作业： 1.中学几何公理体系与希尔伯特公 理体系有哪些区别？ 资料：资料：高中数学课程内容主线几何 ?普通高中数学课程标准（2004）将高中数学分为 必修课（288学时）

43、、选修课，选修课包括选修I（52 学时）和选修II（104学时）。学校根据教学实际自行 安排必修课、选修课的开设。 ?几何仍旧是高中数学中的核心内容,在内容选择上,既有 以往的经典内容,如立体几何、解析几何,也有一些新增 内容,如球面上的几何。在教材编写的方面,注重了几何 与其它数学领域的结合,特别是与代数学的结合。 高中几何结构图 ?几何内容设计的思路几何内容设计的思路 几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握 图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个高中数学 课程的始终。另一部分是设计相应的几何内容。 具 体的内容见下： 平面向量 异面直线的距离 平 面 三个公理三个推论 空间两 条直线 平

44、行直线公理4及等角定理 相交直线 异面直线 垂直判定与性质 异面直线所成的角 空间直线 与平面 直线在平面内 直线与平面平 行 判定与性质 直线与平面相 交 空间两 个平面 两个平面平行 距离 判定与性质 两个平面相交 二面角 垂直判定与性质 定 义 性 质 面积体积公式 表面上两点间距离 棱柱、棱锥 球 直线与平面所成的 角、 三垂线定理 立体几何 直 线 平 面 简 单 几 何 体 直 线 直线的倾斜角和斜率 直线的方程五种形式应 用 两直线的位置关系 两直线垂直 两直线平行 两直线相交 夹角及公式 交 点 点到直线的距离公式 两平行直线的距离公式 圆 圆的方程 圆与直线的位置关系 圆的标

45、准方程 圆与圆的位置关系 圆的一般方程 相交弦 圆的切线 直线与圆 圆锥曲线 由圆 锥曲 线求 方程 直线和方程曲线上的点对应方程的实数解 曲线的交点 椭圆定义标准方程几何性质作 图 第二定义 双曲线定义标准方程几何性质作 图 第二定义 作 图抛物线定义标准方程几何性质 统 一 定 义 直线与圆锥曲线的位置关系 ?球面上的几何 对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的 性质”，基础教育阶段已学过平面几何， 这两种几何 有什么相同，有什么不同？ 球面上的几何有什么用处？ “球面上的几何”这一专题主要就学习这些问题。 球面上的几何 ?欧拉公式与闭曲面分类 欧拉是最伟大的数学家之一，他的成就非常

46、丰富， 多面体的欧拉公式就是其中之一。四面体、长方体等 都是多面体，欧拉发现了：这些图形的 “面数减去棱 数再加上顶点数等于2” ，并且他给出了很好的证明。这 是很有趣的，它反映了这些图形曲面的性质。那么， 是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体 的曲面都有这样的性质？ 就是这个专题主要学习的内 容。 欧拉公式与闭曲面分类 ?三等分角与数域扩充 “ 用尺规可以三等分角吗？”这是学生都想了解的 一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中， 将引导学生一步一步地解决这个问题。学生会发现， 解决这样问题与做习题不大一样，其中蕴涵着一种思 考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方 法都

47、是很有用的。 三等分角与数域扩充 作图欣赏 三大作图问题 非尺规作图的方法 尺规作图原则 尺规作图的范围 （1）能作的范围 尺规作图的范围（2） 仅能作的范围 应用 不能作的范围能作的范围 倍方三等分角 正十七边形 范例 有理数域与尺规作图 数域扩充与尺规作图 扩域“列”、扩 域“树”与尺规 作图 尺规作图代数化 直线的表示圆的表示 数域与尺规作图的封闭性 圆规作图与扩域 补充知识 ?几何证明选讲 ?在高中必修课程中，课程标准共设置了立体几何初 步、解析几何初步、平面向量 等几何课程的内容， 在选修1、2课程中，课标设置了圆锥曲线、空间向 量与立体几何等几何课程内容。 ?在这个专题中，课标是在义务教育数学课程学习的基 础上，设置了两部分的内容。 一是以直线与圆的关系 为载体，利用相似的理论，讨论圆与直线的位置关系， 及其位置关系中的一些几何结果。 这部分内容可以成 为一个相对独立的体系，对于提高学生的逻辑推理能 力会发挥一些作用。 在另一部分内容