常微分方程中变量变换方法的探讨

1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文常微分方程中变量变换方法的探讨The Study on Method of Variable-transformed in Ordinary Differential Equations姓 名： 学 号： 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 龙 薇 （讲师） 完成时间： 2008年4月20日 常微分方程中变量变换方法的探讨张三【摘要】在这篇文章中，我们主要讨论用变量变换方法来求解常微分方程。文章分为三部分。首先，我们介绍了常微分方程的基本概念和变量变换方法在方程中的地位与作用。在第二部分里，我们讨论了一阶常微分方程中几种

2、能够用变量变换方法求解的类型。例如，变量分离方程、一阶线性微分方程、一阶隐方程等等。最后，我们探讨的是几类能够用变量变换方法求解的高阶常微分方程。在这一部分里，我们先是讨论了非齐次线性方程和欧拉方程这两种二阶方程。然后再研究了几种可降阶的高阶微分方程。贯穿全文方法的就是变量变换。【关键词】一阶常微分方程 高阶常微分方程 变量变换方法The Study on Method of Variable-transformed in Ordinary Differential Equations Zhang San【Abstract】In this paper, we mainly discuss so

3、lving ordinary differential equations by method of variable-transformed. This article is divided into three sections. In the first section, we introduce the basic concept of ordinary differential equations, and the status and role of method of variable-transformed in equations. Then, in section 2, w

4、e discuss about several types of first order ordinary differential equations, which can be solved with method of variable-transformed. For example, there are variable- separated equation, first order linear differential equation, first order implicit differential equation and so on. At last, what we

5、 study are some classes of higher order ordinary differential equations which can be solved with method of variable- transformed. In this section, we firstly introduce two second order ordinary equations, non-homogeneous linear equation and Eulers equation. Then we study some types of higher order e

6、quations which can be reduced. Throughout this paper, the method of variable-transformed is used.【Key words】first order ordinary differential equations higher order ordinary differential equations method of variable-transformed 目录1 引言12 基本概念1 2.1微分方程12.2常微分方程12.3 阶数 22.4 线性和非线性22.5 通解和特解22.6 变量变换法23

7、 一阶常微分方程中变量变换方法的探讨 33.1 可化为变量分离方程的类型3 3.1.1基本类型3 3.1.2其它类型5 3.2 一阶线性方程7 3.2.1非齐次线性方程和伯努利(Bernoulli)方程7 3.2.2黎卡提(Riccati)方程8 3.3 一阶隐方程104 高阶常微分方程中变量变换方法的探讨124.1两种二阶方程124.2非齐次线性方程和欧拉方程144.3 几种可降阶的高阶方程155 小结18参考文献19致谢191 引言本文主要讲述的是常微分方程中变量变换方法的探讨微分方程的求解方法各式各样，一般是根据它的类型来选择求解方法基于变量变换法是一种非常普遍的技巧，而且在很多类型的方

8、程上都有它的运用，这里就重点探讨它的运用微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究它可以解决很多问题，但得依赖于先把实际问题转化为微分方程，然后再对方程求解由于方程类型比较繁杂，所以求解方法比较多，致使不便很好掌握通过各方面地学习与总结，发现变量变换法在求解方程上运用得比较频繁，可以说是一种比较常用的技巧而且它的过程清晰明了，简单易懂因此对变量变换方法有必要进行探讨，但由于多方面的原因，本文肯定还有很多欠考虑或者不完善之处，请大家多多谅解，并给出修改意见，本人一定会多方吸取，同时本人也会多参考其它

9、资料，并仔细斟酌，以使文章尽量减少疏漏之处本文主要采用的是探讨式的研究方法，也即给出一个问题，然后探究式地用变量变换方法去解决它通过对不同方程都采用变量变换方法来探讨，希望大家能找到运用该方法的技巧，以便日后能更广泛、更灵活地运用于其它方程上本文内容主要分为三块：一是有关该文的一些预备知识，主要是一些常微分方程的概念；后两块就是关于求解常微分方程中一阶和高阶类型里变量变换方法的探讨后面两块是本文的重点内容，在文章中作了比较详细的分析，全文的引线就是变量变换方法2 基本概念2.1 微分方程数学分析中所研究的函数是反映客观世界运动过程中量与量的一种关系但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程

10、时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式，数学上称之为微分方程，当然其中未知数的导数或微分是不可缺少的2.2 常微分方程我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程本文所介绍的主要是常微分方程，有时就简称微分方程或方程方程 (2.1) (2.2)就是常微分方程的例子，这里是未知数，是自变量2.3 阶数微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数例如，方程(2

11、.1)是二阶常微分方程一般的阶常微分方程具有形式 ， (2.3)这里是的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量2.4 线性和非线性如果方程(2.3)的左端为及的一次有理整式，则称(2.3)为阶线性方程例如，方程(2.1)是二阶线性微分方程一般阶线性微分方程具有形式 (2.4)这里，是的已知函数不是线性方程的方程称为非线性方程例如，方程 是二阶线性方程，而(2.2)是一阶非线性方程2.5 通解和特解如果函数代入方程（2.3）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程(2.3)的解我们把含有个独立的任意常数的解称为阶方程(2.3)的通解如果方程(2.3)的解不包含任意常数，则称它为特解2.6 变量

12、变换法微分方程的问题终归要转到求解上来，那么有什么求解方法呢？我们知道微分方程有很多种形式，但最简单的一种就是变量分离方程，它可以用初等积分法求解而碰到其它类型，我们最常用的技巧就是用变量变换来改变方程的形状，让它转化为我们能求解的类型，这种方法称为变量变换法本文着重介绍的就是常微分方程中该方法的探讨3 一阶常微分方程中变量变换方法的探讨本章将介绍一些能用变量变换方法求解的一阶微分类型. 我们知道变量分离方程可以直接将变量分离然后积分求解，但一阶常微分方程中不可能都是此类型因此，我们要根据实际情况将方程变形再求解3.1 可化为变量分离方程的类型形如 (3.1)的方程，称为变量分离方程，这里，分

13、别是，的连续函数在很多书上都有介绍这类方程可以直接将变量分离然后用初等积分法就可求解变量分离方程是最基本的方程，而有些微分方程，表面上看并不是变量分离方程，但经过一两次适当变量变换就可化为变量分离方程下面将介绍这类方程3.1.1 基本类型我们这里说的基本类型是指与齐次方程有关的齐次方程是形如 (3.2)的方程，这里是的连续函数若作变换，方程(3.2)就化为一个变量分离方程 ，直接将变量分离便可用初等积分法求解接下来看看可化为齐次方程的类型一、基本形式： . (3.3)二、更为一般的形式： , (3.4) . (3.5)通过观察，发现方程(3.3)和方程(3.5)是(3.4)的特殊形式，所以我们

14、只要以方程(3.4)为例来研究就行 当时，方程(3.4)变为奇次方程 当即,及不全为零时，我们简单的以、来讨论：1)且时，方程(3.4)变为若作变换，则得关于的新变量分离方程2)、中至多有一个为零当时，此时必有方程(3.4)为，这是一个变量分离方程当时，此时必有方程(3.4)为，这是一个变量分离方程当时，由，系数间关系为：于是，则方程(3.4)化为，作变换，则得到关于的变量分离方程 当及不全为零时，二元一次联立方程组 有唯一解引进新变量，作变换，这时方程(3.4)化成齐次方程例解方程 解原方程可以改写为，即，若令，则方程化为， (3.6)因为，且都不为零解二元一次联立方程组 ，得解引进新变量,

15、作变换，将方程(3.6)化为齐次方程，解之，得通解 ，代回变量和，得方程(3.6)的通解 ，最后代回原变量和，得原方程的通解为，其中为任意常数用变量变换法求解微分方程是十分灵活的，依赖于方程的形式和求导的经验，在学习的过程中要多积累下面再给出几个例子，以启发我们的思路3.1.2 其它类型 形如的方程引入变量，则有， (3.7)而原方程可化为，将其代入方程(3.7)并用新变量替换，可得一个变量分离方程 例解方程解方程变形为令，则有，变量分离得 ，两边积分得 ，将代回原变量，得 ，其中为任意常数 形如的方程引入变量，则有，这是一个变量分离方程例解方程解令，则有 ，这是一个关于的变量分离方程分离变量

16、，得 ，将代回原变量，得 ，其中为任意常数 形如的方程若引入变量，则有，这是一个变量分离方程例解方程解方程可化为如右形式 令，则有，变量分离，得 ，将代回原变量，得原方程的通解，其中为任意常数 形如的方程引入变量，则有，这是一个变量分离方程例解方程解引入变量，则有 ，这是一个变量分离方程将方程分离变量并两边积分，得 ，将原变量代入上式，整理后得原方程的通解为 ，其中为任意常数还有很多，这里我们就不再介绍了5 小结该文到此已基本完成，现在我们做一下小结本文主要讲述的是用变量变换的方法来探讨常微分方程的求解所以，我们先介绍了常微分方程的一些基本概念（主要是为后面的讲述作铺垫）和简单说明了变量变换方

17、法在微分方程中的广泛运用接着把常微分方程分为一阶和高阶两类，再分别探讨变量变换方法在这两类方程中的应用其中一阶中主要有变量分离方程、线性方程、隐方程这几类而高阶方程中，先是介绍了两类二阶方程，然后介绍了高阶微分方程中的非齐线性方程和欧拉方程，最后是几类可降阶的高阶方程主要内容就是这些至于变量变换方法的灵活运用，只能靠我们平时慢慢地积累、练习和不断地摸索与总结的这里我们大概地总结了常微分方程中一些能够用变量变换方法求解的类型，不过还有其他类型，若大家有兴趣的话还可以再深入地讨论 参考文献：1蔡燧林微分方程M杭州：浙江大学出版社，19982丁同仁，李承治常微分方程教程M北京：高等教育出版社，19913东北师范大学数学系微分方程教研室常微分方程M北京：高等教育出版社，19824高素志，马遵路，曾昭著，陈平尚 常微分方程M北京：北京师范大学出版社，19885王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松常微分方程（第二版）M北京：高等教育出版社，19836王兴涛常微分方程M哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，20037王树禾微分方程模型与混沌M