计算机数值方法试题

1、数值计算方法试题 填空（共20分，每题2 分） 1、设 疋23149541，取5位有效数字，则所得的近似值x=. 小八一竺二如2耳二 2、 设一阶差商， _ 阳_眄2 1 则二阶差商 / g= 3、 数值微分中，已知等距节点的函数值（勿风汎珂小）（勺宀） 则由三点的求导公式，有 八和=一 4、 求方程 疋廿0的近似根，用迭代公式x=Jil笳，取初始值可， 那么廿一 fy 5、 解初始值问题 1卩勺）三兀 近似解的梯形公式是的 6、 1一了丿，则A的谱半径Q（A）= 7、设他）二玉+5,耳二M上=02，则低，耳=和 1l+1 n+2 * 芸 n+= m +4丁； 三、证明题 1、 设 / -I

2、（1）写出解广；二的Newton迭代格式 （2）证明此迭代格式是线性收敛的 2、设R=I - CA如果 ，证明： （1） A、C都是非奇异的矩阵 参考答案: 1、 2、 、填空题 2.3150 4-16 3、 2h 4、1.5 5、 h 九近 6、 XA) 7、 十必） /(m 九)+ /(%2啊) 沁1，兀“ =? J %,兀匚+立，J1 = 0* 、计算题 1、1、 (1) 1 5 -191 5 (2) 2、由，.，可得.：；.【一 X = *仰(R ?=聊 因；.、一_, :故 k=0,1,收敛 求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程 /

3、= /（X）在区间上积分，得 .，记步长为h,对积分- i / 陰心-| 用Simpson求积公式得 号I7衣JI J 了（7*（对）必闽下/（兀（+4了（务+ _/（耳“卜/3；+4刃+丿；（ L53 所以得数值解公式：-；,，-1一_ 三、证明题 1、证明：（1）因，故- - ，由 Newton迭代公式: F1, 广（心） 木:, n=0,1, 血兀（召一巧 百兀 (2)因迭代函数，而h - ， o ox 2x2 3x2 X5 x , (1.5) (1.5) 0.17 1，故收敛; 1.32476x6 3 1.52 1，故发散。 1.3572 X21.3309 1.32472 X2 X3

4、1.3259 X4 1.3249 (x) (2) (1):X01.5X1 Steffe nsen 迭代: Xk 1 Xk Xk (xj xQ2 (Xk) 2 (Xk) Xk (3 1 Xk)2 3 3 Xk 1 计算结果: Xo 1.5 Xi 1.324899， x2 123.兀 11 1.324718有加速效果。 X1(k k 1) x3k 2、( 8分)解: Jacobi迭代法: 1)丄(24 3x2k) 4 丄(30 3x；k) x3k) 4 1)!( 24 4 k 0,1,23 x2k) (k 1) X1 x2k 1) Gauss-Seide 迭代法: 1(24 4 1(k 1) (3

5、0 3x1 4 1)!( 24 x2k 4 k 0,1,2,3, 3x2k) x3k) 1) 0 BjD 1(L U) 34 0 34 0 34 0 34 0(Bj) 58(或晋)0.790569 X1(k i) )x1(k)(24 3x2k) 4 )x2k) (30 3x；k 1) x3k) 4 (1)x3k)( 24 x2k1) 4 k 0,1,2,3, 解：改进的欧拉法： (k 1) X2 (k x3 (1 (1 1) SOR迭代法： 五、1、( 15 分) (0) yn 1 h yn1 yn -f(Xn,yn) f(Xn1,y 2 所以y(0.1)屮1 ； 经典的四阶龙格一库塔法: y

6、n hf(Xn,yn)0.9yn (0) n 1 , yn 1 0.1 ) 0.905 yn 0.095 h Yn 1 Yn -k1 2k2 2k3 k4 k1 f (Xn, yn) k2 f (Xn h 厂 hk1) 2 k3 f (Xn h 2,yn hk2) 2 k4 f (Xn h,yn hk3) k1 k2k3 k40，所以 y(0.1)Y11 2、（8分）解：设H3（x）为满足条件 2 2 则 p（x） H3（x） k（x X0） （x X1） H3（xJ f（X） 出以）f （xj i 0,1的Hermite插值多项式, 代入条件P（x2）f（x2）得： x、_ （3）（10分）

7、求f x e在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项 f(X2)H3(X2) (X2 Xo)2(x2 X1)2 六、（下列2题任选一题，4分） 1、解：将 f（x）1 3A A B ,x,x-,X3分布代入公式得：20 KxJ f(Xi) H3(xf (Xi)i 20,b 箱,d 1 20 构造Hermite插值多项式H3（x）满足 0,1其中Xo o, X11 则有: 1 0 xH 3(x)dx S(x) f(x) H3(x) 工 X2(X 4! 1)2 R(x) 1 0X f(x) S(x)dx 严() 4! 132 Ox (x 1) dx (4)()3( (x 4! f(4)() 4! 60

8、 1)2dx ：(4)() 1440 2、解: Rn,hy(Xn 1)yn 1 y(Xn) hy (Xn)y(Xn) -3! h3 3! y 2! h2 y(Xn)1(y(Xn) hy (Xn)亍(人) h2 hy(Xn) (1 )(y(Xn) hy (Xn) h3 y (Xn) (Xn) (xn) h / 亍（Xn） (1 h2 0 (2 1)y(Xn) 1 1 2 h(11 )y (Xn) 1)y (Xn) 1 1 h3(1)y (Xn) O(h4) 6 6 2 1 0 1 0 01 10 10 1 1 . 3 1 0 所以 2 2 2 5 .3“、 主项: 12 h y (Xn) 该方法

9、是一阶的。 数值计算方法试题 一、（24分）填空题 （1） （1）（2分）改变函数f（x） 厂 讥 （x 1）的形式，使计算结果较 精确 （2）（2分）若用二分法求方程f x 0在区间1,2内的根，要求精确到 f x x1x2 (3) （2分）设 X1X2，贝y f x Sx 2x3,0 x 1 32. 1 x 2是3次样条函数，则 (4) （3分）设 x ax bx c, a= ,b=,c= 0 (5) (5) （3分）若用复化梯形公式计算 1 exdx 0，要求误差不超过10 6, 第3位小数，则需要对分 余项公式估计，至少用 利用 2 2 次。 个求积节点。 %1.6x21 (6) （6

10、）（6分）写出求解方程组1 x2 2的Gauss-Seide迭代公式 ，迭代矩阵为 此迭代法是否收敛 (8) A （4分）设 （8）（2分）若用 5 4 4 3，则 IA Cond A Euler法求解初值问题y10y， y0 1，为保证算法 的绝对稳定，则步长h的取值范围为 二. (64 分) （1） （1）（6分）写出求方程4x cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式， 并证明其收敛性。 （2）（12分）以 100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值, 并利用余项估计误差。 ,1 sin x , I dx (5) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分 0

11、 x 的近似值，要 求误差限为0.5 10 (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组: (7) (6) (8分)求方程组 % X2 1的最小二乘解 X1 4x2 2x3 24 3x1 X2 5x3 34 2x1 6x2 X3 27 (8) (7)(8分)已知常微分方程的初值问题: dy dx x y, 1 x 1.2 y(1) 2 用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h 0.2 三. (12分，在下列5个题中至多选做3个题) (1) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足： p1 15 p 120p 130 p 257 p 272 (2) (2)(6分)构

12、造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数 精度： 1 1 0 xf xdx A0fA1f 1 10 1 A (3) (3)(6分)用幕法求矩阵 11的模最大的特征值及其相应的单位 特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征 向量的初始近似值为1,0 丁。 (4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 y x f x, y x , a x b, y ay0 的形式为yi 1 yi h 0fi ifi 1 ,i=1,2,N 的公式，使其精度尽量高，其中fi f人，K a ih, j=o,i,.,n, h b a N （5） （5）（6分）求出用差分方法求解常微

13、分方程的边值问题 、 1、 6、 、 ypxyqxy r x 0, a x b ya 0，yb 0所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题答案 一、判断题：（共10分，每小题2分） （X ）2、（ V ）3、（ X ） X ） （共10分，每小题2分） 2、（ V ）3、（ （V ） 7、（ X ）8（ 二、填空题： 4 ( V ) 5、( X ) 1、 7、 三、 1、 9 8!、02、 0 -三、简答题： 1、 解: 二3、 二 4、16、905、 （15 分） 迭代函数为 1 4 x I n 2 （k） (x) ln(4 x)/l n2 (x) 42 In 2 四、 2、 3、 2、

14、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素akk全 不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为 0,即使det（A） 0，贝y消元 过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0,但若主元素akk的绝对值很 小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差 的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的 ak 技术，可避免主元素ak=0或 断或因误差扩大太大而使计算不稳定。 很小的情况发生，从而不会使计算中 cosx 解： x2 1 cosx 2! 1 x2 f (x) 2!4! 四、解：f(x) 3、 4 x 4! f (x) x 时， h xdx 0 2

15、f (x) x 时， 2 x 2! 1)n 4! n 1 x2n 1)n 1 - (2n!) 2n 2 1 X_ 丽 1) 2n x (2n!) 1显然精确成立； 片 h【0 h h21 2 2 h 2 h3h2 x dx0 h 032 1 2 丄 12 ; h 0 2h f (X) 3dx 0 五、 f (x) 所以, 4dx 0 x4时， 其代数精确度为 五、证明: Xk 故对一切 1 a 1 2(1 0 2(1 又Xk 从而迭代过程收敛。 六、 六、解：是 p(x)工 f(1) X 七、 h4 4 5 3。 1(xk 1,2, ,Xk 1) 312 h沙0 h4加0 12 所以Xk1 X

16、k xk， Xk 3h2 4h3 6 ； k 0,1,2 即序列Xk是单调递减有下界， O 1 1 2 21 33 0p(x)dx |f(1) 七、证明: A(X AX 又 所以 八、解：设H(x) N2(x) 所以 因为f (x)在基点1、 f(2) f(2)。其代数精度为1。 由题意知：AX b,AX b b AX|AX l|X| N2(x) ax(x f(0)f0,1(X H(x) 1 2x 2处的插值多项式为 1 X X l|A 1 r b r 1 X) r X X A 1r 1 | A A b 2) con d(A)|A n。 1)(x 0) f0,1,2(X0)(x 1) 1 2x

17、 (x0)( x 1) 2 6(x 2 1 4 -x2 3x 1 4 1) ax(x 1)(x2) (0) 3得： H (x) x3 4 H(x)，作辅助函数 g(t) f(t) H(t) 所以 令 R(x) f(x) 则g(t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点: 2 k(x)t (t 1)(t2) t x,0,1,2 反复利用罗尔定理可得：k(X) 2 所以R(x) f(x) H(x) k(x)x (x 1)(x 2) ()4!，( g(4)( )0) ()2 x (x 1)(x 2) 4! bn 1 f (x)w( x)dx Ak f (Xk) ak 1 九、证明：形如 有 最

18、高代数精度2n+1次，它对f(x)取所有次数不超过2n+1次的多项式 均精确成立 九、 的高斯(Gauss)型求积公式具 十、 1) b A k(Xi) j (Xi) k(x) j (x)w(x)dx 0 a i 1 li(Xj) 因为l i(x)是n次多项式，且有 bn 1 lk(x)lj (x)w(x)dxAilk(Xi)lj(Xi) 所以ai1 取f(x) |2(x)，代入求积公式：因为 n 1 b2 li(x)w(x)dx Ajli(Xj)2a 所以a n 1 K b 2 lk (x)w(x)dx k 1 a 故结论成立 十、解： 2) 3) fXo,X1,Xp fX0,X1, ,Xn

19、 1 0 (k 2 li (x)是2n次多项式, j) j 1 n 1 Ak k 1 f (Xi) P i 0 (Xi j 0 Xj) b a W(X)dX :(n 1)() (n 1)! 数值计算方法试题 、(24分)填空题 (9) (1)(2分)改变函数f(x) x 1 X (x 1)的形式，使计算结果较 精确 (10) (2)(2分)若用二分法求方程f x 0在区间1,2内的根，要求精确到 第3位小数，则需要对分 次 (11) (3) f x (2分)设 2 2 X1 x X1X2，贝y f x 2x3,0 x 1 Sx 32 (12) (3分)设 x ax bx c, 1 x 2是3次

20、样条函数，则 a= ,b=,c= 。 1 (13) (5)(3分)若用复化梯形公式计算0 dx，要求误差不超过10 6，利用 余项公式估计，至少用 个求积节点。 X 1.6x21 (14) (6)(6分)写出求解方程组0.4X1 x2 2的Gauss-Seide迭代公式 ，迭代矩阵为， 此迭代法是否收敛。 5 4 AA. (15) (7)(4 分)设4 3 ,则 A ，Cond A 。 (16) (8)(2分)若用Euler法求解初值问题710y, y。1，为保证算法 的绝对稳定，则步长h的取值范围为 二. (64 分) (9) (1)(6分)写出求方程4x cosx 1在区间0,1的根的收敛

21、的迭代公式， 并证明其收敛性。 (10) (2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值, 并利用余项估计误差。 x (11) (3)(10分)求f x e在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。 ,1 sin x , I dx (12) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分0 x 的近似值，要 求误差限为0.5 10。 (13) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组: X1 4X2 2x3 24 3x X2 5X3 34 2x 6x2 X3 27 X2 (14) (6) (8分)求方程组 1的最小二乘解 (15) (7)(8分)已知常微

22、分方程的初值问题: dy dx x y, 1 x 1.2 y(1) 2 用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h 0.2 三. (12分，在下列5个题中至多选做3个题) (6) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足： p1 15 p 120p 130 p 257 p 272 (7) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数 精度： 1 1 xf x dx A0 fA1 f 1 0 10 1 A (8) (3)(6分)用幕法求矩阵11的模最大的特征值及其相应的单位 特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征 向量的初始

23、近似值为h0 丁。 (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 y x f x, y x ,a x b, y ay 的形式为yi1 yi h ofi1fi1,i=1,2,N 的公式，使其精度尽量高，其中fif xi,yi , k a ih, (9) i=0,1，,N, （10） （5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ypxyqxy r x 0, a x b ya 0，yb 0所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题答案 (24 分) 1 (1) (2 分) .x 1 x(2) (2 分)10 2x1 2x2 （2分） X2 X1 (3分)3 -3 1 (5) (3 分)47

24、7 k % 1 1 1砲 |0 1.6 k 1 c, k1 ,k 0,1,c （6分） X2 2 0.4x10 0.64 收敛 (7) (4 分) 9 91 (8) (2 分)h0.2 二.(64 分) (1) (6 分)xn1 1 . sin x 4 1 1 cos xn 4n , n=0,1,2, 对任意的初值X。0,1,迭代公式都收敛。 （12分）用Newton插值方法：差分表: 100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(11

25、5-121) R = 10.7227555 115 100 115 121 115 144 3! 13100 215 6 290.00163 68 8 S2 12 2f 10.94608693 S2 15 S2 S1 0.393 10-5 S2 0.94608693 (3) (10 分)设 x Ci i x C2 2 x Ci C2X 1 , 1 1, 2 C1 f, 1 1 1 1 2 i 1 2, 2 C2 f, 2 1 ? 1 dx 1 0 1, 20 xdx 2 12 , 1 1 1 2? 2 x dx 0 3 , f, 1 exp(x)dx e 1 f, 2 Qxexo( x)dx

26、1 1 1 2 C1 e 1 C 0.8731 1 2 1 3 C2 1 C2 1.690 x J 0.8731 1.690 x x 4e 10 18 6ex=0.873i27+1.69031x (10分) Si 0.94614588 令 P 257 , p 272求出a和b sin x 或利用余项: 3! 5! 7! 9! (4) x 1 X2 57 2! 5 a 2880n4 (4) 9 4! 2880 5n4 0.5 10 S2 (5) (10 分) 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.33

27、33 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3 6x18 1.3333 (6) (8 分)AT AxATb 6 x 14 x220 2.0000 若用Householder变换， 则: 1.732053.46410 4.61880 A,b0 0.36603 1.52073 0 1.36603 2.52073 1.73205 3.46410 4.61880 0 1.41421 2.82843 0 0 0.81650 最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T. T x 2.0000,3.0000,5.0000 (8分) k1f x0, y00.5k2 f x1, y0 hk11.1/2 0.2 0.50.5238095 y,y0- k,k220.10.50.52