同济版高数课后习题答案1-9汇编

1、习题1 -91.求函数f (x)二x3 3x2 -x 一3x2 x_6的连续区间，并求极限limf(x).lim f (x)及 lim f (x).x - _3x_ 2f(x)J三汁 r晋,函数在(f)内除点2和-3外是连续的,所以函数f(x)的连续区间为(：,；)、(七2)、(2, ：:).在函数的连续点x=0 处,1f(x)=f(o)=2在函数的间断点x=2和X-3处,limf(xlim (x 3)(x-1)(x 1)x_2x_2(X 3)(X2)lim f (x) = lim (1)(x 1)二x 2x)J3x22.设函数f(x)与g(x)在点xo连续，证明函数闿x)axf(x), g(

2、x),申(x)Finf(x), g(x)在点xo也连续证明 已知 lim f(x)二f(x0), lim g(x)二g(x0).xxoxo可以验证1：(x)f(x) g(x) |f(x)g(x)|,21 (x)f(x) g(x)|f(x)g(x)|.2因此 (心f(X。)g(x)计 f(X0) g(x0)|,2 1- (X0)=2【f(X0)g(X0)|f(X0)g(X0)| 因为1lim (x)=lim f (x) g(x) | f (x)-g(x)|XrX)X X0 21lim f(x) lim g(x) | lim f (x) - lim g(x)|2XXX jXflX jXfl1石f(

3、X0)g(x0) |f(x0) -g(X0)|(X0),所以(x)在点X也连续.同理可证明(X)在点X0也连续3.求下列极限(1)limx2 -2x 5 ; lim (sin2x)3; X才(3) lim ln(2cos2x)X 6：、:齐-1 lim;J0x5x -4 - x -1x -1;sin xsin a lim;x)ax a(7) lim ( ,x2 x - . x2 -x).x-bc解 因为函数f(x)j X2 -2x 5是初等函数，f(x)在点x=0有定义，所以lim . x2 -2x 5 二f (0) 02 -2 0 5 5 ._0因为函数f(x)*in 2x)3是初等函数，f

4、(x)在点x=-有定义，所以43応Jt 3lim (sin2x)=f ()二(sin2 )二1.x444因为函数f(x) Mn(2cos2x)是初等函数，f(x)在点x二一有定义，所以 63TJIlim ln(2cos2x) =f( )=1 n(2cos2)=0.x666 limamimi n11)0xxx(、x 1 1)=limlim l ,x0 x( 、X 1 1) x0 . x 1 1 、0 1 1 2-5x -4 i xx-1=limx 1(、5x -4 - x)( . 5x-4 亠、x)4x -4(x -1)(、5x -4 - x)-limx (x-1)( 5x - 4 x)4=2=

5、lim x 1、5x -4 ” x . 5 1 -4、1x +a . x -a2cossinsin x-si na22(6) limlim2x 旧x_a xax_ax -a丄sin丄x+a2 a+a=lim coslimcos 4=cosa.x=a2 xa x a22(一 x 2 xx_):(7) limx- .x2 -x) =limx_4-bc:一 X2 x)( . X2 X , x2 -x)(.X 2 X 亠：X 2 _ x )4.求下列极限1(1) lim ex ;x-pCsin x li%lnX,1 2 lim (1 )2;XI X2(4) lim (1 3tan2 x)cot x3+

6、x Xim(6)1 ta nx -1 sin xx 11 亠sin2 xx解sinxsinx(2) lilnln(lim)=1 n1 =0 .二e2 二 e.Xlim (1 J 2 =lim(1 1)xx 匸 xXx1(4) lim (1 3tan2x)cot x =lim(1 3tan2x)3tax 3 =e3.X 0X 0_36 衣-3x4卩匸）2 .因为lim匕1x 匸：6 x 22所以3 +xximM)x JJ1 +tan x _J1 七in x(J1 +tan xl+sin x)( 1 +sin2 x +1)吗xJl+sdxxg I 1 LCll I A -yf I Oil I A 八理 I Oil I A 1 I y=lim :J1 +sin 2 x -1)(+tan x +sin x)(tanx -sinx)(*r1 +sin 2 x +1)=lim2xr xsin x(1 亠tanxf 1 亠sinx)2 xx 2tan x 2sin22x()2.22lim35.设函数f (x) =*x ：:Dx _D应当如何选择数a,使得f(x)成为在(-,-)内的连续函数？xsin xx )Dx解 要使函数f(x)在(-匚：，:：)内连续，只须f(x)在x=D处连续，即只须lim